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Was ist ein Vektor?

Ein Vektor, zum Beispiel $\vec a$, in dem euklidischen Raum $\mathbb{R}^3$ hat drei Koordinaten. Diese Koordinaten werden entweder mit den Indizes $1$, $2$, $3$ oder auch mit $x$, $y$, $z$ bezeichnet und spaltenweise aufgeschrieben. Der Vektor $\vec a$ sieht im $\mathbb{R}^3$ so aus:

$\vec a=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_x \\ a_y\\ a_z \end{pmatrix}$

aus. Das Kreuzprodukt ist nur für Vektoren im $\mathbb{R}^3$ definiert.

Was ist ein Kreuzprodukt?

Du kennst vielleicht bereits

  • die skalare Multiplikation, hier wird ein Vektor mit einem Skalar, also einer Zahl multipliziert, das Ergebnis ist ein Vektor:

$\quad~~~3\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3\\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\cdot 1 \\ 3\cdot 3\\ 3\cdot (-2) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 9\\ -6 \end{pmatrix}$

  • oder das Skalarprodukt zweier Vektoren, das Ergebnis ist ein Skalar, oder eine Zahl: $\vec a\cdot \vec b=a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y+a_z\cdot b_z$

Das Kreuzprodukt hat als Ergebnis einen Vektor. Daher kommt der Name. Es wird auch als vektorielles Produkt, Vektorprodukt oder äußeres Produkt bezeichnet.

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist wie folgt definiert:

$\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_y\cdot b_z-a_z\cdot b_y \\ a_z\cdot b_x-a_x\cdot b_z\\ a_x\cdot b_y-a_y\cdot b_x \end{pmatrix}$

Ein Trick zur Berechnung des Kreuzproduktes

Die obige Definition sieht schon recht kompliziert aus. Du kannst mit einem einfachen Trick das Vektor- oder auch Kreuzprodukt zweier Vektoren berechnen. Dies siehst du hier an einem Beispiel. Berechnet werden soll das Kreuzprodukt der beiden Vektoren $\vec a$ und $\vec b$, für die gilt:

$\vec a=\begin{pmatrix} 3 \\ 4\\ 1 \end{pmatrix}$

sowie:

$\vec b=\begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

Dann kannst du das Kreuzprodukt folgendermaßen, berechnen:

1161_Vektorprodukt_1.jpg

  • Schreibe zunächst die jeweils ersten beiden Koordinaten der Vektoren noch einmal unter die Vektoren:

1161_Vektorprodukt_2.jpg

  • Nun kannst du, Koordinate für Koordinate, das Kreuzprodukt berechnen, das bedeutet die Koordinaten des resultierenden Vektors:

1161_Vektorprodukt_3.jpg

  • Multipliziere die Koordinaten von links oben nach rechts unten (hier rot) und ziehe davon das Produkt der Koordinaten von links unten nach rechts oben (hier grün) ab.
  • Ebenso machst du dies mit den nächsten beiden Koordinaten. Das siehst du hier:

1161_Vektorprodukt_4.jpg

1161_Vektorprodukt_5.jpg

  • Zuletzt berechnest du die jeweiligen Differenzen:

1161_Vektorprodukt_6.jpg

Du hast damit das Kreuzprodukt berechnet:

$\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9 \\ -4\\ -11 \end{pmatrix}$

Wofür benötigst du eigentlich das Kreuzprodukt?

Wenn du den Ergebnisvektor mit jedem der beiden Vektoren multiplizierst, erhältst du:

$\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 9 \\ -4\\ -11 \end{pmatrix}=27-16-11=0$

sowie

$\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 9 \\ -4\\ -11 \end{pmatrix}=18+4-22=0$

Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$ ergibt, bedeutet dies, dass die Vektoren orthogonal, also senkrecht, zueinander sind.

Der resultierende Vektor des Kreuzproduktes zweier Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ steht also senkrecht auf den beiden Vektoren. Es gilt:

  • $\vec a\times\vec b\perp \vec a$
  • $\vec a\times\vec b\perp \vec b$

Wenn durch die beiden Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ eine Ebene aufgespannt wird, steht also der aus dem Kreuzprodukt resultierende Vektor senkrecht zu der Ebene. Man bezeichnet den Vektor dann als Normalenvektor der Ebene. Dieser Vektor wird mit $\vec n$ bezeichnet.

Anwendung des Kreuzproduktes

Flächenberechnung: Parallelogramm

Die Fläche eines Parallelogramms kannst du mit Hilfe des Skalarproduktes berechnen. Etwas kompakter ist die Berechnung mit Hilfe des Kreuzprodukt.

1161_Parallelogramm.jpg

$A_{\text{Parallelogramm}}=\left|\vec a\times \vec b\right|$

Dabei stehen die Betragsstriche für den Betrag oder die Länge des Vektors.

Flächenberechnung: Dreieck

Die Fläche eines Dreiecks lässt sich ebenfalls mit der obigen Formel berechnen. Du musst noch durch $2$ dividieren.

$A_{\text{Dreieck}}=\frac12\cdot\left|\vec a\times \vec b\right|$

Dies können wir an einem Beispiel üben:

1161_Dreieck_PQR.jpg

Die Punkte seien $P(3|2|1)$, $Q(1|-1|-3)$ sowie $R(-2|2|2)$.

  • $\vec a=\vec{PR}=\begin{pmatrix} -5 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$
  • $\vec b=\vec{PQ}=\begin{pmatrix} -2 \\ -3\\ -4 \end{pmatrix}$
  • $\begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} -2 \\ -3\\ -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0-3 \\ 2-20\\ 15-0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ -18\\ 15 \end{pmatrix}$

Nun kannst du den Flächeninhalt des Dreiecks $\Delta_{PQR}$ berechnen:

$\begin{array}{rcl}A_{\Delta_{PQR}}&=&\frac12\left|\begin{pmatrix} -3 \\\ -18\\\ 15 \end{pmatrix}\right|\\\ &=&\frac12\cdot \sqrt{9+324+225}\\\ &=&\frac12\cdot\sqrt{558}\\\ &\approx&11,8 ~\text{[FE]}\end{array}$

Volumenberechnung: Spat

Ein Spat oder auch Parallelepiped ist ein geometrischer Körper: Die begrenzenden Flächen sind paarweise kongruente, in parallelen Ebenen liegende, Parallelogramme. Hier siehst du ein Spat.

1161_Spat.jpg

Dieses Spat wird von den drei Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ aufgespannt.

Das Volumen eines solchen Spats ist gegeben durch das Spatprodukt:

$V_{\text{Spat}}=\left|\left(\vec a\times\vec b\right)\cdot \vec c\right| $