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Determinante berechnen

Lerne, wie du mit der Determinante einer Matrix deren Invertierbarkeit überprüfst, verschiedene Rechenregeln anwendest und komplexe Determinanten selbst berechnest. Neugierig? Entdecke die faszinierende Welt der Matrizen und ihrer Eigenschaften hier weiter!

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Team Digital
Determinante berechnen
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Determinante berechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Determinante berechnen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was man unter einer Determinante versteht.

    Tipps

    Für die Determinante der Matrix $A$ gibt es verschiedene Schreibweisen:

    $\det (A)$

    beziehungsweise:

    $\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

    Wir können die Determinante einer $2{\times}2$-Matrix mit der folgenden Formel berechnen:

    $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \cdot d - c \cdot b$

    Zwei der Aussagen sind falsch.

    Lösung
    • Eine Determinante ist eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird.
    Diese Aussage ist richtig.

    Eine quadratische Matrix ist eine Matrix, die genauso viele Spalten wie Zeilen hat, also beispielsweise eine $2{\times}2$- oder eine $3{\times}3$-Matrix.

    Für die Determinante der Matrix $A$ gibt es verschiedene Schreibweisen:

    $\det (A)$

    beziehungsweise:

    $\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

    oder auch:

    $|A|$

    beziehungsweise:

    $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$

    Dabei handelt es sich jedoch nicht um die Betragsstriche.

    Die Schreibweise $\det |A|$ ist hingegen falsch, somit auch diese Aussage:

    • Für die Determinante der Matrix $A$ schreiben wir kurz: $\det |A|$.

    Wir können die Determinante einer $2{\times}2$-Matrix mit der folgenden Formel berechnen:

    $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \cdot d - c \cdot b$

    • Zur Berechnung der Determinanten einer $2{\times}2$-Matrix multiplizieren wir entlang der Hauptdiagonalen und ziehen das Produkt der Nebendiagonalen ab.
    Diese Aussage ist entsprechend der obigen Formel richtig.

    Wir können die Determinante einer $3{\times}3$-Matrix mithilfe der Regel von Sarrus berechnen:

    $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - gec - hfa - ibd$

    Somit ist folgende Aussage falsch:

    • Die Regel von Sarrus bezieht sich auf $4{\times}4$-Matrizen.
    Denn diese Regel bezieht sich auf $3{\times}3$-Matrizen.

  • Bestimme die Determinanten der $2{\times}2$-Matrizen.

    Tipps

    Achte auf negative Vorzeichen.

    Lösung

    Eine Determinante ist eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet ist.

    Für eine $2{\times}2$-Matrix gilt zur Bestimmung der Determinante diese Rechenvorschrift:

    $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \cdot d - c \cdot b$

    Wir berechnen nun die Determinaten der gegebenen Matrizen:

    $\begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} = 2 \cdot 7 - 5 \cdot 6 = 14 - 30 = -16$

    $\begin{vmatrix} -3 & -2 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = -3 \cdot (-4) - 1 \cdot (-2) = 12 + 2 = 14$

    $\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-2) - 2 \cdot 2 = -4-4=-8$

    $\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ -1 & 8 \end{vmatrix} = 5 \cdot 8 - (-1) \cdot 2 = 40 + 2 = 42$

  • Berechne die Determinanten der $3{\times}3$-Matrizen.

    Tipps

    $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - gec - hfa - ibd$

    Achte auf negative Vorzeichen.

    Lösung

    Um die Determinante einer $3{\times}3$-Matrix zu berechnen, müssen wir eine ganz konkrete Zahl ermitteln. Wir können die Determinante einer $3{\times}3$-Matrix mithilfe der Regel von Sarrus berechnen:

    $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - gec - hfa - ibd$

    Zur Berechnung der Determinante addieren wir die Produkte der Hauptdiagonalen und ziehen die Produkte der Nebendiagonalen ab. Die Haupt- und Nebendiagonalen können wir dabei gut erkennen, wenn wir die ersten beiden Spalten der Matrix noch einmal rechts daneben ergänzen:

    $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} \begin{matrix} a \\ d \\ g \end{matrix} \quad \begin{matrix} b \\ e \\ h \end{matrix}$

    Wir kennen nun die Vorgehensweise und können so die Determinanten der gegebenen Matrizen berechnen:

    Matrix 1:

    $\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 9 & -2 & 1 \\ 0 & 4 & -5 \\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix} &= 9 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot (-5) \cdot 5 + 1 \cdot 0 \cdot 2 - 5 \cdot 4 \cdot 1 - 2 \cdot (-5) \cdot 9 - 1 \cdot 0 \cdot (-2) \\ &= 36 + 50 + 0 - 20 - (-90) - 0 \\ &= 156 \end{array}$

    Matrix 2:

    $\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 3 & -5 & 1 \\ 8 & 0 & -1 \\ 10 & 2 & 1 \end{vmatrix} &= 3 \cdot 0 \cdot 1 + (-5) \cdot (-1) \cdot 10 + 1 \cdot 8 \cdot 2 - 10 \cdot 0 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) \cdot 3 - 1 \cdot 8 \cdot (-5) \\ &= 0 + 50 + 16 - 0 - (-6) - (-40) \\ &= 112 \end{array}$

    Matrix 3:

    $\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 9 & 4 & -6 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} &= 0 \cdot 4 \cdot 3 + (-2) \cdot (-6) \cdot 2 + 0 \cdot 9 \cdot (-1) - 2 \cdot 4 \cdot 0 - (-1) \cdot (-6) \cdot 0 - 3 \cdot 9 \cdot (-2) \\ &= 0 + 24 + 0 - 0 - (-54) \\ &= 78 \end{array}$

  • Ordne die Matrizen nach der Größe ihrer Determinanten.

    Tipps

    Um die Determinante einer $2{\times}2$-Matrix zu berechnen, berechnen wir das Produkt der Hauptdiagonalen und ziehen das Produkt der Nebendiagonalen davon ab:

    $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

    Berechne zuerst die Determinanten aller vier Matrizen. Arbeite schriftlich. Anschließend kannst du sortieren.

    Lösung

    Um die Determinante einer $2{\times}2$-Matrix zu berechnen, berechnen wir das Produkt der Hauptdiagonalen und ziehen das Produkt der Nebendiagonalen davon ab:

    $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

    Wir berechnen jetzt die Determinanten der gegebenen Matrizen und sortieren anschließend:

    $\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} &= 1\cdot 2 - 3\cdot 2 \\ &= 2 - 6\\ &= -4 \end{array}$

    $\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} &= 1\cdot 2 - 2\cdot 0 \\ &= 2 - 0\\ &= 2 \end{array}$

    $\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} &= 3\cdot 2 - 1\cdot 1 \\ &= 6 - 1\\ &= 5 \end{array}$

    $\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} &= 3\cdot 3 - 1\cdot (-2) \\ &= 9 - (-2) = 9+2 \\ &= 11 \end{array}$

    Die richtige Reihenfolge lautet also:

    $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} \quad < \quad \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} \quad < \quad \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \quad < \quad \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}$

  • Gib an, von welchen mathematischen Objekten sich eine Determinante berechnen lässt.

    Tipps

    Eine Determinante ist eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird.

    Du musst zwei Objekte auswählen.

    Lösung

    Eine Determinante ist eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird.
    Eine quadratische Matrix ist eine Matrix, die genauso viele Spalten wie Zeilen hat, also beispielsweise eine $2{\times}2$- oder eine $3{\times}3$-Matrix.

    Wir betrachten die gegebenen Objekte:

    • $\begin{pmatrix} 2 & 3 & 9 \\ 0 & -1 & -10 \\ 10 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
    Hierbei handelt es sich um eine quadratische Matrix, nämlich eine $3{\times}3$-Matrix. Wir können also eine Determinante berechnen:

    $\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 9 \\ 0 & -1 & -10 \\ -10 & 0 & 1 \end{vmatrix} &= 2 \cdot (-1) \cdot 1 + 3 \cdot (-10) \cdot (-10) + 9 \cdot 0 \cdot 0 - (-10) \cdot (-1) \cdot 9 - 0 \cdot (-10) \cdot 2 - 1 \cdot 0 \cdot 3 \\ & = -2 + 300 + 0 - 90 - 0 - 0 \\ &= 208 \end{array}$

    • $\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}$
    In diesem Fall handelt es sich um einen dreidimensionalen Vektor: Wir können keine Determinante berechnen.

    • $\begin{pmatrix}-1 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}$
    Hierbei handelt es sich um eine $2{\times}3$-Matrix, sie ist nicht quadratisch. Wir können demnach keine Determinante berechnen.

    • $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$
    In diesem Fall handelt es sich um eine quadratische Matrix, nämlich eine $2{\times}2$-Matrix. Wir können also eine Determinante berechnen:

    $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 3 \cdot 2 = 4 - 6 = -2$

    • $\begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 3 & -10 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$
    Hierbei handelt es sich um eine $3{\times}2$-Matrix, sie ist nicht quadratisch. Wir können demnach keine Determinante berechnen.

    • $\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}$
    In diesem Fall handelt es sich um einen zweidimensionalen Vektor: Wir können keine Determinante berechnen.

  • Vervollständige die Matrix mit der Zahl $a$ so, dass die Determinante genau $0$ ergibt.

    Tipps

    Bestimme zunächst die Determinante mithilfe der Regel von Sarrus. Nimm dabei die Variable $a$ wie eine Zahl mit.

    Du erhälst:

    $2 \cdot a \cdot 10 + 5 \cdot (-10) \cdot 2 + (-2) \cdot 0 \cdot 2 - 2 \cdot a \cdot (-2) - 2 \cdot (-10) \cdot 2 - 10 \cdot 0 \cdot 5$

    Vereinfache den Term und setze ihn gleich $0$. Löse ihn dann nach $a$ auf.

    Lösung

    Wir betrachten die gegebene Matrix:

    $\begin{pmatrix} 2 & 5 & -2 \\ 0 & a & -10 \\ 2 & 2 & 10 \end{pmatrix}$

    Da es sich um eine $3{\times}3$-Matrix handelt, können wir ihre Determinante mithilfe der Regel von Sarrus berechnen:

    $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - gec - hfa - ibd$

    Wir berechnen nun zunächst die Determinante unter Verwendung der obigen Formel:

    $\begin{vmatrix} 2 & 5 & -2 \\ 0 & a & -10 \\ 2 & 2 & 10 \end{vmatrix} = 2 \cdot a \cdot 10 + 5 \cdot (-10) \cdot 2 + (-2) \cdot 0 \cdot 2 - 2 \cdot a \cdot (-2) - 2 \cdot (-10) \cdot 2 - 10 \cdot 0 \cdot 5$

    Diesen Term vereinfachen wir zu:

    $20a + (-100) + 0 - (-4a) - (-40) - 0 = 20a - 100 + 4a +40 = 24a -60$

    Jetzt setzen wir den Term gleich $0$ und lösen nach $a$ auf:

    $\begin{array}{lll} 24a - 60 &= 0 &|+60 \\ 24a &= 60 &|:24 \\ a &= 2{,}5 & \\ \end{array}$

    Wenn wir für $a=2{,}5$ einsetzen, ist die Determinante der Matrix genau $0$. Die Matrix lautet also:

    $\begin{pmatrix} 2 & 5 & -2 \\ 0 & 2{,}5 & -10 \\ 2 & 2 & 10 \end{pmatrix}$