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Kreuzprodukt – Herleitung 10:28 min

Textversion des Videos

Transkript Kreuzprodukt – Herleitung

Hallo, ich bin Giuliano und ich möchte dir heute erklären, wie man das Vektorprodukt von zwei Vektoren im Raum herleitet.  Das Vektorprodukt bildet von zwei beliebigen Vektoren im Raum einen dritten Vektor, den ich jetzt hier n nenne, der folgende Eigenschaft hat: n ist nämlich einmal orthogonal zu a, das kennzeichne ich hier mit dem rechten Winkel, und einmal orthogonal zu b. Und ich möchte dir jetzt zeigen wie man die allgemeine Formel des Vektorpoduktes herleitet. Das heißt, ich möchte dir zeigen, wie man das Vektorprodukt definiert. Also, Definition Vektorprodukt. Dazu nehmen wir einen allgemeinen Vektor a, mit den Koordinaten a1, a2 und a3 und einen Vektor b mit den allgemeinen Koordinaten b1, b2 und b3. Und wir wollen jetzt einmal herausfinden, was passiert denn, wenn ich einen allgemeinen Vektor n1, n2 und n3 habe. Und wir wollen jetzt gucken, ok das Vektorprodukt, das definiere ich jetzt als Kreuz, also a kreuz b soll jetzt das Vektorprodukt darstellen, und hier kommt jetzt eine Formel hin, die ich zusammen mit dir herleiten werde. Diese Formel sind eben genau diese drei Koordinaten des n mit den Eigenschaften der Orthogonalität. Durch die Definition des Skalarprodukts und der Orthogonalität gelten genau zwei Bedingungen für n. Die möchte ich euch einmal hier aufschreiben, in einem Gleichungssystem, was gleich entsteht. Nach der Definition des Skalarprodukts gilt nämlich, wenn zwei Vektoren orthogonal sind, dann ist das Skalarprodukt von ihnen null. Also ist die erste Bedingung ist na=0 und die zweite Bedingung ist nb=0. Nun können wir, nach der Definition des Skalarprodukts in der Koordinatenform, diese Gleichung konkret angeben, indem ich die allgemeinen Vektoren von a und b und n eingebe. Das heißt, hier steht dann n1a1+n2a2+n3a3=0 und die zweite Gleichung lautet n1b1+n2b2+n3b3=0. Dieses Gleichungssystem hat drei Variablen, die möchte ich euch einmal Markieren. Wir haben hier einmal das n1, dann haben wir einmal das n2 und die dritte Variable, die momentan noch unbekannt ist und die wir gleich ausrechnen wollen, ist n3. Ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Variablen hat potenziell unendlich viele Lösungen. Wir wollen jetzt aber konkrete Lösungen herausbekommen und das macht man, indem man eine Variable dann frei wählen kann. Das mache ich aber gleich. Zuvor möchte ich, so wie bei jedem linearen Gleichungssystem, eine Variable eliminieren. Das ist in diesem Fall das n2 Dazu rechnen wir die obere Zeile mal b2 und die untere Zeile mal a2. Dadurch entsteht in der Mitte die gleiche Zahl. Ja, also hier die Zahlen sind dann identisch und wenn ich diese beiden dann subtrahiere, entfällt dieser Teil mit dem n2. Diese Gleichung nenne ich jetzt einfach drittens, indem ich die erste Gleichung mal b2 minus die zweite Gleichung mal a2 rechne. Dann sieht das folgendermaßen aus: n1 mal a1 mal b2 minus n1 mal b1 mal a2 plus, dieser Teil fällt raus, n3 mal a3 mal b2 minus n3  mal a2 mal b3. 0-0=0. Das heißt, wir haben jetzt eine Gleichung und der Vorteil ist jetzt, wir haben nur noch zwei Variablen. Einmal das n1 als Variable und als zweites, oder als zweite Variable, haben wir das n3. Das was wir jetzt machen ist, wir klammern das n1 aus diesen beiden Ausdrücken aus und das n3 aus diesen beiden Ausdrücken und werden das n3 auf die andere Seite bringen. Dann ergibt sich folgendes Äquivalenzzeichen: n1 mal a1b2 minus b1a2 gleich n3 mal Klammer auf - dadurch, dass ich das auf die andere Seite hole, ändert sich das Vorzeichen das heißt hier kommt plus - a2b3 minus a3b2. Als letztes dividieren wir noch durch diesen Teil und erhalten eine Bedingung von n1 und n3. Also wenn ich das teile, ist das einfach dieser Ausdruck hier geteilt durch den Ausdruck. Das schreibe ich jetzt hierhin und jetzt gleich sind wir in der Situation, dass wir uns eine von diesen Variablen frei wählen können, und clevererweise machen wir das so: also die Idee ist, dass ich jetzt n3, ihr seht hier einen Bruch und wenn ich jetzt n3 genauso wähle wie den Nenner, dann kürzt sich das gemeinsam weg und n1 entspricht dann hier diesem Zähler. Das heißt, ich wähle jetzt n3 gleich dem Nenner von diesem Bruch hier, das heißt a1 mal b2 minus b1 mal a2. Dadurch folgt automatisch, dass diese Koordinate n1 sein muss- das kürze ich jetzt raus- das ist eben genau der Zähler, also a2 mal b3 minus a3 mal b2, und schon haben wir zwei Koordinaten bestimmt von diesem allgemeinen Vektor n, der orthogonal zu a und b ist. Jetzt als allerletztes müssen wir nur noch diese beiden Koordinaten in eine der beiden Gleichungen hier oben einsetzen und so erhalten wir dann das n2. Ich mache das jetzt mit der ersten Gleichung, man kann es aber auch mit der zweiten Gleichung machen, das ist eigentlich egal. Also n1 und n3, was wir gerade rausgekriegt haben, in die erste Gleichung einsetzen. Dann steht hier Folgendes: n1 setze ich jetzt also ein: a2b3 minu a3b2 mal a1, das steht dort oben, plus, so, n2 wissen wir nicht, das müssen wir noch ausrechnen, mal a2, das bleibt also einfach stehen, plus n3 setze ich dementsprechend auch ein: a2 mal b2 minus b1 mal a2 mal a3 gleich null. So, jetzt haben wir also nur noch, als einzige Unbekannte, das markiere ich hier wieder mit der Farbe, n2, also müssen wir jetzt die Gleichung nach n2 auflösen. Das geht so: Wir multiplizieren diese Ausdrücke aus, diese beiden, und holen die auf die andere Seite, das heißt hier steht n2 mal a2 gleich. So, wenn ich die Sachen ausmultipliziere steht hier a1a2b3, auf die andere Seite geholt ist minus a1a2b3, dementsprechend auch mit dem Ausdruck auf die andere Seite, wird dann eben positiv, also a1a3b2. Das gleiche passiert hier: minus a1a3b2 und das hier wird positiv,  plus a2a3b1. So und nun fällt einem auf, dass sich die mittleren beiden Ausdrücke eben genau heraus kürzen, a1a3b2 minus a1a3b2 kürzt sich genau raus und was wir erhalten sind nur noch diese beiden Ausdrücke. Letzter Schritt, wir müssen noch durch a2 teilen, durch a2, und siehe da, das a2 kürzt sich hier raus und hier raus und übrig bleibt für n2 gleich, ich nehme jetzt das hier nach vorne, a3b1 minus a1b3 und jetzt haben wir unsere letzte Koordinate gefunden. Und diese Eigenschaft dieses allgemeinen n, was dieses Gleichungssystem lösen kann, also das ist eine Lösung von diesem Gleichungssystem, die definieren wir jetzt als Vektorprodukt und zwar, ja das geht also jetzt folgendermaßen: wir tragen jetzt einfach nur diese Koordinaten, die wir gerade ausgerechnet haben, diese allgemeinen Koordinaten, hier einmal ein und das entspricht dann eben n1, n2, n3 mit den Eigenschaften für Orthogonalität. a2b3 minus a3b2, das ist die erste Koordinate, n1, n2 ist a3b1 minus a1b3 und die letzte Koordinate ist n3, das war das zuvor gewählte a1b2 minus b1a2. So, jetzt fasse ich nochmal zusammen was wir gemacht haben: Wir haben uns angeguckt, wie das Vektorprodukt definiert ist, und zwar es bildet das Vektorprodukt einen Vektor n, der orthogonal zu a und b ist. Dann haben wir die beiden Eigenschaften in zwei Gleichungen überführt, die du hier vorne siehst. Da hatten wir ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten, es sind aber zwei Gleichungen, deswegen potentiell unendlich viele Lösungen. Dann haben wir dieses Gleichungssystem gelöst, indem wir die n2-Koordinate erstmal eliminiert haben. Und dann haben wir einen Term, bzw. eine Gleichung, erhalten, indem wir n3 bestimmt haben und dadurch konnten wir n1 auch gleichzeitig bestimmen und mit diesen beiden konnte man dann auch letztendlich n2 bestimmen. Und das ist eine allgemeine Lösung und die haben wir dann, sage ich jetzt mal, Vektorprodukt getauft. Das bedeutet eben, dieser Vektor, der jetzt hier entstanden ist, der hat die Eigenschaft, dass er orthogonal zu a und zu b ist. Ich hoffe, dass ihr das alle verstanden habt und Spaß an dem Video hattet. Tschau, bis zum nächsten Mal! Euer Giuliano.

4 Kommentare
  1. Ah stimmt. Das mit den unendlich vielen Lösungen habe ich vergessen. Sonst habe ich alles verstanden. Super Video, danke.

    Von Ginaprincess, vor mehr als 4 Jahren
  2. @Ginaprincess:
    Das dürfen wir machen, da wir zwei Gleichungen haben mit drei Unbekannten (n1,n2 und n3). Wir nehmen ja an, dass a1,a2 und a3 gegeben sind. Man darf in diesem Fall beliebige Zahlen für n1,n2 oder n3 wählen und dann die anderen Variablen danach auflösen. Man wählt hier n3=a1*b2-b1*a2, damit das n2 kein Term mit Bruch wird. Du kannst theoretisch n3 auch anders wählen. Dann werden n1 und n2 aber Terme mit Brüchen und das macht dann das Ausrechnen des Vektorprodukts schwieriger. Du kannst für dein Referat gerne die obige Rechnung verwenden. Sie entspricht der allgemeinen Herleitung des Vektorprodukts. Es gibt auch noch eine einfache Merkregel zu der Formel in den beiden Videos "!Anwendung des Vektorprodukts" und dem Beispiel-Video dazu. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 4 Jahren
  3. Hallo, ich muss ein Referat über die Herleitung des Vektorprodukts halten und würde gern wissen, wieso man einfach sagen darf, dass n3 jetzt das selbe ist wie a1*b2-b1*a2.

    Von Ginaprincess, vor mehr als 4 Jahren
  4. tolle Videos haben wir wirklich weiter geholfen !

    Von Ecv Ricci, vor fast 5 Jahren

Kreuzprodukt – Herleitung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kreuzprodukt – Herleitung kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zum Vektorprodukt.

    Tipps

    Das Vektorprodukt von $\vec a=\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$ sowie $\vec b=\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 2 \end{pmatrix}$ ist $\vec n=\begin{pmatrix} 2 \\ -1\\ -1 \end{pmatrix}$.

    Beachte die Unterscheidung von „Skalarprodukt“ und „Vektorprodukt“: Beim Skalarprodukt erhält man als Ergebnis eine Zahl, ein Skalar.

    Lösung

    Wenn man zu zwei gegebenen Vektoren einen Vektor finden muss, welcher senkrecht bzw. orthogonal auf diesen beiden Vektoren steht, so kann man dies durch Lösen von Gleichungen tun.

    Dies geht einfacher mit dem Vektorprodukt.

    Das Vektorprodukt zweier Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ liefert einen Vektor $\vec n$; im Gegensatz liefert das Skalarprodukt ein Skalar.

    Dieser Vektor $\vec n$ ist orthogonal zu den beiden Vektoren $\vec a$ und $\vec b$. Es gilt:

    • $\vec n \perp \vec a$ und
    • $\vec n \perp \vec b$.

  • Beschreibe die Herleitung des Vektorproduktes.

    Tipps

    Zwei Vektoren $\vec u$ und $\vec v$ sind orthogonal zueinander, falls ihr Skalarprodukt Null ist.

    Du erhältst ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten. Dann kann eine Unbekannte frei gewählt werden.

    Wähle diese so, dass die Rechnung sich vereinfacht.

    Lösung

    Da das Vektorprodukt $\vec a\times \vec b=\vec n$ einen Vektor $\vec n$ liefert, welcher senkrecht auf $\vec a$ und $\vec b$ steht, erhält man die Gleichungen:

    $\begin{align*} &\text{I}&n_1\cdot a_1+n_2\cdot a_2+n_3\cdot a_3& = 0 \\ &\text{II}&n_1\cdot b_1+n_2\cdot b_2+n_3\cdot b_3& = 0 \end{align*}$.

    Die Unbekannte $n_2$ soll eliminiert werden. Hierzu multipliziert man die erste Gleichung mit $b_1$ und die zweite mit $a_2$. Die zweite Gleichung wird dann von der ersten subtrahiert:

    $\text{III }n_1\cdot a_1\cdot b_2-n_1\cdot a_2\cdot b_1+n_3\cdot a_3\cdot b_2-n_3\cdot a_2\cdot b_3=0$.

    Die Rechnung, welche zu $n_1$ führt, ist im Bild zu sehen:

    • es wird jeweils $n_1$ und $n_3$ ausgeklammert und
    • der Term mit $n_3$ wird auf die rechte Seite gebracht.
    • Zuletzt wird durch den Faktor in der Klammer auf der linken Seite geteilt.
    Da eine Unbekannte frei gewählt werden kann, wählt man $\mathbf{n_3=a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1}$. Somit kürzt sich dieser Term auf der rechten Seite und man erhält $\mathbf{n_1=a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2}$.

    Diese beiden Koordinaten werden in der ersten Gleichung eingesetzt:

    $\begin{align*} && 0&=(a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2)\cdot a_1+n_2\cdot a_2+(a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1)\cdot a_3\\ &\Leftrightarrow&n_2\cdot a_2&=a_1\cdot a_3\cdot b_2-a_1\cdot a_2\cdot b_3+a_2\cdot a_3\cdot b_1-a_1\cdot a_3\cdot b_2\\ &\Leftrightarrow&n_2\cdot a_2&=a_2\cdot(a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3)&|&:a_2\\ &\Leftrightarrow&\mathbf{n_2}&\mathbf{=a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3}. \end{align*}$

  • Definiere das Vektorprodukt.

    Tipps

    Merkregel: Du kannst die Vektoren zweimal untereinander schreiben, die erste und letzte Zeile streichen und dann über Kreuz multiplizieren:

    $\begin{array}{c} \not{a_1}\\ a_2\\ a_3\\ a_1\\ a_2\\ \not{a_3} \end{array} \begin{array}{c} \times\\ \times\\ \times \end{array} \begin{array}{c} \not{b_1} \\ b_2\\ b_3\\ b_1\\ b_2\\ \not{b_3} \end{array}$

    Zunächst werden die zweite und dritte Koordinate über Kreuz multipliziert und die Produkte subtrahiert, dann die dritte und erste und zuletzt die erste und zweite.

    Lösung

    Das Vektorprodukt ist wie folgt definiert:

    $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$.

    Diese Definition kannst man sich wie folgt einprägen:

    $\begin{array}{c} \not{a_1}\\ a_2\\ a_3\\ a_1\\ a_2\\ \not{a_3} \end{array} \begin{array}{c} \times\\ \times\\ \times \end{array} \begin{array}{c} \not{b_1} \\ b_2\\ b_3\\ b_1\\ b_2\\ \not{b_3} \end{array}=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$

    Das bedeutet,

    • man schreibt den jeweiligen Vektor zweimal übereinander und
    • streicht die erste und letzte Zeile.
    • Nun werden immer über Kreuz die Koordinaten multipliziert und subtrahiert.

  • Ermittle das Vektorprodukt für die vorgegebenen Vektoren.

    Tipps

    Das Vektorprodukt ist wie folgt definiert:

    $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$.

    Du kannst überprüfen, ob dein Ergebnis stimmt: Das Skalarprodukt des Ergebnisvektors mit jedem der beiden zu multiplizierenden Vektoren muss $0$ sein.

    Es gibt eine Merkhilfe für die Berechnung des Vektorproduktes:

    • schreibe jeden der beiden Vektoren zweimal untereinander,
    • streiche die erste und letzte Zeile und
    • multipliziere dann die zweite und dritte über Kreuz und subtrahiere die Produkte.
    • Fahre so fort mit der dritten und vierten sowie vierten und fünften Zeile.

    Lösung

    Es gibt eine Merkhilfe für die Berechnung des Vektorproduktes:

    • schreibe jeden der beiden Vektoren zweimal untereinander,
    • streiche die erste und letzte Zeile und
    • multipliziere dann die zweite und dritte über Kreuz und subtrahiere die Produkte.
    • Fahre so fort mit der dritten und vierten sowie vierten und fünften Zeile.
    Diese ist hier in dem Bild zu sehen.

    Der gesuchte Vektor ist

    $\vec n=\begin{pmatrix} -10 \\ 10 \\ 10 \end{pmatrix}$.

  • Bestimme einen Vektor, der sowohl zu $\vec a$ als auch zu $\vec b$ orthogonal ist.

    Tipps

    Zwei Vektoren $\vec u$ und $\vec v$ sind orthogonal zueinander, falls ihr Skalarprodukt Null ist.

    Du erhältst 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Das bedeutet, dass du eine Unbekannte frei wählen kannst.

    Wähle diese so, dass du Brüche vermeidest.

    Lösung

    Da der gesuchte Vektor $\vec n$ senkrecht auf $\vec a$ sowie $\vec b$ steht, muss gelten:

    • $\text{I}~-n_1-n_2+3n_3=0$
    • $\text{II}~4n_1-3n_2+n_3=0$.
    Die erste Gleichung kann mit $4$ multipliziert und zur zweiten addiert werden:

    $-7n_2+13n_3=0$.

    Eine Unbekannte kann frei gewählt werden. Dies geschieht so, dass Brüche vermieden werden: Wir wählen zum Beispiel $n_2=13$. Damit erhält man $n_3=7$. Diese beiden Koordinaten werden nun in einer der Ausgangsgleichungen eingesetzt:

    $-n_1-13+3\cdot 7=0$. Dies ist äquivalent zu $n_1=8$.

    Der gesuchte Vektor ist somit

    $\vec n=\begin{pmatrix}8 \\ 13 \\ 7 \end{pmatrix}$.

  • Bilde das Vektorprodukt $\vec n$ von $\vec a$ und $\vec b$.

    Tipps

    Du kannst überprüfen, ob dein Ergebnis stimmt, indem du den erhaltenen Vektor mit den beiden Ausgangsvektoren skalar multiplizierst. Es muss jeweils $0$ herauskommen.

    Es gibt eine Merkhilfe für die Berechnung des Vektorproduktes:

    • schreibe jeden der beiden Vektoren zweimal untereinander,
    • streiche die erste und letzte Zeile und
    • multipliziere dann die zweite und dritte über Kreuz und subtrahiere die Produkte.
    • Fahre so fort mit der dritten und vierten sowie vierten und fünften Zeile.

    Hier siehst du ein Beispiel für die Merkregel für $\vec a=\begin{pmatrix} 0 \\ 11\\ 3 \end{pmatrix}$ und $\vec b=\begin{pmatrix} 5 \\ -1\\ 3 \end{pmatrix}$.

    Lösung

    Es gilt:

    $\begin{align*} n_1&=a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ n_2&=a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ n_3&=a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{align*}$

    Also ist

    • $n_1=2\cdot 2-3\cdot(-1)=7$,
    • $n_2=3\cdot 1-0\cdot 2=3$ und
    • $n_3=0\cdot (-1)-2\cdot 1=-2$.
    Der gesuchte Vektor ist

    $\vec n=\begin{pmatrix} 7 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$.