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Cramersche Regel 10:35 min

Textversion des Videos

Transkript Cramersche Regel

Hallo, mein Name ist Kathleen und ich möchte dir eine weitere Methode zeigen, wie du ganz einfach und schnell ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten lösen kannst. Also, wie löst man ein lineares System super schnell und einfach? Diese Methode ist so genial, dass sie sogar einen eigenen Namen erhalten hat, mit der „Cramerschen Regel“, auch genannt die Determinantenmethode. Du kennst bereits Methoden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Welche Methoden fallen dir spontan ein? Methoden, die du bereits kennst, sind das Additionsverfahren, das Einsetzungsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren und das graphische Lösen. Der Rechenaufwand und die Schreibarbeit ist bei diesen Methoden sehr hoch und man kann sich schnell verrechnen. Genau deswegen lohnt es sich, noch eine fünfte Methode kennenzulernen. Aber um die super schnelle Methode, genannt die Cramersche Regel, anwenden zu können, musst du erstmal ein paar neue Begriffe kennenlernen. Dieser kleine Arbeitseinsatz lohnt sich allemal. Ich werde mich dabei sehr kurz fassen und dir nur das nötigste, also das, was du zum Verständnis brauchst, näherbringen. Die neuen Begriffe, die es zu klären gilt, sind: Was ist eine Matrix? Was ist eine Determinante? Um die neuen Begriffe klären zu können, brauchst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Diese Unbekannten bezeichnet man in der Regel mit x und y. Jetzt noch zwei lineare Gleichungen. Die erste Gleichung 2x + 3y = 4 und die zweite, da du zwei Unbekannte ausrechnen musst, brauchst du auch zwei Gleichungen. 5x + 6y = 7. Verbindet man die zwei linearen Gleichungen mit den Variablen x und y durch ein „und“, so erhält man ein lineares Gleichungssystem. Und die gesuchte Lösungsmenge ist x, y. Jetzt will ich erstmal mit dir die neuen Begriffe angehen. Die erste Frage, die es zu beantworten gilt, lautet „Was ist eine Matrix?“ Eine Matrix ist einfach nur eine andere Schreibweise für ein lineares Gleichungssystem. Eine Art Tabelle, in der Zahlen stehen. Das spart viel Schreibarbeit. Diese Zahlen nennt man Koeffizienten oder Einträge der Matrix. Eine Matrix bezeichnet man immer mit Großbuchstaben, zum Beispiel groß A. Wie sieht so eine Matrix aus? Eine Tabelle besteht aus Zeilen und Spalten, so auch eine Matrix. Welche Zahlen trägt man in die Spalte ein? Nehmen wir das Beispiel von eben. Vor der Unbekannten x steht in der ersten linearen Gleichung eine zwei und in der zweiten steht vor dem x eine fünf. Und vor dem y stehen die Zahlen drei und sechs. In die Matrix A trage ich die Zahlen zwei und fünf in die erste Spalte ein. In die zweite Spalte schreibe ich die Zahlen, die vor der Unbekannten y stehen, also drei und sechs. Jetzt ist die Matrix fast fertig. Es fehlt noch eine runde Klammer um die Matrix abzugrenzen und fertig ist eine 2x2-Matrix, auch bezeichnet als quadratische Matrix. 2x2 bedeutet, dass die Matrix zwei Zeilen und zwei Spalten hat. Welche Einträge stehen in der ersten Zeile? Die Zwei und die Drei. Und in der zweiten Zeile? Die Fünf und die Sechs. Zu einer Matrix gehört noch die Hauptdiagonale, in dieser stehen die Elemente zwei und sechs. Und die Nebendiagonale mit den Einträgen fünf und drei. Die Matrix A ist noch unvollständig, es fehlen ja noch die Zahlen vier und sieben aus dem Gleichungssystem. Ich stelle eine weitere Matrix auf und nenne diese B. Die Zahlen vier und sieben bilden die dritte Spalte. B besteht aus zwei Zeilen und drei Spalten. B ist eine 2x3-Matrix, also nicht quadratisch. Solche Matrizen, ja die Matrix ist Matrizen, vereinfachen das mathematische Leben ungemein. Für dich in diesem Fall wird das Lösen von Gleichungen vereinfacht. Wie? Das führt uns direkt zu dem zweiten neuen Begriff, den du kennenlernst. Was ist eine Determinante? Das ist nicht ganz so leicht zu beantworten wie der Begriff der Matrix, aber ich beschränke mich hier auf das Wesentliche. Die Determinante ist die Maßzahl einer quadratischen Matrix. Was bedeutet das? Man kann die Matrix ausrechnen und erhält eine Determinante, also wieder eine reelle Zahl. In unserem Fall werden aus den vier Einträgen in der Matrix A nach einer bestimmten Rechenvorschrift genau eine Zahl und diese Zahl nennt man Determinante. Man schreibt einfach D oder det(A). Wie berechnet man die Determinante einer 2x2-Matrix? Mit einer mathematischen Formel. Man erhält den Wert einer Determinante, indem man das Produkt der Hauptdiagonalelemente minus dem Produkt der Nebendiagonalelemente bildet. Ich werde die Determinante A einmal an unserem Beispiel vorrechnen. Für A setze ich unsere Matrix A ein. Die Elemente in der Hauptdiagonale sind zwei und sechs. Die Einträge müssen multipliziert werden, also 2 * 6. Die Elemente der Nebendiagonale sind drei und fünf, also - 3 * 5. Das Produkt der Hauptdiagonale ist zwölf, davon soll das Produkt der Nebendiagonale, also 15, abgezogen werden. Das ergibt minus drei. Der Wert der Determinante der Matrix A ist gleich minus drei. Wozu brauchst du das alles? Das führt uns endlich zur Cramerschen Regel. Gabriel Cramer war vor 300 Jahren Professor der Mathematik an der Universität Genf. Nach dieser langen Einführung geht das jetzt, wie versprochen, ganz schnell. Die Cramersche Regel ist ein Algorithmus, also ein systematisches Verfahren, um x und y zu bestimmen. So einfach sieht die Regel aus: Um x zu bestimmen, bildet man den Quotienten aus der Determinante Ax und der Determinante A. Für y genau das gleiche, man benötigt die Determinante Ay und dividiert diese durch die Determinante A. Wie bestimmt man jetzt die Determinanten Ax und Ay? Genauso wie Determinante A. Die Determinante A haben wir bereits nach der Rechenregel ausgerechnet. det(A) = -3. Betrachte dir noch einmal die Matrix B. B hat zwei Zeilen mit den Einträgen zwei, drei und vier und fünf, sechs und sieben und drei Spalten. Die Rechenregel kann man nur bei 2x2-Matrizen anwenden, aber nicht bei der 2x3-Matrix B. Um Determinante Ax auszurechnen, vertauscht man die erste Spalte, also die Einträge zwei und fünf mit der dritten Spalte, vier und sieben. Ich nenne die Matrix Bx, da das x auszurechnen ist. Für die Determinante Ax betrachtet man nur die 2x2-Matrix mit den Einträgen vier und drei in der ersten Zeile und sieben und sechs in der zweiten Zeile. Nach der Rechenvorschrift für Determinanten erhält man den Wert drei. In die Cramersche Regel setze ich den Wert der Determinante Ax, also drei ein und für Determinante A minus drei. Man erhält den Quotienten 3/-3, fertig ist die Lösung für x. x = -1. Für die Determinante Ay vertauscht man die Einträge der zweiten Spalte mit der dritten Spalte. Diese Matrix nenne ich By. Für die Determinante Ay betrachten wir wie eben nur die 2x2-Matrix mit den Einträgen zwei und vier in der ersten Zeile und fünf und sieben in der zweiten Zeile. Man rechnet ganz schnell die Determinante Ay aus. Der Wert der Determinante Ay ist minus sechs. In die Cramersche Regel setzen wir die Werte minus sechs und minus drei ein und man erhält die Lösung für y. y = 2. Die erhaltene Lösungsmenge mit der Cramerschen Regel ist für x = -1 und y = 2. Es ist immer ratsam, die erhaltene Lösungsmenge durch eine Probe zu bestätigen, führen wir zum Schluss noch schnell die Probe durch. Das x wird in der ersten und zweiten Gleichung durch minus eins ersetzt und das y durch die zwei. Es gilt Punkt-vor-Strich-Rechnung, also in der ersten Gleichung 2 * (-1) = -2 und 3 * 2 = 6. In der zweiten Gleichung 5 * (-1) = -5 und 6 * 2 = 12. -2 + 6 = 4, 4 = 4. -5 + 12 = 7, 7 = 7, ist eine wahre Aussage. Also ist die Lösungsmenge minus eins und zwei bestätigt. Schön, dass du so lange durchgehalten hast, du hast aber auch eine Menge nützlicher neuer mathematischer Begriffe kennengelernt: Du weißt jetzt, was ist eine Matrix, wie man einer 2x2-Matrix den Wert der Determinante ausrechnet und vor allem die Cramersche Regel, die das Lösen von linearen Gleichungssystemen stark vereinfacht. Viel Erfolg beim Rechnen, tschüss sagt Kathleen!

Cramersche Regel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Cramersche Regel kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, welche Methoden es neben dem Determinantenmethode noch gibt, um ein lineares Gleichungssystem zu lösen.

    Tipps

    Der Satz des Pythagoras wird u.a. in der Geometrie benutzt, um einen rechten Winkel zu konstruieren.

    Eine quadratische Ergänzung hilft uns in der Mathematik eine quadratische Gleichung zu lösen.

    Lösung

    Um ein lineares Gleichungssystem zu lösen, kennen wir bereits folgende Methoden:

    • Additionsverfahren
    • Einsetzungsverfahren
    • Gleichsetzungsverfahren
    • Graphisches Lösen
    Der Satz des Pythagoras wird u.a. in der Geometrie benutzt, um einen rechten Winkel zu konstruieren.

    Eine quadratische Ergänzung hilft uns in der Mathematik eine quadratische Gleichung zu lösen.

    Neben den genannten Methoden, zum Lösen eines linearen Gleichungssystems, lernst du heute eine neue Methode kennen: Die Cramersche Regel. Sie ist bedeutend schneller und es können nicht so viele Rechenfehler passieren.

  • Bestimme die $2~$x$~3$ Matrizen zu den gegebenen Gleichungssystemen.

    Tipps

    Eine $2~$x$~3$ Matrix besteht aus zwei Zeilen und drei Spalten.

    In die erste Spalte schreiben wir die Koeffizienten der Variable x und in der zweiten Spalte die Koeffizienten der Variable y. In der dritten Spalte schreiben wir die Zahlen, die auf der rechten Seite der Gleichungen stehen.

    Lösung

    Eine Matrix ist eine Art Tabelle in der Zahlen stehen, diese Zahlen nennt man Koeffizienten oder Einträge der Matrix.

    Ein Matrix bezeichnet man mit Großbuchstaben z.B.: A,B oder C

    Eine Matrix besteht aus Zeilen und Spalten.

    Eine $2~$x$~3$ Matrix besteht aus zwei Zeilen und drei Spalten.

    Beispiel:

    $\begin{align} &\text{I}& 2x+3y&=4 \\ &\text{II}& 5x+6y&=7 \\ \end{align}$

    $ B= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \end{pmatrix} $

    In die erste Spalte schreiben wir die Koeffizienten der Variable x und in der zweiten Spalte die Koeffizienten der Variable y. In der dritten Spalte schreiben wir die Zahlen vier und sieben.

    Eine $2~$x$~2$ Matrix bezeichnen wir als quadratische Matrix. Hierbei bezeichnen wir die Diagonale von oben links nach unten rechts als Hauptdiagonale und die Diagonale von unten links nach oben rechts als Nebendiagonale.

    Die weiteren Lösungen sind:

    $\begin{align} &\text{I}& 3x+6y&=0 \\ &\text{II}& 1x+8y&=3 \\ \end{align}$

    $~$

    $~~~~~~B=\begin{pmatrix} 3 & 6 & 0 \\ 1 & 8 & 3 \end{pmatrix}$

    ______________________________________________

    $\begin{align} &\text{I}& 1000x+500y&=15 \\ &\text{II}& 1x+5y&=1 \\ \end{align}$

    $~$

    $~~~~~~B=\begin{pmatrix} 1000 & 500 & 15 \\ 1 & 5 & 1 \end{pmatrix}$

    ______________________________________________

    $\begin{align} &\text{I}& 1x+1y&=1 \\ &\text{II}& 1x+1y&=1 \\ \end{align}$

    $~$

    $~~~~~~B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

  • Gib an, wie man den Wert einer Determinante berechnet.

    Tipps

    Das Ergebnis einer Matrix ist eine reelle Zahl, diese Zahl nennt man Determinante.

    $ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} =a \cdot d - c \cdot b$

    Lösung

    Eine Determinante ist die Maßzahl einer $2$ x $2$ Matrix.

    Das Ergebnis einer Matrix ist eine reelle Zahl, diese Zahl nennt man Determinante.

    Wir benennen eine Determinante mit D oder det A.

    Man erhält den Wert einer Determinante, wenn man das Produkt der Hauptdiagonalelemente minus dem Produkt der Nebendiagonalelemente einer quadratischen $2$ x $2$ Matrix rechnet.

    $ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} =a \cdot d - c \cdot b$

    Beispiel:

    Wir haben eine $2$ x $2$ Matrix gegeben: $A= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} $

    $det~A=det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}=2 \cdot 6 - 5 \cdot 3=12-15=-3$

  • Bestimme das zur Lösungsmenge passende Gleichungssystem.

    Tipps

    Setze der Reihe nach die x und y Werte in die Gleichungssysteme ein. In welchem Gleichungssystem erhälst du eine wahre Aussage?

    Alternativ kannst du auch jeweils die Cramersche Regel anwenden und die Lösungsmengen ausrechnen.

    Lösung

    Durch Einsetzen der x und y Werte in die Gleichungssysteme können wir überprüfen zu welchem Gleichungssystem die gegebene Lösungsmenge gehört. Nur in

    $\begin{align} &\text{I}& -4x+5y&=-55 \\ &\text{II}& -7x+2y&=-49 \\ \end{align}$

    erhalten wir eine wahre Aussage:

    $\begin{align} &\Rightarrow& &\text{I}& -4x+5y&=-55 \\ &\Rightarrow& &\text{II}& -7x+2y&=-49 \\ &\Rightarrow& &\text{I}& -4(5)+5(-7)&=-55 \\ &\Rightarrow& &\text{II}& -7(5)+2(-7)&=-49 \\ &\Rightarrow& &\text{I}& -20+(-35)&=-55 \\ &\Rightarrow& &\text{II}& -35+(-14)&=-49 \\ &\Rightarrow& &\text{I}& -55 &=-55 \\ &\Rightarrow& &\text{II}& -49&=-49 \\ \end{align}$

    Mit der Cramerschen Regel kommen wir ebenfalls auf die gleiche Lösungsmenge:

    $B= \begin{pmatrix} -4 & 5 & -55 \\ -7 & 2 & -49 \end{pmatrix}$

    Nun bestimmen wir die Determinanten:

    $det~A=det \begin{pmatrix} -4 & 5 \\ -7 & 2 \end{pmatrix}=-4 \cdot 2 - 7 \cdot 5=-8 - 35=27$

    $det~A_x=det \begin{pmatrix} -55 & 5 \\ -49 & 2 \end{pmatrix}=-55 \cdot 2 - (-49) \cdot 5=-110 + 245=135$

    $det~A_y=det \begin{pmatrix} -4 & -55 \\ -7 & -49 \end{pmatrix}=-4 \cdot (-49) - (-7) \cdot (-55)=196 - 385=-189$

    Jetzt müssen wir nur noch unsere Werte in die Cramersche Regel einsetzen und wir erhalten die x und y Werte der Lösungsmenge:

    $x=\frac{135}{27}=5$

    $y=\frac{-189}{27}=-7$

  • Berechne die Werte der Determinanten $A$, $A_x$ und $A_y$.

    Tipps

    Zunächst bilden wir die Matrizen $B_x$ und $B_y$.

    $B_x= \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 7 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

    $B_y= \begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 5 & 7 & 6 \end{pmatrix}$

    Aus den Matrizen $B$, $B_x$ und $B_y$ bestimmen wir die quadratischen $2~$x$~2$ Matrizen $A$, $A_x$ und $A_y$. Diese bestehen jeweils aus den erseten beiden Zeilen und Spalten der zugehörigen $2~$x$~2$ Matrix.

    Schließlich erhalten wir die Werte für die Determinanten der drei Matrizen durch Anwenden der Formel zur Berechnung einer Determinante:

    $ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} =a \cdot d - c \cdot b$

    Lösung

    Wir haben die $2~x~3$ Matrix gegeben:

    $B= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

    Zu dieser Matrix sollen nun die Determinanten $A$, $A_x$ und $A_y$ bestimmt werden.

    Zunächst bilden wir die Matrizen $B_x$ und $B_y$.

    Matrix $B_x$ bestimmen wir, indem wir die erste Spalte mit der letzten Spalte der Matrix $B$ vertauschen. Wir erhalten demnach folgende Matrix:

    $B_x= \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 7 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

    Matrix $B_y$ bestimmen wir, indem wir die zweite Spalte mit der letzten Spalte der Matrix $B$ vertauschen. Wir erhalten demnach folgende Matrix:

    $B_y= \begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 5 & 7 & 6 \end{pmatrix}$

    Aus den Matrizen $B$, $B_x$ und $B_y$ bestimmen wir die quadratischen $2~x~2$ Matrizen $A$, $A_x$ und $A_y$.

    $A= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$

    $A_x= \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 7 & 6 \end{pmatrix}$

    $A_y= \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$

    Schließlich erhalten wir die Werte für die Determinanten der drei Matrizen durch Anwenden der Formel zur Berechnung einer Determinante:

    $ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} =a \cdot d - c \cdot b$

    $det~A=\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}=2 \cdot 6- 5 \cdot 3=12-15=-3$

    $det~A_x=\begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 7 & 6 \end{vmatrix}=4 \cdot 6 - 7 \cdot 3 = 24 - 21=3$

    $det~A_y=\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 5 & 7 \end{vmatrix}=2 \cdot 7 - 5 \cdot 4 = 14 - 20 = -6$

  • Berechne x und y mit der Cramerschen Regel

    Tipps

    Die Cramersche Regel zum Lösen eines linearen Gleichungssystems lautet:

    $x=\frac{det~A_x}{det~A}~~~~y=\frac{det~A_y}{det~A}$

    $det~A=det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

    $det~A_x=det \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$

    $det~A_y=det \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$

    $det~A=det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}=1 \cdot 4 - 2 \cdot 3=4 - 6=-2$

    $det~A_x=det \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}=5 \cdot 4 - 6 \cdot 3=20 - 18=2$

    $det~A_y=det \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}=1 \cdot 6 - 2 \cdot 5=6 - 10=-4$

    Lösung

    Gegeben ist folgendes lineares Gleichungssystem:

    $\begin{align} &\text{I}& 1x+3y&=5 \\ &\text{II}& 2x+4y&=6 \\ \end{align}$

    Wir wollen die Lösungsmenge $L=\{(x;y)\}$ mit der Cramerschen Regel berechnen.

    Die Cramersche Regel zum Lösen eines linearen Gleichungssystems lautet:

    $x=\frac{det~A_x}{det~A}~~~~y=\frac{det~A_y}{det~A}$

    Wir benötigen also die Werte der Determinanten $A$, $A_x$ und $A_y$.

    Aus dem linearen Gleichungssystem können wir die Determinanten bestimmen.

    $det~A=det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}=1 \cdot 4 - 2 \cdot 3=4 - 6=-2$

    $det~A_x=det \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}=5 \cdot 4 - 6 \cdot 3=20 - 18=2$

    $det~A_y=det \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}=1 \cdot 6 - 2 \cdot 5=6 - 10=-4$

    Nun müssen wir nur noch die Werte der Determinanten in die Cramersche Regel einsetzen und so erhalten wir die Lösungsmenge $L=\{(x;y)\}$.

    $\Rightarrow x=\frac{2}{-2}=-1$

    $\Rightarrow y=\frac{-4}{-2}=2$

    Die Lösungsmenge ist demnach $L=\{(-1;2)\}$.