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Anwendung des Kreuzprodukts – Beispiele

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Die Autor*innen
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Giuliano Murgo
Anwendung des Kreuzprodukts – Beispiele
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Anwendung des Kreuzprodukts – Beispiele Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Anwendung des Kreuzprodukts – Beispiele kannst du es wiederholen und üben.
  • Tipps

    Der Verbindungsvektor von $A(a_1|a_2|a_3)$ und $B(b_1|b_2|b_3)$ ist gegeben durch

    $\vec{AB}=\begin{pmatrix} b_1-a_1\\ b_2-a_2\\ b_3-a_3 \end{pmatrix}$.

    Der Vektor $\vec{BA}$ ist der Gegenvektor zu $\vec{AB}$; das heißt $\vec{BA}=-\vec{AB}$.

    Lösung

    Der Verbindungsvektor von $A(a_1|a_2|a_3)$ und $B(b_1|b_2|b_3)$ ist gegeben durch:

    $\vec{AB}=\begin{pmatrix} b_1-a_1\\ b_2-a_2\\ b_3-a_3 \end{pmatrix}$.

    Damit sind:

    $\vec a=\vec{AB}=\begin{pmatrix} 4-4\\ 8-1\\ -1-(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 7\\ 0 \end{pmatrix}$,

    $\vec b=\vec{AD}=\begin{pmatrix} 1-4\\8-1\\-1-(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ 7\\ 0 \end{pmatrix}$ und

    $\vec c=\vec{AE}=\begin{pmatrix} 3-4\\ 2-1\\ 3-(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 4 \end{pmatrix}$.

  • Tipps

    Das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec a=\begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix}$ sowie $\vec b=\begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}$ ist

    $\vec a\cdot \vec b=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$.

    Das Ergebnis des Skalarproduktes ist eine Zahl.

    Das Vektorprodukt der beiden Vektoren $\vec a=\begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix}$ sowie $\vec b=\begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}$ ist

    $\vec a\times \vec b=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$.

    Das Ergebnis des Vektorproduktes ist ein Vektor. Dieser Vektor ist orthogonal zu den beiden multiplizierten Vektoren.

    Lösung

    Wir benötigen die Formeln für das Vektor- und Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec a=\begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix}$ sowie $\vec b=\begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}$. Das Skalarprodukt ist $\vec a\cdot \vec b=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$. Das Vektorprodukt ist $\vec a\times \vec b=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$.

    Die Rechnung für unser Beispiel ist in dem Bild zu sehen.

    Zunächst wird das Vektorprodukt der ersten beiden Vektoren gebildet:

    $\begin{pmatrix} 0\\ 7\\ 0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} -3\\ 7\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7\cdot0-0\cdot7 \\ 0\cdot(-3)-0\cdot 0\\ 0\cdot7-7\cdot (-3) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 21 \end{pmatrix}$.

    Nun wird das Skalarprodukt dieses Vektorproduktes mit dem dritten Vektor berechnet:

    $V_{Spat}= \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 21 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}\right| =0\cdot(-1)+0\cdot1+21\cdot 4=84~\text{[VE]}$.

  • Tipps

    Der Verbindungsvektor von $A(a_1|a_2|a_3)$ und $B(b_1|b_2|b_3)$ ist gegeben durch

    $\vec{AB}=\begin{pmatrix} b_1-a_1\\ b_2-a_2\\ b_3-a_3 \end{pmatrix}$.

    Das Vektorprodukt der beiden Vektoren $\vec a=\begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix}$ sowie $\vec b=\begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}$ ist

    $\vec a\times \vec b=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$.

    Das Ergebnis des Vektorproduktes ist ein Vektor. Dieser Vektor ist orthogonal zu den beiden multiplizierten Vektoren.

    Lösung

    Wir betrachten die Punkte $A(1|2|3)$, $B(2|3|0)$ und $C(3|3|1)$. Zunächst bestimmt man die Verbindungsvektoren:

    • $\vec{AB}=\begin{pmatrix} 2-1 \\ 3-2 \\0-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\-3 \end{pmatrix}$ und
    • $\vec{AC}=\begin{pmatrix} 3-1 \\ 3-2 \\1-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\-2 \end{pmatrix}$.
    Mit der Definition des Vektorproduktes kann nun $\vec{AB}\times\vec{AC}$ berechnet werden:

    $\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -3 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\cdot(-2)-(-3)\cdot1 \\ (-3)\cdot2-1\cdot (-2)\\ 1\cdot1-1\cdot 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}$.

  • Tipps

    Das Spatpordukt ist nicht kommutativ. Das heißt, man kann die Vektoren nicht beliebig vertauschen.

    Der Wert des Spatproduktes ändert sich nicht, wenn man zyklisch tauscht:

    $\left(\vec a \times \vec b\right)\cdot\vec c=\left(\vec b \times \vec c\right)\cdot\vec a=\left(\vec c \times \vec a\right)\cdot\vec b$.

    Es gilt $\vec a \times \vec b=-\vec b\times \vec a$.

    Das heißt, dass das Spatprodukt antikommutativ ist.

    Lösung

    Wenn man das Spatprodukt berechnen möchte, muss man zunächst ein Vektorprodukt berechnen:

    $\vec a \times \vec b=\begin{pmatrix} -3\\ 7\\ 0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7\cdot8-0\cdot1 \\ 0\cdot1-(-3)\cdot 8\\ (-3)\cdot1-7\cdot 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 56 \\ 24 \\ -10 \end{pmatrix}$

    $\vec b \times \vec c=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 8 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 2\\ -4\\ 7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\cdot7-8\cdot(-4) \\ 8\cdot2-1\cdot 7\\ 1\cdot(-4)-1\cdot 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 39 \\ 9 \\ -6 \end{pmatrix}$.

    Das Spatprodukt benötigt man zum Beispiel zur Berechnung des Volumens eines Spats. Man kann sich die Frage stellen, woher man denn weiß, in welcher Reihenfolge das Spatprodukt berechnet werden soll:

    • Das Spatpordukt ist nicht kommutativ. Das heißt, dass man die Vektoren nicht beliebig vertauschen kann.
    • Der Wert des Spatproduktes ändert sich nicht, wenn man zyklisch tauscht:
    $\left(\vec a \times \vec b\right)\cdot\vec c=\left(\vec b \times \vec c\right)\cdot\vec a=\left(\vec c \times \vec a\right)\cdot\vec b$.
    • Es gilt $\vec a \times \vec b=-\vec b\times \vec a$. Das heißt, dass das Spatprodukt antikommutativ ist.
    Mit diesen Regeln können wir auch noch die Spatprodukte berechnen:

    $\left(\vec b \times \vec c\right)\cdot\vec a=\left(\vec a \times \vec b\right)\cdot\vec c=\begin{pmatrix} 56 \\ 24 \\ -10 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix}=-54$

    $\left(\vec a \times \vec c\right)\cdot\vec b=- \left(\vec c \times \vec a\right)\cdot\vec b=- \left(\vec a \times \vec b\right)\cdot\vec c=-(-54)=54$

  • Tipps

    Bei einer Geraden $g$ in Parameterform $g:~ \vec x=\vec p+t\cdot \vec v$ sind $\vec p$ der Stützvektor und $\vec v$ der Richtungsvektor.

    „Skalar“ ist ein Synonym für Zahl.

    Lösung

    Der Verbindungsvektor von $A(a_1|a_2|a_3)$ und $B(b_1|b_2|b_3)$ ist gegeben durch

    $\vec{AB}=\begin{pmatrix} b_1-a_1\\ b_2-a_2\\ b_3-a_3 \end{pmatrix}$.

    Das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec a=\begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix}$ sowie $\vec b=\begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}$ ist

    $\vec a\cdot \vec b=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$.

    Das Ergebnis des Skalarproduktes ist eine Zahl.

    Das Vektorprodukt der beiden Vektoren $\vec a=\begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix}$ sowie $\vec b=\begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}$ ist

    $\vec a\times \vec b=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$.

    Das Ergebnis des Vektorproduktes ist ein Vektor. Dieser Vektor ist orthogonal zu den beiden multiplizierten Vektoren.

  • Tipps

    Das Volumen der Pyramide $ABCDS_1$ ist ein Drittel des Volumen des Spats.

    Das Volumen der Doppelpyramide ist das doppelte des Volumens der Pyramide $ABCDS_1$.

    Es gelte

    • $\vec b=\vec {AB}=\begin{pmatrix} 4\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$,
    • $\vec d=\vec {AD}=\begin{pmatrix} 0\\ 4\\ 0 \end{pmatrix}$ und
    • $\vec s=\vec{AS_1}=\begin{pmatrix} 2\\ 2\\ 6 \end{pmatrix}$.
    Diese drei Vektoren spannen einen Spat auf.

    Das Volumen des von den Vektoren $\vec b$, $\vec d$ und $\vec s$ aufgespannten Spats beträgt:

    $V_{Spat}=\left|\left(\vec b\times \vec d\right)\cdot \vec s\right|$.

    Lösung

    Eine Doppelpyramide habe in der $xy$-Koordinatenebene die Eckpunkte $A(0|0|0)$, $B(4|0|0)$, $C(4|4|0)$ sowie $D(0|4|0)$ und die Spitzen $S_1(2|2|6)$ oberhalb und $S_2(2|2|-6)$ unterhalb der $xy$-Koordinatenebene.

    Die Vektoren

    • $\vec b=\vec {AB}=\begin{pmatrix} 4\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$,
    • $\vec d=\vec {AD}=\begin{pmatrix} 0\\ 4\\ 0 \end{pmatrix}$ und
    • $\vec s=\vec{AS_1}=\begin{pmatrix} 2\\ 2\\ 6 \end{pmatrix}$.
    spannen ein Spat auf. Das Volumen dieses Spats lässt sich mit der Formel:

    $V_{Spat}=\left|\left(\vec b\times \vec d\right)\cdot \vec s\right|$

    berechnen.

    Zunächst kann man das Vektorprodukt berechnen:

    $\begin{pmatrix} 4\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 0\\ 4\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\cdot0-0\cdot4 \\ 0\cdot0-4\cdot 0\\ 4\cdot4-0\cdot 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 16 \end{pmatrix}$.

    Dieser Vektor wird mit dem dritten Vektor multipliziert:

    $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 16 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 2\\ 2\\ 6 \end{pmatrix}=0\cdot2+0\cdot2+16\cdot6=96$.

    Das Volumen der Pyramide $ABCDS_1$ ist ein Drittel des Volumens des Spats, also $V_{ABCDS_1}=\frac13\cdot 96=32$.

    Das gesuchte Volumen der Doppelpyramide ist demnach $V_{Pyr}=64~ [\text{VE}]$.

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