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Definition von Eigenwerten und Eigenvektoren

Eine lineare Funktion $f(\vec v)=A\cdot \vec v$ bildet einen Vektorraum $V$ in sich selbst ab. Dabei ist $A$ eine $(n\times n)$-Matrix, wobei $n$ die Dimension des Vektorraums ist.

Jeder Vektor $\vec v\neq \vec 0$, der die Gleichung

$\quad~~~A\cdot \vec v=\lambda\cdot \vec v$

erfüllt, wird als Eigenvektor der Matrix $A$ bezeichnet. Die reelle Zahl $\lambda$ ist der zu diesem Vektor $\vec v$ gehörende Eigenwert.

Beispiel für eine lineare Funktion

Durch eine $(2\times 2)$-Matrix $A$ ist eine lineare Abbildung der Ebene $\mathbb{R}^2$ auf sich selbst gegeben.

Sei zum Beispiel

$\quad~~~A=\begin{pmatrix} 2& 0\\ 0&2 \end{pmatrix}$,

dann ist durch $A\cdot \vec v$ eine Verdoppelung des Vektors gegeben. Dies kannst du dir mit der Definition der Matrixmultiplikation klarmachen:

$\quad~~~A=\begin{pmatrix} 2& 0\\ 0&2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} v_x\\ v_y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2v_x\\ 2v_y \end{pmatrix}=2\cdot \begin{pmatrix} v_x\\ v_y \end{pmatrix}$.

Die Eigenwerte einer Diagonalmatrix sind gerade die Diagonalelemente dieser Matrix. Hier gibt es nur einen Eigenwert $\lambda=2$. Zu diesem Eigenwert gibt es unendlich viele Eigenvektoren, welche nicht der Nullvektor sind.

Nur: Wie kannst du die Eigenwerte bestimmen, wenn die Matrix keine Diagonalmatrix ist?

Bestimmung der Eigenwerte einer Matrix

  • Nach der Definition muss gelten: $A\cdot \vec v=\lambda\cdot \vec v$.
  • Wenn du $\lambda \vec v$ subtrahierst und $\vec v$ ausklammerst, erhältst du die Gleichung $(A-\lambda I)\cdot \vec v=\vec 0$. Dabei ist

$\quad~~~I=\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0&1 \end{pmatrix}$ die sogenannte Einheitsmatrix.

  • Diese Gleichung hat nur dann eine Lösung, welche nicht gleich dem Nullvektor ist, wenn die Matrix $A-\lambda I$ nicht invertierbar ist. Anders ausgedrückt: Die Determinante der Matrix $A-\lambda I$ muss gleich $0$ sein.
  • Wenn du die Determinante der Matrix $A-\lambda I$ berechnest, erhältst du ein Polynom in $\lambda$, welches einen Grad kleiner oder gleich der Dimension des Vektorraumes hat.
  • Dieses Polynom wird als das charakteristische Polynom bezeichnet. Dessen Nullstellen sind die gesuchten Eigenwerte.

Beispiel zur Berechnung von Eigenwerten

Betrachte die $(2x2)$-Matrix

$\quad~~~A=\begin{pmatrix} 2& 1\\ 1&2 \end{pmatrix}$.

Du musst die Determinante der Matrix $A-\lambda I$ berechnen

$\quad~~~A-\lambda I=\begin{pmatrix} 2-\lambda& 1\\ 1&2-\lambda \end{pmatrix}$.

Die Determinante einer $(2x2)$-Matrix berechnest du wie folgt

  • du multiplizierst die Elemente der Hauptdiagonalen (von links oben nach rechts unten): $(2-\lambda)(2-\lambda)$
  • und subtrahierst davon das Produkt der Elemente der Nebendiagonalen (von links unten nach rechts oben): $1\cdot 1$

Das charakteristiche Polynom lautet:

$\quad~~~(2-\lambda)(2-\lambda)-1=\lambda^2-4\lambda+3$.

Dessen Nullstellen erhältst du durch die p-q-Formel. Diese sind $\lambda_1=1$ und $\lambda_2=3$.

Bestimmung der Eigenvektoren einer Matrix

In dem obigen Beispiel mit der Matrix

$\quad~~~A=\begin{pmatrix} 2& 1\\ 1&2 \end{pmatrix}$

sind die Eigenwerte $\lambda_1=1$ und $\lambda_2=3$. Zu jedem dieser Eigenwerte muss es nach Definition einen Vektor geben, so dass $A\cdot \vec v=\lambda\cdot \vec v$ ist. Dies führt jeweils zu einem linearen Gleichungssystem. Dieses kannst du hier für $\lambda_1=1$ ausführlich sehen:

$\quad~~~\begin{pmatrix} 2& 1\\ 1&2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} v_x\\ v_y \end{pmatrix}=1\cdot \begin{pmatrix} v_x\\ v_y \end{pmatrix}$

Zunächst rechnest du das Produkt auf der linken Seite aus:

$\quad~~~\begin{pmatrix} 2v_x+v_y\\ v_x+2v_y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} v_x\\ v_y \end{pmatrix}$

Nun subtrahierst du die rechte Seite

$\quad~~~\begin{pmatrix} v_x+v_y\\ v_x+v_y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$

Du erkennst, dass in beiden Zeilen die gleiche Gleichung $v_x+v_y=0$ steht, oder, äquivalent dazu $v_x=-v_y$. Wenn du nun $v_y=1$ wählst, dann ist $v_x=-1$ und somit ist

$\quad~~~\vec v=\begin{pmatrix} -1\\ 1 \end{pmatrix}$

ein Eigenvektor von $A$. Der zugehörige Eigenwert ist $\lambda_1=1$. Übrigens: Jedes beliebige Vielfache des Vektors $\vec v$ ist auch ein Eigenvektor von $A$ mit dem gleichen zugehörigen Eigenwert.

Ebenso kannst du den Eigenvektor

$\quad~~~\vec w=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}$

mit dem zugehörigen Eigenwert $\lambda_2=3$ bestimmen.

Wissenswertes zu Eigenvektoren und Eigenwerten

  • Da das charakteristische Polynom einen Grad kleiner oder gleich der Dimension des Vektorraumes hat, kann es maximal so viele Eigenwerte geben wie die Dimension des Vektorraumes. Es kann auch weniger geben. Dies kannst du an dem Beispiel der Diagonalmatrix am Anfang sehen.
  • Mit Hilfe von Eigenvektoren und den zughörigen Eigenwerten kannst du lineare Abbildungen anschaulich als eine Kombination von Verschiebungen und Streckungen darstellen.