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Lineare Abbildungen

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Was ist eine lineare Abbildung?

$V$ und $W$ seien zwei Vektorräume. Eine Abbildung $f:V\rightarrow W$ bildet dann Elemente aus $V$ auf Elemente in $W$ ab. Eine solche Abbildung heißt linear, wenn für alle $\vec{u}$ und $\vec{v}$ aus $V$ sowie $r$ und $s$ aus $\mathbb{R}$ gilt:

$f\left(r\cdot \vec{u}+s\cdot \vec{v}\right)=r\cdot f\left(\vec{u}\right)+s\cdot f\left(\vec{v}\right)$

Die Aussage dieser Gleichung ist, dass die Reihenfolge der Operationen bei einer linearen Abbildung keine Rolle spielt. Eine solche lineare Abbildung wird auch Homomorphismus genannt.

Um diese doch etwas sperrige Definition etwas besser verstehen zu können, siehst du hier ein Beispiel:

Es seien $V=W=\mathbb{R}^{2}$. Die lineare Abbildung $f$ bildet jeden Vektor wie folgt ab:

$f\left(\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} v_1 \\ 0 \end{pmatrix}$

Beispielsweise gilt:

$f\left(\begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$

Überprüfe nun, ob dies tatsächlich eine lineare Abbildung ist. Falls dir die formale Erklärung nicht direkt klar ist, setze jeweils für $v$ und $u$ einen bestimmten zweidimensionalen Vektor und für $r$ und $s$ jeweils eine Zahl ein und schau, ob bei beiden Seiten der Gleichung dasselbe Ergebnis herauskommt.

Hier siehst du das formale Argument, warum $f$ eine lineare Abbildung ist:

$f\left(r\cdot\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}\right)=f\left(\begin{pmatrix} r\cdot u_1+s\cdot v_1 \\ r\cdot u_2+s\cdot v_2 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} r\cdot u_1+s\cdot v_1 \\ 0 \end{pmatrix}$

Der Term ganz rechts ist äquivalent zu $r\cdot f\left(\vec{u}\right)+s\cdot f\left(\vec{v}\right)$. Also ist $f$ linear.

Eigenschaften

Es gibt Eigenschaften, die jede lineare Abbildung aufweist. Es gilt zum Beispiel:

  • Der Nullvektor einer linearen Abbildung wird auf den Nullvektor abgebildet. Das bedeutet $f\left(\vec{0}\right)=\vec{0}$.
  • Wenn die Vektorräume $V$ und $W$ jeweils endlichdimensional sind, kannst du jede lineare Abbildung als Multiplikation eines Vektors mit einer Matrix darstellen. Es gilt $f\left(\vec{v}\right)=A\cdot \vec{v}$.

Beispiele für lineare Abbildungen

Alle folgenden Abbildungen lassen sich als lineare Abbildung in der Form $A\cdot \vec{v}$ schreiben: