Anwendung des Kreuzprodukts – Beispiele

Anwendung des Kreuzprodukts – Beispiele Übung

• Bestimme die Verbindungsvektoren $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ sowie $\vec{AE}$.

  Tipps

  Der Verbindungsvektor von $A(a_1|a_2|a_3)$ und $B(b_1|b_2|b_3)$ ist gegeben durch

  $\vec{AB}=\begin{pmatrix} b_1-a_1\\ b_2-a_2\\ b_3-a_3 \end{pmatrix}$.

  Der Vektor $\vec{BA}$ ist der Gegenvektor zu $\vec{AB}$; das heißt $\vec{BA}=-\vec{AB}$.

  Lösung

  Der Verbindungsvektor von $A(a_1|a_2|a_3)$ und $B(b_1|b_2|b_3)$ ist gegeben durch:

  $\vec{AB}=\begin{pmatrix} b_1-a_1\\ b_2-a_2\\ b_3-a_3 \end{pmatrix}$.

  Damit sind:

  $\vec a=\vec{AB}=\begin{pmatrix} 4-4\\ 8-1\\ -1-(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 7\\ 0 \end{pmatrix}$,

  $\vec b=\vec{AD}=\begin{pmatrix} 1-4\\8-1\\-1-(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ 7\\ 0 \end{pmatrix}$ und

  $\vec c=\vec{AE}=\begin{pmatrix} 3-4\\ 2-1\\ 3-(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 4 \end{pmatrix}$.

• Berechne das Vektorprodukt von $\vec a$ und $\vec b$ sowie das Volumen des Spats.

  Tipps

  Das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec a=\begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix}$ sowie $\vec b=\begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}$ ist

  $\vec a\cdot \vec b=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$.

  Das Ergebnis des Skalarproduktes ist eine Zahl.

  Das Vektorprodukt der beiden Vektoren $\vec a=\begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix}$ sowie $\vec b=\begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}$ ist

  $\vec a\times \vec b=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$.

  Das Ergebnis des Vektorproduktes ist ein Vektor. Dieser Vektor ist orthogonal zu den beiden multiplizierten Vektoren.

  Lösung

  Wir benötigen die Formeln für das Vektor- und Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec a=\begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix}$ sowie $\vec b=\begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}$. Das Skalarprodukt ist $\vec a\cdot \vec b=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$. Das Vektorprodukt ist $\vec a\times \vec b=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$.

  Die Rechnung für unser Beispiel ist in dem Bild zu sehen.

  Zunächst wird das Vektorprodukt der ersten beiden Vektoren gebildet:

  $\begin{pmatrix} 0\\ 7\\ 0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} -3\\ 7\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7\cdot0-0\cdot7 \\ 0\cdot(-3)-0\cdot 0\\ 0\cdot7-7\cdot (-3) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 21 \end{pmatrix}$.

  Nun wird das Skalarprodukt dieses Vektorproduktes mit dem dritten Vektor berechnet:

  $V_{Spat}= \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 21 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}\right| =0\cdot(-1)+0\cdot1+21\cdot 4=84~\text{[VE]}$.

• Bestimme das Vetorprodukt der Vektoren $\vec{AB}$ sowie $\vec{AC}$.

  Tipps

  Der Verbindungsvektor von $A(a_1|a_2|a_3)$ und $B(b_1|b_2|b_3)$ ist gegeben durch

  $\vec{AB}=\begin{pmatrix} b_1-a_1\\ b_2-a_2\\ b_3-a_3 \end{pmatrix}$.

  Das Vektorprodukt der beiden Vektoren $\vec a=\begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix}$ sowie $\vec b=\begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}$ ist

  $\vec a\times \vec b=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$.

  Das Ergebnis des Vektorproduktes ist ein Vektor. Dieser Vektor ist orthogonal zu den beiden multiplizierten Vektoren.

  Lösung

  Wir betrachten die Punkte $A(1|2|3)$, $B(2|3|0)$ und $C(3|3|1)$. Zunächst bestimmt man die Verbindungsvektoren:

  • $\vec{AB}=\begin{pmatrix} 2-1 \\ 3-2 \\0-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\-3 \end{pmatrix}$ und
  • $\vec{AC}=\begin{pmatrix} 3-1 \\ 3-2 \\1-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\-2 \end{pmatrix}$.

  Mit der Definition des Vektorproduktes kann nun $\vec{AB}\times\vec{AC}$ berechnet werden:

  $\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -3 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\cdot(-2)-(-3)\cdot1 \\ (-3)\cdot2-1\cdot (-2)\\ 1\cdot1-1\cdot 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}$.

• Ermittle verschiedene Vektor- und Spatprodukte für die angegebenen Vektoren.

  Tipps

  Das Spatpordukt ist nicht kommutativ. Das heißt, man kann die Vektoren nicht beliebig vertauschen.

  Der Wert des Spatproduktes ändert sich nicht, wenn man zyklisch tauscht:

  $\left(\vec a \times \vec b\right)\cdot\vec c=\left(\vec b \times \vec c\right)\cdot\vec a=\left(\vec c \times \vec a\right)\cdot\vec b$.

  Es gilt $\vec a \times \vec b=-\vec b\times \vec a$.

  Das heißt, dass das Spatprodukt antikommutativ ist.

  Lösung

  Wenn man das Spatprodukt berechnen möchte, muss man zunächst ein Vektorprodukt berechnen:

  $\vec a \times \vec b=\begin{pmatrix} -3\\ 7\\ 0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7\cdot8-0\cdot1 \\ 0\cdot1-(-3)\cdot 8\\ (-3)\cdot1-7\cdot 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 56 \\ 24 \\ -10 \end{pmatrix}$

  $\vec b \times \vec c=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 8 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 2\\ -4\\ 7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\cdot7-8\cdot(-4) \\ 8\cdot2-1\cdot 7\\ 1\cdot(-4)-1\cdot 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 39 \\ 9 \\ -6 \end{pmatrix}$.

  Das Spatprodukt benötigt man zum Beispiel zur Berechnung des Volumens eines Spats. Man kann sich die Frage stellen, woher man denn weiß, in welcher Reihenfolge das Spatprodukt berechnet werden soll:

  • Das Spatpordukt ist nicht kommutativ. Das heißt, dass man die Vektoren nicht beliebig vertauschen kann.
  • Der Wert des Spatproduktes ändert sich nicht, wenn man zyklisch tauscht:

  $\left(\vec a \times \vec b\right)\cdot\vec c=\left(\vec b \times \vec c\right)\cdot\vec a=\left(\vec c \times \vec a\right)\cdot\vec b$.

  • Es gilt $\vec a \times \vec b=-\vec b\times \vec a$. Das heißt, dass das Spatprodukt antikommutativ ist.

  Mit diesen Regeln können wir auch noch die Spatprodukte berechnen:

  $\left(\vec b \times \vec c\right)\cdot\vec a=\left(\vec a \times \vec b\right)\cdot\vec c=\begin{pmatrix} 56 \\ 24 \\ -10 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix}=-54$

  $\left(\vec a \times \vec c\right)\cdot\vec b=- \left(\vec c \times \vec a\right)\cdot\vec b=- \left(\vec a \times \vec b\right)\cdot\vec c=-(-54)=54$

• Ergänze die Erklärungen zu Vektoren im Raum.

  Tipps

  Bei einer Geraden $g$ in Parameterform $g:~ \vec x=\vec p+t\cdot \vec v$ sind $\vec p$ der Stützvektor und $\vec v$ der Richtungsvektor.

  „Skalar“ ist ein Synonym für Zahl.

  Lösung

  Der Verbindungsvektor von $A(a_1|a_2|a_3)$ und $B(b_1|b_2|b_3)$ ist gegeben durch

  $\vec{AB}=\begin{pmatrix} b_1-a_1\\ b_2-a_2\\ b_3-a_3 \end{pmatrix}$.

  Das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec a=\begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix}$ sowie $\vec b=\begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}$ ist

  $\vec a\cdot \vec b=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$.

  Das Ergebnis des Skalarproduktes ist eine Zahl.

  Das Vektorprodukt der beiden Vektoren $\vec a=\begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix}$ sowie $\vec b=\begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}$ ist

  $\vec a\times \vec b=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$.

  Das Ergebnis des Vektorproduktes ist ein Vektor. Dieser Vektor ist orthogonal zu den beiden multiplizierten Vektoren.

• Berechne das Volumen der Doppelpyramide.

  Tipps

  Das Volumen der Pyramide $ABCDS_1$ ist ein Drittel des Volumen des Spats.

  Das Volumen der Doppelpyramide ist das doppelte des Volumens der Pyramide $ABCDS_1$.

  Es gelte

  • $\vec b=\vec {AB}=\begin{pmatrix} 4\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$,
  • $\vec d=\vec {AD}=\begin{pmatrix} 0\\ 4\\ 0 \end{pmatrix}$ und
  • $\vec s=\vec{AS_1}=\begin{pmatrix} 2\\ 2\\ 6 \end{pmatrix}$.

  Diese drei Vektoren spannen einen Spat auf.

  Das Volumen des von den Vektoren $\vec b$, $\vec d$ und $\vec s$ aufgespannten Spats beträgt:

  $V_{Spat}=\left|\left(\vec b\times \vec d\right)\cdot \vec s\right|$.

  Lösung

  Eine Doppelpyramide habe in der $xy$-Koordinatenebene die Eckpunkte $A(0|0|0)$, $B(4|0|0)$, $C(4|4|0)$ sowie $D(0|4|0)$ und die Spitzen $S_1(2|2|6)$ oberhalb und $S_2(2|2|-6)$ unterhalb der $xy$-Koordinatenebene.

  Die Vektoren

  • $\vec b=\vec {AB}=\begin{pmatrix} 4\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$,
  • $\vec d=\vec {AD}=\begin{pmatrix} 0\\ 4\\ 0 \end{pmatrix}$ und
  • $\vec s=\vec{AS_1}=\begin{pmatrix} 2\\ 2\\ 6 \end{pmatrix}$.

  spannen ein Spat auf. Das Volumen dieses Spats lässt sich mit der Formel:

  $V_{Spat}=\left|\left(\vec b\times \vec d\right)\cdot \vec s\right|$

  berechnen.

  Zunächst kann man das Vektorprodukt berechnen:

  $\begin{pmatrix} 4\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 0\\ 4\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\cdot0-0\cdot4 \\ 0\cdot0-4\cdot 0\\ 4\cdot4-0\cdot 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 16 \end{pmatrix}$.

  Dieser Vektor wird mit dem dritten Vektor multipliziert:

  $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 16 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 2\\ 2\\ 6 \end{pmatrix}=0\cdot2+0\cdot2+16\cdot6=96$.

  Das Volumen der Pyramide $ABCDS_1$ ist ein Drittel des Volumens des Spats, also $V_{ABCDS_1}=\frac13\cdot 96=32$.

  Das gesuchte Volumen der Doppelpyramide ist demnach $V_{Pyr}=64~ [\text{VE}]$.