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Eigenwerte und Eigenvektoren 11:03 min

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Transkript Eigenwerte und Eigenvektoren

Hallo, mein Name ist Frank. Ich werde dir in diesem Video zeigen, was “Eigenvektoren” und “Eigenwerte” sind. Ich beginne mit einer Definition und danach werde ich an einem einfachen Beispiel anschaulich zeigen - also hier ist schon was vorbereitet - welche geometrische Bedeutung Eigenvektoren haben. Zuerst einmal die Definition: Durch die n×n-Matrix A ist eine lineare Abbildung gegeben wie folgt: x', also der Bildpunkt x' = A × x. Ich werde hier kurz mal was noch dazutun. Das sind jeweils Vektoren. Und x ist der zu einem Punkt P gehörende Ortsvektor. Und entsprechend wäre x' der zu dem Punkt P' gehörende Ortsvektor. Jeder Vektor v, der nicht der Nullvektor sein darf, welcher die Bedingung A × v = λv×v erfüllt, heißt Eigenvektor von A. Lambda (λ) ist eine Zahl und gehört zu dem Vektor v, und diese Zahl heißt Eigenwert von v. Was bedeutet das nun? Ich habe hier schon mal ein Beispiel vorbereitet. Das kannst du hier links im Koordinatensystem sehen. Mit den Punkten P (-1|-1), Q (1|-1), R (1|1), S (-1|1) ist ein Quadrat gegeben, das du hier sehen kannst. Und die beiden Eigenvektoren u und v, u = (1, -1) und v = (1, 1) siehst du auch schon eingezeichnet hier in der Skizze. Und nun schaue ich mir mal an, welche Bedeutung diese Eigenvektoren haben. Wenn ich mir den Vektor v = (1, 1) anschaue und da eine Ursprungsgerade betrachte, welche durch den Richtungsvektor v gegeben ist, dann werden alle Punkte, die auf dieser Geraden liegen, und in dem Fall sind das P (-1|-1) und R (1|1) vom Ursprung aus um den Faktor 2 gestreckt, wenn der Eigenwert zu v - Ich schreibe das mal hierhin - der Eigenwert zu v λv = 2 ist. Und das heißt, die entsprechenden Bildpunkte P' wären dann (-2|-2) - ich lasse mal hier Platz für Q’, und R' wäre (2|2). Wie gesagt, bei einem Eigenwert zu v λv = 2. Das kannst du hier in dem Bild erkennen. Der Punkt P wird von dem Faktor 2 vom Ursprung ausgestreckt und analog der Punkt R. Wenn ich mir nun den Eigenvektor u anschaue und der dazugehörige Eigenwert wäre -1, dann heißt es, dass die entsprechenden Punkte, die auf der Ursprungsgeraden, welche durch den Richtungsvektor (1, -1) gegeben ist, liegen, also in dem Fall Q und S, gerade gespiegelt werden. Das heißt Q' wäre (-1|1) und S' wäre (1|-1). Auch das kannst du hier in der Skizze erkennen. Gesamt erhalten wir also aus dem Quadrat eine Streckung entlang der Ursprungsgeraden mit dem Richtungsvektor (1, 1) und eine Spiegelung entlang der anderen Gerade. Also, wir haben diese Raute. Und nun schaue ich mir noch an einem Punkt an, wie dieser Punkt sich verändert. Ich nehme dafür den Punkt T, welchen du auch schon hier erkennen kannst, (1|0,5) hier. Und wenn ich diesen Punkt jetzt als Linearkombination der beiden Eigenvektoren schreiben würde und dann die Matrix A damit multiplizieren, könntest du erkennen, dass T' Gerade der Punkt (1,25|1,75) ist. Auch das siehst du hier in dem Bild. Das heißt, wir haben jetzt mal ein erstes Beispiel bei vorgegebenen Eigenvektoren und Eigenwerten, an dem man erkennen kann, wie sich diese Eigenvektoren und Eigenwerte auf die Abbildung, in dem Fall ein Quadrat, geometrisch auswirken. Im Folgenden werde ich dir anhand eines Beispiels einer gegebenen Matrix und vorgegebenen Eigenvektoren zeigen, wie du die Eigenwerte berechnen kannst. Gut, nachdem ich nun mal gezeigt habe, was die geometrische Bedeutung von Eigenvektoren und Eigenwerten ist, werde ich jetzt mal anhand eines Beispiels zeigen, wie du bei deiner Matrix, die habe ich hier vorgegeben, also einer 2×2-Matrix, (1, 2, 2, 1) und vorgegebenen Eigenvektoren u = (1, 1), v = (1, -1) Eigenwerte berechnen kannst zu den jeweiligen Vektoren. Und dann mache ich dir noch einmal, an dem Beispiel auch noch mal klar, was die Multiplikation der Matrix mit einem bestimmten Ortsvektor dann für Auswirkungen hat. Also, ich fange mal mit A×u an, also (1, 2, 2, 1) × u, also (1, 1); (1, 2)×(1, 1) = 3; (2, 1)×(1, 1) ist auch 3. Und das ist gerade 3 × (1, 1). Und wenn du jetzt hier nochmal die Definition schaust, den Vektor v, den einen Vektor habe ich ja schon vorgegeben, wir mussten Skalar finden. Für das gilt A × v = λ × v. Und hier ist A × (1, 1) = 3 × (1, 1). Das heißt, wäre zu dem Eigenvektor, in dem Fall u, gehörenden Eigenwert wäre λu = 3. Und das mache ich jetzt auch mit dem Vektor v. Also (1, 2, 2, 1) × (1, -1); (1, 2) × (1, -1) = -1 und (2, 1) × (1, -1) = 1. Und da kannst du hier erkennen, hier ist in jeder Komponente einfach das Vorzeichen getauscht. Das heißt, das wäre nichts anderes als (-1) × (1, -1). Also hier A × v = -1× v. Und das heißt jetzt, der zu v gehörende Eigenwert λv = -1. Und jetzt zeige ich hier noch was am Beispiel eines Punktes. Betrachten wir den Punkt (3|1) bedeutet für den Bildpunkt. Du kannst hier links schon mal in einer Skizze sehen, den Punkt (3|1) und du kannst vielleicht da auch erkennen, dass der Punkt eine Linearkombination - also ich schreib mal den Ortsvektor des Punktes hin - der beiden Eigenvektoren ist nämlich 2×u+v. Na, das siehst du hier, du gehst zweimal den Vektor u und einmal den Vektor v und bist beim Punkt (3|1). Das heißt, wenn ich jetzt den Punkt P' haben will, dann wäre das: P' = A × P, also A mal, P habe ich ja hier stehen, (2×u+v). Und das ist gerade, ich kann die Matrix A nach dem Distributivgesetz reinmultiplizieren, also wäre das 2 × A × u + A × v. Nun habe ich aber hier oben gezeigt, das A × u = 3 × u. Und A × v = -v, also steht hier insgesamt = 2 × 3 = 6, 6 × u und A ×v = -v, also 6 × u - v. Und wenn du hier in der Skizze schaust, siehst du, du gehst 1-, 2-, 3-, 4-, 5-, 6-mal den Vektor u und minus den Vektor v. Du kommst also entsprechend zu dem Vektor (5, 7). 6 × 1 = 6, - 1 ist dann 5. 6 × 1 = 6, - (-1) ist dann 7. Das heißt der Punkt, P’ ist gerade (5, 7), was du auch hier links in der Skizze erkennen kannst. Ich fasse nochmal kurz zusammen, was du in diesem Video gelernt hast: Ich habe dir gezeigt, was Eigenvektor enund Eigenwerte sind, erst mal anhand einer Definition. Noch mal ganz kurz: A × v = λv × v. Also dieses Produkt ist Matrix mal Vektor, kannst du auch per Skalar mit dem Vektor multiplizieren. Und im ersten Beispiel habe ich dir gezeigt, wie es geometrisch sich auswirkt. Und in diesem zweiten Beispiel habe ich dir auch mal anschaulich gezeigt, was dieses Multiplizieren der Matrix mit dem Vektor und dann natürlich den Eigenwerten mit dem Vektor bedeutet. Im Beispiel P (3|1) und im entsprechenden Bildpunkt P' (5|7). Nun hoffe ich, dass du alles gut verstehen konntest und danke dir für deine Aufmerksamkeit. Wie immer freue ich mich über Fragen und Anregungen. Bis zum nächsten Mal, dein Frank.

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Eigenwerte und Eigenvektoren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Eigenwerte und Eigenvektoren kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, was ein Eigenvektor und was ein Eigenwert ist.

    Tipps

    Du kannst nur Vektoren addieren. $\lambda$ ist ein Skalar.

    Wenn du eine Matrix mit einem Vektor multiplizierst, erhältst du einen Vektor.

    Wenn du einen Skalar mit einem Vektor multiplizierst, erhältst du einen Vektor.

    Lösung

    $A$ ist eine $(n\times n)$-Matrix. Die nebenstehende Gleichung besagt: Wenn man $A$ mit dem Vektor $\vec v$ multipliziert, erhält man das Vielfache $\lambda$ des Vektors.

    • Der Vektor $\vec v$ wird als Eigenvektor und
    • der Skalar $\lambda$ wird als Eigenwert der Matrix $A$ bezeichnet.
    Ganz wichtig: Ein Eigenvektor darf nicht der Nullvektor sein!

  • Berechne die Eigenwerte bei gegebenen Eigenvektoren.

    Tipps

    Hier siehst du ein Beispiel für die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor.

    Du multiplizierst zeilenweise die Matrix mit dem Vektor,

    • indem du das erste Element in der Zeile der Matrix mit dem ersten Element des Vektors multiplizierst, dann
    • das zweite Element in der Zeile der Matrix mit dem zweiten Element des Vektors multiplizierst und zuletzt
    • die beiden Produkte addierst.

    Du multiplizierst einen Skalar mit einem Vektor, indem du jede Koordinate des Vektors mit dem Skalar multiplizierst.

    Dies wird als skalare Multiplikation bezeichnet.

    Hier siehst du ein Beispiel für eine skalare Multiplikation.

    Lösung

    Für den Eigenvektor $\vec v$ und den Eigenvektor $\lambda$ einer Matrix gilt

    $A\cdot \vec x=\lambda \cdot \vec x$.

    Das bedeutet, dass bei gegebenen Eigenvektoren jeweils das Produkt der Matrix mit diesem Eigenvektor berechnet werden muss. Der Ergebnisvektor ist ein Vielfaches des Eigenvektors. Dieses Vielfache ist der gesuchte Eigenwert.

    Wir beginnen mit dem Eigenvektor $\vec v$:

    $\begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\cdot 1+2\cdot 1 \\ 2\cdot 1 +1 \cdot 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}=3\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

    Also ist $\lambda=3$ der Eigenwert zu dem Eigenvektor $\vec v$ von $A$.

    Ebenso kann der Eigenwert zu dem Eigenvektor $\vec u$ berechnet werden:

    $\begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\cdot 1+2\cdot (-1) \\ 2\cdot 1 +1 \cdot (-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}=-1\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

    Also ist $\lambda=-1$ der Eigenwert zu dem Eigenvektor $\vec u$ von $A$.

  • Leite die Eigenwerte der Matrix $A$ her.

    Tipps

    Du kannst auch die Determinante der Matrix

    $A-\lambda\cdot I$

    berechnen, wobei $I$ die Einheitsmatrix ist. Die Einheitsmatrix hat auf der Diagonalen nur Einsen und ansonsten nur Nullen.

    Das resultierende (quadratische) Polynom in $\lambda$ wird als charakteristisches Polynom bezeichnet.

    Hier siehst du das charakteristische Polynom der Matrix $A$.

    Die Eigenwerte einer Matrix sind die Nullstellen des zugehörigen charakteristischen Polynoms.

    Lösung

    Wie werden eigentlich die Eigenwerte einer gegebenen Matrix bestimmt?

    Man schaut sich die Gleichung $A\cdot \vec v=\lambda\cdot \vec v$ an und formt diese Gleichung um:

    $\begin{pmatrix} 3&4 \\ 2&1 \end{pmatrix}\cdot \vec v=\lambda \vec v$

    führt zu den Gleichungen

    (I) $3v_1+4v_2=\lambda v_1$

    sowie

    (II) $2v_1+v_2=\lambda v_2$

    Nun wird bei jeder der Gleichungen der rechte Teil subtrahiert, sodass rechts jeweils die $0$ steht.

    (I') $3v_1-\lambda v_1+4v_2=0~\Leftrightarrow ~(3-\lambda)v_1+4v_2=0$

    sowie

    (II') $2v_1+v_2-\lambda v_2=0~\Leftrightarrow ~2v_1+(1-\lambda)v_2=0$

    Dies kann auch geschrieben werden als

    $\begin{pmatrix} 3-\lambda & 4 \\ 2&1-\lambda \end{pmatrix}\cdot \vec v=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

    Wenn die Koeffizientenmatrix invertierbar wäre, hätte diese Gleichung als eindeutige Lösung den Nullvektor. Ein Eigenvektor darf allerdings nach Definition nicht der Nullvektor sein.

    Die Koeffizientenmatrix darf somit nicht invertierbar sein. Das heißt, ihre Determinante muss $0$ ergeben.

    Die Determinante einer $(2\times 2)$-Matrix erhält man, indem man die Diagonalelemente multipliziert und von diesem Produkt das Produkt der beiden übrigen Elemente subtrahiert. Dies führt zu der Gleichung

    $(3-\lambda)(1-\lambda)-2\cdot 4=0$.

    Nun kann das Produkt ausmultipliziert und der Term vereinfacht werden zu

    $3-\lambda -3\lambda+\lambda^2-8=\lambda^2-4\lambda-5=0$.

    Dies ist eine quadratische Gleichung. Übrigens: Der Term $\lambda^2-4\lambda-5$ wird als charakteristisches Polynom der Matrix $A$ bezeichnet.

    Diese Gleichung wird mit der p-q-Formel gelöst

    $\begin{array}{rcl} \lambda_{1,2}&=&-\frac{-4}2\pm\sqrt{\left(\frac{-4}2\right)^2-(-5)}\\ &=&2\pm\sqrt{9}\\ \lambda_1&=&2+3=5\\ \lambda_2&=&2-3=-1 \end{array}$

  • Bestimme die Eigenvektoren der Matrix $A$.

    Tipps

    Ein Eigenvektor zu einem gegebenen Eigenwert ist nicht eindeutig:

    Wenn du einen Eigenvektor kennst, so ist auch jedes Vielfache dieses Vektors Eigenvektor zu dem gleichen Eigenwert.

    $\vec v$ ist der Eigenvektor zu dem Eigenwert $\lambda=5$ und $\vec u$ der zu $\lambda=-1$.

    Du kannst die Eigenvektoren mithilfe der Definition der Eigenvektoren und Eigenwerte überprüfen

    $A\cdot \vec v=\lambda\cdot \vec v$.

    Lösung

    Für den Eigenvektor $\vec v$ und den Eigenvektor $\lambda$ einer Matrix gilt

    $A\cdot \vec x=\lambda \cdot \vec x$.

    Da in dieser Aufgabe die Eigenwerte bereits bekannt sind, müssen die zugehörigen Eigenvektoren bestimmt werden.

    Diese sind übrigens nicht eindeutig, was beim Lösen der folgenden Gleichungssysteme klar wird.

    Wir beginnen mit $\lambda=5$:

    $\begin{pmatrix} 3&4 \\ 2&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5v_1\\5v_2\end{pmatrix}$

    Durch Multiplikation von $A$ mit $\vec v$ und Subtraktion der rechten Seite gelangt man zu

    • $-2v_1+4v_2=0$ sowie
    • $2v_1-4v_2=0$
    Die zweite Gleichung ist das $-1$-Fache der ersten. Es liegt also nur eine Gleichung mit zwei Unbekannten vor: $-2v_1+4v_2=0$ oder äquivalent dazu $2v_1=4v_2$. Division durch $2$ führt zu $v_1=2v_2$.

    $v_2$ kann frei gewählt werden, zum Beispiel $v_2=1$. Dies führt zu $v_1=2$. Wenn $v_2$ anders ($\neq 0$) gewählt wird, erhält man ein Vielfaches des resultierenden Vektors.

    $\vec v=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

    Ebenso wird der Eigenvektor zu $\lambda=-1$ bestimmt:

    $\begin{pmatrix} 3&4 \\ 2&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -u_1\\-u_2\end{pmatrix}$

    Durch Multiplikation von $A$ mit $\vec u$ und Subtraktion der rechten Seite gelangt man zu

    • $4u_1+4u_2=0$ sowie
    • $2u_1+2u_2=0$
    Die zweite Gleichung multipliziert mit $2$ ergibt die erste. Auch hier liegt nur eine Gleichung mit zwei Unbekannten vor: $2u_1+2u_2=0$ oder äquivalent dazu $2u_1=-2u_2$. Division durch $2$ führt zu $u_1=-u_2$.

    $u_2$ kann frei gewählt werden, zum Beispiel $u_2=1$. Dies führt zu $u_1=-1$.

    $\vec u=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

  • Beschreibe, wie der Bildpunkt $P'$ des Punktes $P(3|1)$ bestimmt werden kann.

    Tipps

    Der Bildpunkt ist $P'(5|7)$.

    Beachte, dass du das Distributivgesetz auch bei der Multiplikation von Matrizen mit Vektoren anwenden darfst.

    Lösung

    In diesem Beispiel wird gezeigt, wie mit Eigenwerten und Eigenvektoren gerechnet werden kann.

    Es soll der Bildpunkt $P'$ des Punkes $P(3|1)$ bestimmt werden.

    Zunächst wird der Ortsvektor von $P$ als Linearkombination der beiden Eigenvektoren geschrieben:

    $\vec p=2\cdot \vec u +\vec v$.

    Damit ist der Ortsvektor des Bildpunktes wie folgt gegeben:

    $\vec p'=A\cdot \vec p=A\cdot (2\cdot \vec u +\vec v)$.

    Unter Verwendung des Distributivgesetzes erhält man

    $\vec p'=2\cdot A\cdot \vec u +A\cdot \vec v$.

    Jetzt kommen die bekannten Eigenwerte der Eigenvektoren ins Spiel:

    $\vec p'=2\cdot 3\cdot \vec u +(-1)\cdot \vec v=6\cdot \vec u -\vec v$.

    Zuletzt werden die Eigenvektoren eingesetzt:

    $\vec p'=6\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 -1\\ 6-(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}$

    Der Bildpunkt von $P(3|1)$ ist $P'(5|7)$.

  • Prüfe die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Verwende jeweils die Definition der Eigenvektoren sowie Eigenwerte:

    $A\cdot \vec v=\lambda\cdot \vec v$.

    Überlege die gegebenenfalls Gegenbeispiele.

    Damit die letzten beiden Vektoren gleich sind, muss entweder

    • $\lambda =2$ und $v_2=0$ oder
    • $\lambda =3$ und $v_1=0$ sein.
    Lösung

    In dieser Aufgabe werden zwei Sonderfälle betrachtet:

    Diagonalmatrizen $A=\begin{pmatrix} a_{11}&0\\ 0&a_{22} \end{pmatrix}$ sowie

    Dreiecksmatrizen $A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ 0&a_{22} \end{pmatrix}$

    Mithilfe der Definition von Eigenvektoren und Eigenwerten können die Aussagen geprüft werden:

    Zu den Diagonalmatrizen:

    Es muss gelten

    $\begin{pmatrix} a_{11}&0\\ 0&a_{22} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \end{pmatrix}=\lambda \cdot \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \end{pmatrix}$

    Dies ist äquivalent zu den Gleichungen

    (I) $a_{11}v_1=\lambda v_1~\Leftrightarrow ~(a_{11}-\lambda)v_1=0$

    sowie

    (II) $a_{22}v_2=\lambda v_2~\Leftrightarrow ~(a_{22}-\lambda)v_2=0$

    Sei $\lambda \neq a_{11}$, dann muss $v_1=0$ sein. Nun gibt es hierzu zwei Fälle

    • $\lambda\neq a_{22}$, dann ist auch $v_2=0$ und $\vec v=\vec 0$. Dies widerspricht der Forderung, dass ein Eigenvektor nicht der Nullvektor sein kann.
    • Das bedeutet, dass $\lambda=a_{22}$ sein muss. Dann kann $v_2$ beliebig gewählt werden, zum Beispiel $v_2=1$.
    Das bedeutet, zusammengefasst:

    $\vec v=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$

    ist ein Eigenvektor zu $\lambda=a_{22}$.

    Ebenso kann gezeigt werden, dass

    $\vec u=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$

    ein Eigenvektor zu $\lambda = a_{11}$ ist.

    Somit sind die Elemente auf der Diagonalen die Eigenwerte und die Einheitsvektoren $\vec v$ und $\vec u$, oder deren Vielfache, die Eigenvektoren.

    Ganz allgemein gilt, dass jedes Vielfache eines Eigenvektors zu dem Eigenwert $\lambda$ der Matrix $A$ auch Eigenvektor zu dem gleichen Eigenwert ist.

    Begründung: Sei $\vec v=k\cdot \vec u$, dann gilt

    $A\cdot \vec v=A\cdot (k\cdot\vec u)=k\cdot (A\cdot \vec u)=k\cdot \lambda \cdot \vec u=\lambda\cdot (k\cdot \vec u)=\lambda\cdot \vec v$

    Zu den Dreiecksmatrizen:

    Die Eigenwerte sind die Nullstellen der Determinante der Matrix

    $\begin{pmatrix} a_{11}-\lambda&a_{12}\\ 0&a_{22}-\lambda \end{pmatrix}$.

    Die Determinante ist $(a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)$. Diese ist $0$, wenn

    • entweder $\lambda=a_{11}$
    • oder $\lambda=a_{22}$
    So hätten auch die Eigenwerte von Diagonalmatrizen nachgewiesen werden können.

    Übrigens: Die Aussagen zu den Diagonal- oder Dreiecksmatrizen gelten nicht nur für $(2\times 2)$-, sondern allgemein für $(n\times n)$-Matrizen.