Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Zentrische Streckung im Koordinatensystem – Anleitung

Video abspielen
Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Bewertung

Ø 3.4 / 9 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
Frank Steiger
Zentrische Streckung im Koordinatensystem – Anleitung
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Zentrische Streckung im Koordinatensystem – Anleitung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zentrische Streckung im Koordinatensystem – Anleitung kannst du es wiederholen und üben.
  • Tipps

    Hier siehst du den ersten Schritt der zentrischen Streckung des Dreiecks $\Delta_{ABC}$.

    Beachte:

    • Wenn der Streckfaktor größer ist als $1$ wird gestreckt.
    • Wenn der Streckfaktor zwischen $0$ und $1$ liegt, wird gestaucht.
    Lösung

    Hier ist das allgemeine Vorgehen bei einer zentrischen Streckung zu sehen:

    1. Man verbindet jeden Punkt mit dem Streckzentrum $Z$ mit einer Hilfslinie.
    2. Die Streckenlänge wird mit dem Streckfaktor $k$ multipliziert.
    3. Zeichne die Strecke dieser multiplizierten Länge entlang der Hilfslinie. So gelangt man zu dem Bildpunkt des Punktes.
    4. Führe die Streckung bei allen Punkten ebenso durch und ergänze die Figur.
  • Tipps

    Zunächst wird eine Hilfslinie von der Streckzentrum zu einem der Punkte gezogen.

    Dann wird diese Hilfslinie um den Faktor $k$ verlängert.

    So erhält man den Bildpunkt. Dieser wird mit einem Strich versehen.

    Der Bildpunkt von $P$ ist $P'$.

    Am Ende ist die gestreckte Figur fertig.

    Lösung

    Hier sind sowohl das Ausgangsdreieck $\Delta_{ABC}$ sowie das Bilddreieck $\Delta_{A'B'C'}$ zu sehen.

    Die Streckung wird hier exemplarisch mit $A$ durchgeführt:

    • Man verbindet $A$ mit dem Streckzentrum $Z$. So erhält man eine Hilfslinie.
    • Nun wird die Streckenlänge verdoppelt und
    • diese Strecke an der Hilfslinie abgetragen. So erhält man den Bildpunkt $A'$.
    • Ebenso verfährt man mit jedem der beiden übrigen Eckpunkte $B$ und $C$. Die Bildpunkte sind $B'$ und $C'$.
    • Zuletzt werden die Bildpunkte zu der Bildfigur ergänzt.
  • Tipps

    Das Streckzentrum muss nicht unbedingt der Koordinatenursprung sein.

    Merke dir für den Streckfaktor:

    • $k>1$ führt zu einer Streckung,
    • $0<k<1$ zu einer Stauchung und
    • $k<0$ zu einer Spiegelung am Streckzentrum.

    Die zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung.

    Für $|k|=1$ liegt sogar eine Kongruenzabbildung vor.

    Du kannst erkennen, dass der Ausgangspunkt $A$ und sein Bildpunkt übereinstimmen.

    Lösung

    Der Punkt $A$ und der Bildpunkt $A'$ sind identisch.

    Dies ist nur dann der Fall, wenn dieser Punkt das Streckzentrum ist. Das bedeutet, dass $Z(1|1)$ das Streckzentrum ist.

    Die beiden Trapeze $ABCD$ sowie $AB'C'D'$ sind kongruent zueinander. Das bedeutet, dass das Trapez (nur) an $A$ gespiegelt wurde. Das bedeutet, dass $k=-1$ ist.

  • Tipps

    Eine zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung.

    Ähnliche Dreiecke stimmen in ihren drei Winkeln überein.

    Betrachte ein Rechteck: In diesem sind die einander gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander.

    Die Bildfigur zu diesem Rechteck ist ebenfalls ein Rechteck.

    Lösung

    Da die zentrische Streckung eine Ähnlichkeitsabbildung ist, gilt immer, dass die Ausgangsfigur und auch die Bildfigur ähnlich zueinander sind, also maßstabgetreu.

    Also werden

    • gleichseitige Dreiecke auf gleichseitige Dreiecke,
    • gleichschenklige Dreiecke auf gleichschenklige Dreiecke und
    • rechtwinklige Dreiecke auf rechtwinklige Dreiecke abgebildet.
    Das bedeutet insbesondere, dass Winkel sich bei einer zentrischen Streckung nicht ändern.

    Das bedeutet auch, dass

    • Strecken, die parallel zu einer der Koordinatenachsen parallel verlaufen, dies auch nach der Streckung tun.
    • Strecken, die in der Ausgangsfigur parallel zueinander sind, dies auch in der Bildfigur tun.
  • Tipps

    Du kannst dir eine Streckung vorstellen wie ein Übertragen, zum Beispiel eines Hauses, auf ein Blatt Papier: Die Seitenverhältnisse stimmen überein.

    Kongruent bedeutet deckungsgleich: Zum Beispiel heißen zwei Dreiecke kongruent, wenn sie in den Längen ihrer drei Seiten überein stimmen.

    Hier siehst du eine Streckung mit dem Koordinatenursprung als Streckzentrum und dem Streckfaktor $k=2$.

    Lösung

    In diesem Bild ist eine Streckung mit dem Koordinatensystem als Streckzentrum und dem Streckfaktor $k=2$.

    Das Streckzentrum kann auch jeder beliebige Punkt im Koordinatensystem sein.

    An diesem Bild kannst du

    • zum einen erkennen, dass die Dreiecke $\Delta_{ABC}$ sowie $\Delta_{A'B'C'}$ ähnlich zueinander sind, jedoch nicht kongruent.
    • Zum anderen ist das Bilddreieck größer als das Ausgangsdreieck.
    Es gilt für den Streckfaktor $k$:

    • $k>1$ führt zu einer Streckung,
    • $0<k<1$ zu einer Stauchung und
    • $k<0$ zu einer Spiegelung am Streckzentrum.
    Eine zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung.

  • Tipps

    Mache dir jeweils das Streckzentrum klar.

    Wenn du jeweils einen Punkt mit seinem Bildpunkt verbindest, erhältst du Hilfslinien. Alle diese Linien treffen sich in einem Punkt, dem Streckzentrum.

    • Wenn eine Figur größer ist als die Ausgangsfigur, dann ist entweder $k>1$ oder $k<-1$.
    • Wenn eine Figur kleiner ist als die Ausgangsfigur, dann ist entweder $-1<k<0$ oder $0<k<1$.

    Wenn die Figur gespiegelt ist, ist der Streckfaktor negativ.

    Die Streckzentren sind (von rechts nach links)

    • $Z(0|2)$
    • $Z(1|0)$
    • $Z(1|2)$
    • $Z(0|0)$
    Lösung
    • Bei dem linken Bild ist das Streckzentrum $Z(0,2)$. An der geänderten Orientierung der Eckpunkte kann man erkennen, dass eine Spiegelung durchgeführt wurde: Die Figuren sind kongruent, also ist $k=-1$.
    • Bei dem zweiten Bild von links ist das Streckzentrum $Z(1|0)$. Die Bildfigur ist kleiner und liegt auf der gleichen Seite von $Z$, also ist $0<k<1$. An dem Punkt $A(1|2)$ und dem entsprechenden Bildpunkt $A'(1|1)$ ist erkennbar, dass $k=0,5$ ist.
    • Bei dem dritten Bild von links ist das Streckzentrum der Eckpunkt $A$, an welchem die Figur gespiegelt wurde. Hier ist $k=-0,5$.
    • In dem Bild ganz rechts ist das Streckzentrum der Koordinatenursprung. Es ist $A(1|2)$ und $A'(1,5|3)$, also ist $k=1,5$.
30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

9.360

sofaheld-Level

6.600

vorgefertigte
Vokabeln

8.212

Lernvideos

38.688

Übungen

33.496

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrkräften

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden