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Zentrische Streckung im Koordinatensystem – Anleitung 07:12 min

Textversion des Videos

Transkript Zentrische Streckung im Koordinatensystem – Anleitung

Hallo. Mein Name ist Frank. In diesem Video werde ich mit Dir die Zentrische Streckung im Koordinatensystem behandeln. Das heißt, ich schaue, wie geometrische Figuren in der Ebene, also im x-y-Koordinatensystem, gestreckt werden. Und was heißt das? Das zeig ich Dir erst einmal an einem einfachen Beispiel. Stell Dir vor, Du würdest eine Hausfront zeichnen und Du stehst zu einem gewissen Abstand zu der Hausfront. Und peilst gewisse Größen dieser Hausfront an. Zum Beispiel einfach mal die Höhe. Und das Haus, wenn man mal über den Stift schaut, genau so hoch, wie dieser Stift hier lang ist. Dann kannst Du die Länge des Stiftes auf das Blatt übertragen. Also so. Dann schaust Du, OK, jetzt haben wir die Höhe. Jetzt schaust Du, wie weit ist die Tür von dieser Höhe entfernt. Nehmen wir einmal an, das wäre so lang. Auch hier überträgst diese Länge einfach hier hin. So, und misst dann einfach verschiedene Punkte ab. Zum Beispiel die Tür, also die wäre dann so. Und die Länge wäre so. Und dann kannst Du Dein Haus vervollständigen, indem Du jeden einzelnen Punkt dieses Hauses, also die Höhe, die Dachhöhe, die Höhe der Tür mit einem Stift angepeilt hast. In dem Fall ist natürlich das Originalobjekt, also die Hausfront, viel größer als das, was hier auf dem Blatt erscheint. Aber das, was hier auf dem Blatt erscheint, ist ähnlich zu dieser Hausfront und natürlich insbesondere maßstabsgetreu. Diese ganzen Verhältnisse stimmen überein. Und was das insbesondere im Koordinatensystem heißt, am Beispiel von geometrischen Figuren, das werde ich Dir jetzt im Folgenden zeigen. So, nachdem ich Dir im einführenden Beispiel gezeigt hab, was eine zentrische Streckung ist, werde ich Dir das jetzt an zwei weiteren Beispielen im Koordinatensystem vorführen. Hier links kannst Du schon einmal ein Koordinatensystem sehen mit einem rechtwinkligen Dreieck ABC und dem Streckzentrum Z im Koordinatenursprung. Und hier rechts ist das Vorgehen. Und das zeig ich Dir jetzt mal an diesem Beispiel. Zuerst einmal verbindest Du alle Punkte dieser geometrischen Figur mit dem Streckzentrum Z durch Hilfslinien. Und das kannst Du jetzt hier schon exemplarisch sehen für den Punkt a. Es wird eine Hilfslinie vom Koordinatenursprung, also vom Streckzentrum zu A gezeichnet. Nun misst Du die Länge dieser Strecke und multiplizierst diese mit dem Streckfaktor k, in meinem Beispiel hier wäre der Streckfaktor k = 2. Das entspricht einer Verdopplung der Strecke. Das habe ich auch dann so gewählt, damit es etwas klarer wird von der Anschauung. Und Du siehst hier, die Strecke wird einfach verdoppelt. Und am Ende dieser Strecke ist dann der entsprechende Bildpunkt von A, also A'. Das kannst Du hier sehen. Also zeichne die Strecke mit dieser, in dem Fall verdoppelten, Länge entlang der Hilfslinie und trage den Bildpunkt ein. Und genau dasselbe machen wir natürlich mit den Punkten B und C, auch da wieder wird die Strecke verdoppelt. Und Du erhältst die Bildpunkte B' und C'. Also zeichne alle Bildpunkte ein und ergänze die Figur. Auch das kannst Du hier links sehen. Und was Du schon sehen kannst, ist, dass Du beide Male ein rechtwinkliges Dreieck hast. Nur das abgebildete Dreieck ist größer. Und so etwas nennt man Ähnlichkeit. Und das ist, was ich am Anfang auch schon als maßstabsgetreu bezeichnet hab. Und nun komme ich zu dem Fall, dass das Streckzentrum Z nicht im Koordinatenzentrum liegt. Sondern ein beliebiger Punkt in der Ebene ist. Und das siehst Du jetzt hier. Das Vorgehen ist genau das Gleiche. Du verbindest wieder dieses Streckzentrum mit dem der Punkte über Hilfslinien. Und das siehst Du jetzt exemplarisch wieder an dem Punkt A. Hier ist die Hilfslinie von Z zu A. Multiplizierst wieder die Länge dieser Strecke mit dem Streckfaktor, auch in dem Beispiel wieder k = 2, also Verdopplung der Strecke und erhältst so den Bildpunkt A'. Das Gleiche machst Du wieder mit den übrigen Punkten B und C und erhältst dann die entsprechenden Bildpunkte B' und C' und kannst dann auch hier die Figur wieder ergänzen. Auch hier kannst Du wieder sehen, Du erhältst auch da wieder als Bild ein rechtwinkliges Dreieck. Und auch dieses Dreieck ist wieder ähnlich zu dem Ausgangsdreieck, also maßstabsgetreu. Ich habe jetzt diese zentrische Streckung am Beispiel von rechtwinkligen Dreiecken gezeigt. Natürlich kannst Du es mit jedem beliebigen geometrischen Gebilde machen. Die Abfolge ist die Gleiche. Du verbindest immer wieder die Punkte dieser Gebilde mit dem Streckzentrum über Hilfslinien, multiplizierst die Strecke mit dem Streckfaktor und so weiter und so fort. Zu guter Letzt habe ich hier noch aufgeschrieben, was dieser Streckfaktor bedeutet. Wenn dieser Streckfaktor k > 1, wie also in den beiden Beispielen, die ich gezeigt habe, dann liegt eine Streckung vor. Das heißt, das Bild wird größer. Wenn der Streckfaktor zwischen null und eins liegt, dann liegt eine Stauchung vor. Das heißt, das Bild wird kleiner. Und wenn der Streckfaktor kleiner als null wäre, dann entspricht das einer Spiegelung an dem Zentrum Z. Gut. Dann wiederhole ich noch einmal kurz, was Du in diesem Video gelernt hast: Was ist eine zentrische Streckung in einem Koordinatensystem? Und wie führst Du diese durch? Ich habe Dir das an zwei Beispielen gezeigt, also an rechtwinkligen Dreiecken im Koordinatensystem. Und dabei konnten wir feststellen, wenn der Streckfaktor größer ist als eins, dann wird das Dreieck entsprechend größer. Und in meinem Ausgangsbeispiel mit dem Haus ist natürlich das Bild viel kleiner gewesen als das Haus. Da wäre der Streckfaktor zwischen null und eins gewesen. Die Spiegelung habe ich jetzt hier in diesem Video nicht betrachtet, das ist nur der Vollständigkeit halber. Nun hoffe ich, dass Du alles gut verstehen konntest und danke Dir für Deine Aufmerksamkeit. Wie immer freue ich mich über Fragen und Anregungen. Bis zum nächsten Mal. Dein Frank.

Zentrische Streckung im Koordinatensystem – Anleitung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zentrische Streckung im Koordinatensystem – Anleitung kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe allgemein, wie eine zentrische Streckung im Koordinatensystem durchgeführt wird.

    Tipps

    Hier siehst du den ersten Schritt der zentrischen Streckung des Dreiecks $\Delta_{ABC}$.

    Beachte:

    • Wenn der Streckfaktor größer ist als $1$ wird gestreckt.
    • Wenn der Streckfaktor zwischen $0$ und $1$ liegt, wird gestaucht.
    Lösung

    Hier ist das allgemeine Vorgehen bei einer zentrischen Streckung zu sehen:

    1. Man verbindet jeden Punkt mit dem Streckzentrum $Z$ mit einer Hilfslinie.
    2. Die Streckenlänge wird mit dem Streckfaktor $k$ multipliziert.
    3. Zeiche die Strecke dieser multiplizierten Länge entlang der Hilfslinie. So gelangt man zu dem Bildpunkt des Punktes.
    4. Führe die Streckung bei allen Punkten ebenso durch und ergänze die Figur.
  • Fasse die zentrische Streckung im Koordinatensystem zusammen.

    Tipps

    Du kannst dir eine Streckung vorstellen wie ein Übertragen, zum Beispiel eines Hauses, auf ein Blatt Papier: Die Seitenverhältnisse stimmen überein.

    Kongruent bedeutet deckunsgleich: Zum Beispiel heißen zwei Dreiecke kongruent, wenn sie in den Längen ihrer drei Seiten überein stimmen.

    Hier siehst du eine Streckung mit dem Koordinatenursprung als Streckzentrum und dem Streckfaktor $k=2$.

    Lösung

    In diesem Bild ist eine Streckung mit dem Koordinatensystem als Streckzentrum und dem Streckfaktor $k=2$.

    Das Streckzentrum kann auch jeder beliebige Punkt im Koordinatensystem sein.

    An diesem Bild kannst du

    • zum Einen erkennen, dass die Dreiecke $\Delta_{ABC}$ sowie $\Delta_{A'B'C'}$ ähnlich zueinander sind, jedoch nicht kongruent.
    • Zum Anderen ist das Bilddreieck größer als das Ausgangsdreieck.
    Es gilt für den Streckfaktor $k$:

    • $k>1$ führt zu einer Streckung,
    • $0<k<1$ zu einer Stauchung und
    • $k<0$ zu einer Spiegelung am Streckzentrum.
    Eine zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung.

  • Bestimme das Bilddreieck bei einer zentrischen Streckung.

    Tipps

    Zunächst wird eine Hilfslinie von der Streckzentrum zu einem der Punkte gezogen.

    Dann wird diese Hilfslinie um den Faktor $k$ verlängert.

    So erhält man den Bildpunkt. Dieser wird mit einem Strich versehen.

    Der Bildpunkt von $P$ ist $P'$.

    Am Ende ist die gestreckte Figur fertig.

    Lösung

    Hier sind sowohl das Ausgangsdreieck $\Delta_{ABC}$ sowie das Bilddreieck $\Delta_{A'B'C'}$ zu sehen.

    Die Streckung wird hier exemplarisch mit $A$ durchgeführt:

    • Man verbindet $A$ mit dem Streckzentrum $Z$. So erhält man eine Hilfslinie.
    • Nun wird die Streckenlänge verdoppelt und
    • diese Strecke an der Hilfslinie abgetragen. So erhält man den Bildpunkt $A'$.
    • Ebenso verfährt man mit jedem der beiden übrigen Eckpunkte $B$ und $C$. Die Bildpunkte sind $B'$ und $C'$.
    • Zuletzt werden die Bildpunkte zu der Bildfigur ergänzt.
  • Ordne jeder der Streckungen den Streckfaktor zu.

    Tipps

    Mache dir jeweils das Streckzentrum klar.

    Wenn du jeweils einen Punkt mit seinem Bildpunkt verbindest, erhältst du Hilfslinien. Alle diese Linien treffen sich in einem Punkt, dem Streckzentrum.

    • Wenn eine Figur größer ist als die Ausgangsfigur, dann ist entweder $k>1$ oder $k<-1$.
    • Wenn eine Figur kleiner ist als die Ausgangsfigur, dann ist entweder $-1<k<0$ oder $0<k<1$.

    Wenn die Figur gespiegelt ist, ist der Streckfaktor negativ.

    Die Streckzentren sind (von rechts nach links)

    • $Z(0|2)$
    • $Z(1|0)$
    • $Z(1|2)$
    • $Z(0|0)$
    Lösung
    • Bei dem linken Bild ist das Streckzentrum $Z(0,2)$. An der geänderten Orientierung der Eckpunkte kann man erkennen, dass eine Spiegelung durchgeführt wurde: Die Figuren sind kongruent, also ist $k=-1$.
    • Bei dem zweiten Bild von links ist das Streckzentrum $Z(1|0)$. Die Bildfigur ist kleiner und liegt auf der gleichen Seite von $Z$, also ist $0<k<1$. An dem Punkt $A(1|2)$ und dem entsprechenden Bildpunkt $A'(1|1)$ ist erkennbar, dass $k=0,5$ ist.
    • Bei dem dritten Bild von links ist das Streckzentrum der Eckpunkt $A$, an welchem die Figur gespiegelt wurde. Hier ist $k=-0,5$.
    • In dem Bild ganz rechts ist das Streckzentrum der Koordinatenursprung. Es ist $A(1|2)$ und $A'(1,5|3)$, also ist $k=1,5$.
  • Bestimme das Streckzentrum sowie den Streckfaktor.

    Tipps

    Das Streckzentrum muss nicht unbedingt der Koordinatenursprung sein.

    Merke dir für den Streckfaktor:

    • $k>1$ führt zu einer Streckung,
    • $0<k<1$ zu einer Stauchung und
    • $k<0$ zu einer Spiegelung am Streckzentrum.

    Die zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung.

    Für $|k|=1$ liegt sogar eine Kongruenzabbildung vor.

    Du kannst erkennen, dass der Ausgangspunkt $A$ und sein Bildpunkt überein stimmen.

    Lösung

    Der Punkt $A$ und der Bildpunkt $A'$ sind identisch.

    Dies ist nur dann der Fall, wenn dieser Punkt das Streckzentrum ist. Das bedeutet, dass $Z(1|1)$ das Streckzentrum ist.

    Die beiden Trapeze $ABCD$ sowie $AB'C'D'$ sind kongruent zueinander. Das bedeutet, dass das Trapez (nur) an $A$ gespiegelt wurde. Das bedeutet, dass $k=-1$ ist.

  • Prüfe die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Eine zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung.

    Ähnliche Dreiecke stimmen in ihren drei Winkeln überein.

    Betrachte ein Rechteck: In diesem sind die einander gegenüber liegenden Seiten parallel zueinander.

    Die Bildfigur zu diesem Rechteck ist ebenfalls ein Rechteck.

    Lösung

    Da die zentrische Streckung eine Ähnlichkeitsabbildung ist, gilt immer, dass die Ausgangsfigur und auch die Bildfigur ähnlich zueinander sind, also maßstabgetreu.

    Also werden

    • gleichseitige Dreiecke auf gleichseitige Dreiecke,
    • gleichschenklige Dreiecke auf gleichschenklige Dreiecke und
    • rechtwinklige Dreiecke auf rechtwinklige Dreiecke abgebildet werden.
    Das bedeutet insbesondere, dass Winkel sich bei einer zentrischen Streckung nicht ändern.

    Das bedeutet auch, dass

    • Strecken die parallel zu einer der Koordinatenachsen parallel verlaufen, dies auch nach der Streckung tun.
    • Strecken die in der Ausgangsfigur parallel zueinander sind, dies auch in der Bildfigur tun.