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Determinante berechnen

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Team Digital
Determinante berechnen
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Determinante berechnen

Determinanten und Parallelogrammflächen

Determinanten spielen in vielen Bereichen der Physik, Mathematik oder Ingenieurwissenschaften eine wichtige Rolle. Aber was bedeutet Determinante eigentlich in Mathe? Und wie hängt sie mit der Fläche von Parallelogrammen zusammen?

Determinante – Beispiel

Um zu verstehen, wie wir eine Determinante berechnen können, betrachten wir die folgende Zeichnung:

Determinante Bedeutung

Wir wollen den Flächeninhalt $A$ des Parallelogramms $ABCD$ bestimmen. Es wird durch die zwei Vektoren $\vec{a} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ und $\vec{b} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ aufgespannt. Die beiden Vektoren können wir in der Komponentenschreibweise auch folgendermaßen aufschreiben:

$\vec{a} = \binom{a_x}{a_y} $

$\vec{b} = \binom{b_x}{b_y}$

Wenn wir ein Rechteck mit den Eckpunkten $A$ und $C$ und $E$ und $F$ um das Parallelogramm zeichnen, können wir die Seiten des Rechtecks jeweils als Summe der Komponenten der Vektoren darstellen. Die Seite $\overline{AF}$ setzt sich beispielsweise aus den Komponenten $b_y$ und $a_y$ zusammen.

Mit den eingezeichneten Vektorkomponenten ergeben sich sechs weitere, kleine Flächen, die das Parallelogramm umgeben. Um die Fläche des Parallelogramms zu bestimmen, können wir daher die Fläche des Rechtecks $A_{\square}$ berechnen und diese sechs Flächen abziehen.

Die Fläche des Rechtecks berechnen wir folgendermaßen:

$(a_y + b_y) \cdot (a_x + b_x) = A_{\square}$

Um die Fläche des Parallelogramms zu erhalten, müssen wir jetzt die sechs kleineren Flächen abziehen. Zunächst betrachten wir das blau schraffierte rechtwinklige Dreieck. Seine Katheten haben die Längen $b_y$ und $b_x$. Das Dreieck hat damit die Fläche $A_{\triangle ,blau} = \frac{1}{2} \cdot b_y \cdot b_x$. Das gelb schraffierte Dreieck hat Katheten der Länge $a_y$ und $a_x$ und die Fläche $A_{\triangle ,gelb} = \frac{1}{2} \cdot a_y \cdot a_x$. Das rot schraffierte, kleine Rechteck hat die Seitenlängen $a_y$ und $b_x$ und folglich den Flächeninhalt $A_{\square, rot} = a_y \cdot b_x$. Da die zwei Dreiecke und das Rechteck unter dem Parallelogramm exakt dieselben Maße haben und lediglich gespiegelt sind, müssen wir die drei so bestimmten Flächeninhalten jeweils zweimal abziehen:

$A = A_{\square} - 2 \cdot A_{\triangle ,blau} - 2 \cdot A_{\triangle ,gelb} - 2 \cdot A_{\square, rot}$

Das Einsetzen ergibt:

$A = (a_y + b_y) \cdot (a_x + b_x) - b_y \cdot b_x - a_y \cdot a_x - 2 \cdot a_y \cdot b_x$

Wir multiplizieren den ersten Term aus:

$A = a_y \cdot a_x + a_y \cdot b_x + b_y \cdot a_x + b_y \cdot b_x - b_y \cdot b_x - a_y \cdot a_x - 2 \cdot a_y \cdot b_x$

Weil mehrere Terme sowohl mit positivem als auch negativem Vorzeichen auftreten, addieren sie sich zu null und fallen weg. Wenn wir den Rest zusammenfassen, erhalten wir schließlich:

$A = a_x \cdot b_y - a_y \cdot b_x$

Das ist eine zweireihige Determinante. Man kann die Determinante auch so aufschreiben:

$ \begin{vmatrix} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{vmatrix} = a_x \cdot b_y - a_y \cdot b_x$

$ \binom{a_x ~ b_x}{a_y ~ b_y} $ bezeichnet man auch als die Matrix, in der die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ die Spalten bilden. Die Determinante entspricht aber nur dann dem Flächeninhalt des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

  • Die beiden Vektoren müssen denselben Fußpunkt haben.
  • Der Vektor in der ersten Spalte der Matrix muss – in der Zeichnung gegen den Uhrzeigersinn zu dem Vektor der zweiten Spalte gedreht – die Fläche des Parallelogramms überstreichen.

Wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind, kann man die Determinante zwar trotzdem berechnen, sie entspricht dann aber nicht dem Flächeninhalt des Parallelogramms.

Determinanten und Parallelogrammflächen - Zusammenfassung

In diesem Video lernst du, wie die Determinante und der Flächeninhalt eines Parallelogramms zusammenhängen. Die Formel für die zweireihige Determinante wird einfach hergeleitet. Du solltest schon wissen, was Vektoren sind, bevor du dieses Video schaust.

Determinante berechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Determinante berechnen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was man unter einer Determinante versteht.

    Tipps

    Für die Determinante der Matrix $A$ gibt es verschiedene Schreibweisen:

    $\det (A)$

    beziehungsweise:

    $\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

    Wir können die Determinante einer $2{\times}2$-Matrix mit der folgenden Formel berechnen:

    $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \cdot d - c \cdot b$

    Zwei der Aussagen sind falsch.

    Lösung
    • Eine Determinante ist eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird.
    Diese Aussage ist richtig.

    Eine quadratische Matrix ist eine Matrix, die genauso viele Spalten wie Zeilen hat, also beispielsweise eine $2{\times}2$- oder eine $3{\times}3$-Matrix.

    Für die Determinante der Matrix $A$ gibt es verschiedene Schreibweisen:

    $\det (A)$

    beziehungsweise:

    $\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

    oder auch:

    $|A|$

    beziehungsweise:

    $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$

    Dabei handelt es sich jedoch nicht um die Betragsstriche.

    Die Schreibweise $\det |A|$ ist hingegen falsch, somit auch diese Aussage:

    • Für die Determinante der Matrix $A$ schreiben wir kurz: $\det |A|$.

    Wir können die Determinante einer $2{\times}2$-Matrix mit der folgenden Formel berechnen:

    $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \cdot d - c \cdot b$

    • Zur Berechnung der Determinanten einer $2{\times}2$-Matrix multiplizieren wir entlang der Hauptdiagonalen und ziehen das Produkt der Nebendiagonalen ab.
    Diese Aussage ist entsprechend der obigen Formel richtig.

    Wir können die Determinante einer $3{\times}3$-Matrix mithilfe der Regel von Sarrus berechnen:

    $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - gec - hfa - ibd$

    Somit ist folgende Aussage falsch:

    • Die Regel von Sarrus bezieht sich auf $4{\times}4$-Matrizen.
    Denn diese Regel bezieht sich auf $3{\times}3$-Matrizen.

  • Bestimme die Determinanten der $2{\times}2$-Matrizen.

    Tipps

    Achte auf negative Vorzeichen.

    Lösung

    Eine Determinante ist eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet ist.

    Für eine $2{\times}2$-Matrix gilt zur Bestimmung der Determinante diese Rechenvorschrift:

    $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \cdot d - c \cdot b$

    Wir berechnen nun die Determinaten der gegebenen Matrizen:

    $\begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} = 2 \cdot 7 - 5 \cdot 6 = 14 - 30 = -16$

    $\begin{vmatrix} -3 & -2 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = -3 \cdot (-4) - 1 \cdot (-2) = 12 + 2 = 14$

    $\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-2) - 2 \cdot 2 = -4-4=-8$

    $\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ -1 & 8 \end{vmatrix} = 5 \cdot 8 - (-1) \cdot 2 = 40 + 2 = 42$

  • Berechne die Determinanten der $3{\times}3$-Matrizen.

    Tipps

    $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - gec - hfa - ibd$

    Achte auf negative Vorzeichen.

    Lösung

    Um die Determinante einer $3{\times}3$-Matrix zu berechnen, müssen wir eine ganz konkrete Zahl ermitteln. Wir können die Determinante einer $3{\times}3$-Matrix mithilfe der Regel von Sarrus berechnen:

    $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - gec - hfa - ibd$

    Zur Berechnung der Determinante addieren wir die Produkte der Hauptdiagonalen und ziehen die Produkte der Nebendiagonalen ab. Die Haupt- und Nebendiagonalen können wir dabei gut erkennen, wenn wir die ersten beiden Spalten der Matrix noch einmal rechts daneben ergänzen:

    $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} \begin{matrix} a \\ d \\ g \end{matrix} \quad \begin{matrix} b \\ e \\ h \end{matrix}$

    Wir kennen nun die Vorgehensweise und können so die Determinanten der gegebenen Matrizen berechnen:

    Matrix 1:

    $\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 9 & -2 & 1 \\ 0 & 4 & -5 \\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix} &= 9 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot (-5) \cdot 5 + 1 \cdot 0 \cdot 2 - 5 \cdot 4 \cdot 1 - 2 \cdot (-5) \cdot 9 - 1 \cdot 0 \cdot (-2) \\ &= 36 + 50 + 0 - 20 - (-90) - 0 \\ &= 156 \end{array}$

    Matrix 2:

    $\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 3 & -5 & 1 \\ 8 & 0 & -1 \\ 10 & 2 & 1 \end{vmatrix} &= 3 \cdot 0 \cdot 1 + (-5) \cdot (-1) \cdot 10 + 1 \cdot 8 \cdot 2 - 10 \cdot 0 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) \cdot 3 - 1 \cdot 8 \cdot (-5) \\ &= 0 + 50 + 16 - 0 - (-6) - (-40) \\ &= 112 \end{array}$

    Matrix 3:

    $\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 9 & 4 & -6 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} &= 0 \cdot 4 \cdot 3 + (-2) \cdot (-6) \cdot 2 + 0 \cdot 9 \cdot (-1) - 2 \cdot 4 \cdot 0 - (-1) \cdot (-6) \cdot 0 - 3 \cdot 9 \cdot (-2) \\ &= 0 + 24 + 0 - 0 - (-54) \\ &= 78 \end{array}$

  • Ordne die Matrizen nach der Größe ihrer Determinanten.

    Tipps

    Zur Berechnung der Determinante addieren wir die Produkte der Hauptdiagonalen und ziehen die Produkte der Nebendiagonalen ab. Die Haupt- und Nebendiagonalen können wir dabei gut erkennen, wenn wir die ersten beiden Spalten der Matrix noch einmal rechts daneben ergänzen:

    $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} \begin{matrix} a \\ d \\ g \end{matrix} \quad \begin{matrix} b \\ e \\ h \end{matrix}$

    Berechne zuerst die Determinanten aller vier Matrizen. Arbeite schriftlich. Anschließend kannst du sortieren.

    Lösung

    Um die Determinante einer $3{\times}3$-Matrix zu berechnen, verwenden wir die Regel von Sarrus:

    $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - gec - hfa - ibd$

    Wir berechnen jetzt die Determinanten der gegebenen Matrizen und sortieren anschließend:

    $\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2& -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} &= 0\cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \cdot 2 + 1 \cdot 0 \cdot 0 - 2 \cdot 2 \cdot 1 - 0 \cdot (-1) \cdot 0 - 1 \cdot 0\cdot 1 \\ &= 0 + (-2) + 0 - 4 - 0 - 0 \\ &= -6 \end{array}$

    $\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 0 & -1& -1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} &= 2 \cdot (-1) \cdot 2 + 3 \cdot (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 0 \cdot 0 - 1 \cdot (-1) \cdot 2 - 0 \cdot (-1) \cdot 2 - 2 \cdot 0\cdot 3 \\ &= -4 + (-3) + 0 - (-2) - 0 - 0 \\ &= -5 \end{array}$

    $\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} -1& 3 & -2 \\ 0 & -1& 2 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} &=({-}1) \cdot (-1) \cdot 2 + 3 \cdot 2 \cdot 3 + (-2) \cdot 0 \cdot 1 - 3 \cdot (-1) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \cdot (-1) - 2 \cdot 0\cdot 3 \\ &= 2 + 18 + 0 - 6 - (-2) - 0 \\ &= 16 \end{array}$

    $\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 2& -1 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix} &= ({-}1) \cdot 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) \cdot 2 + 1 \cdot 0 \cdot 0 - 2 \cdot 2 \cdot 1 - 0 \cdot (-1) \cdot (-1) - 2 \cdot 0\cdot 1 \\ &= -4 + (-2) + 0 - 4 - 0 - 0 \\ &= -10 \end{array}$

    Die richtige Reihenfolge lautet also:

    $\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 2& -1 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix} \quad < \quad \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2& -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} \quad < \quad \begin{vmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 0 & -1& -1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} \quad < \quad \begin{vmatrix} -1& 3 & -2 \\ 0 & -1& 2 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

  • Gib an, von welchen mathematischen Objekten sich eine Determinante berechnen lässt.

    Tipps

    Eine Determinante ist eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird.

    Du musst zwei Objekte auswählen.

    Lösung

    Eine Determinante ist eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird.
    Eine quadratische Matrix ist eine Matrix, die genauso viele Spalten wie Zeilen hat, also beispielsweise eine $2{\times}2$- oder eine $3{\times}3$-Matrix.

    Wir betrachten die gegebenen Objekte:

    • $\begin{pmatrix} 2 & 3 & 9 \\ 0 & -1 & -10 \\ 10 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
    Hierbei handelt es sich um eine quadratische Matrix, nämlich eine $3{\times}3$-Matrix. Wir können also eine Determinante berechnen:

    $\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 9 \\ 0 & -1 & -10 \\ -10 & 0 & 1 \end{vmatrix} &= 2 \cdot (-1) \cdot 1 + 3 \cdot (-10) \cdot (-10) + 9 \cdot 0 \cdot 0 - (-10) \cdot (-1) \cdot 9 - 0 \cdot (-10) \cdot 2 - 1 \cdot 0 \cdot 3 \\ & = -2 + 300 + 0 - 90 - 0 - 0 \\ &= 208 \end{array}$

    • $\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}$
    In diesem Fall handelt es sich um einen dreidimensionalen Vektor: Wir können keine Determinante berechnen.

    • $\begin{pmatrix}-1 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}$
    Hierbei handelt es sich um eine $2{\times}3$-Matrix, sie ist nicht quadratisch. Wir können demnach keine Determinante berechnen.

    • $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$
    In diesem Fall handelt es sich um eine quadratische Matrix, nämlich eine $2{\times}2$-Matrix. Wir können also eine Determinante berechnen:

    $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 3 \cdot 2 = 4 - 6 = -2$

    • $\begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 3 & -10 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$
    Hierbei handelt es sich um eine $3{\times}2$-Matrix, sie ist nicht quadratisch. Wir können demnach keine Determinante berechnen.

    • $\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}$
    In diesem Fall handelt es sich um einen zweidimensionalen Vektor: Wir können keine Determinante berechnen.

  • Vervollständige die Matrix mit der Zahl $a$ so, dass die Determinante genau $0$ ergibt.

    Tipps

    Bestimme zunächst die Determinante mithilfe der Regel von Sarrus. Nimm dabei die Variable $a$ wie eine Zahl mit.

    Du erhälst:

    $2 \cdot a \cdot 10 + 5 \cdot (-10) \cdot 2 + (-2) \cdot 0 \cdot 2 - 2 \cdot a \cdot (-2) - 2 \cdot (-10) \cdot 2 - 10 \cdot 0 \cdot 5$

    Vereinfache den Term und setze ihn gleich $0$. Löse ihn dann nach $a$ auf.

    Lösung

    Wir betrachten die gegebene Matrix:

    $\begin{pmatrix} 2 & 5 & -2 \\ 0 & a & -10 \\ 2 & 2 & 10 \end{pmatrix}$

    Da es sich um eine $3{\times}3$-Matrix handelt, können wir ihre Determinante mithilfe der Regel von Sarrus berechnen:

    $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - gec - hfa - ibd$

    Wir berechnen nun zunächst die Determinante unter Verwendung der obigen Formel:

    $\begin{vmatrix} 2 & 5 & -2 \\ 0 & a & -10 \\ 2 & 2 & 10 \end{vmatrix} = 2 \cdot a \cdot 10 + 5 \cdot (-10) \cdot 2 + (-2) \cdot 0 \cdot 2 - 2 \cdot a \cdot (-2) - 2 \cdot (-10) \cdot 2 - 10 \cdot 0 \cdot 5$

    Diesen Term vereinfachen wir zu:

    $20a + (-100) + 0 - (-4a) - (-40) - 0 = 20a - 100 + 4a +40 = 24a -60$

    Jetzt setzen wir den Term gleich $0$ und lösen nach $a$ auf:

    $\begin{array}{lll} 24a - 60 &= 0 &|+60 \\ 24a &= 60 &|:24 \\ a &= 2{,}5 & \\ \end{array}$

    Wenn wir für $a=2{,}5$ einsetzen, ist die Determinante der Matrix genau $0$. Die Matrix lautet also:

    $\begin{pmatrix} 2 & 5 & -2 \\ 0 & 2{,}5 & -10 \\ 2 & 2 & 10 \end{pmatrix}$