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Zentrische Streckung im Koordinatensystem – Anleitung

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Die Autor*innen
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Frank Steiger
Zentrische Streckung im Koordinatensystem – Anleitung
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Zentrische Streckung im Koordinatensystem – Anleitung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zentrische Streckung im Koordinatensystem – Anleitung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe allgemein, wie eine zentrische Streckung im Koordinatensystem durchgeführt wird.

    Tipps

    Hier siehst du den ersten Schritt der zentrischen Streckung des Dreiecks $\Delta_{ABC}$.

    Beachte:

    • Wenn der Streckfaktor größer ist als $1$ wird gestreckt.
    • Wenn der Streckfaktor zwischen $0$ und $1$ liegt, wird gestaucht.
    Lösung

    Hier ist das allgemeine Vorgehen bei einer zentrischen Streckung zu sehen:

    1. Man verbindet jeden Punkt mit dem Streckzentrum $Z$ mit einer Hilfslinie.
    2. Die Streckenlänge wird mit dem Streckfaktor $k$ multipliziert.
    3. Zeichne die Strecke dieser multiplizierten Länge entlang der Hilfslinie. So gelangt man zu dem Bildpunkt des Punktes.
    4. Führe die Streckung bei allen Punkten ebenso durch und ergänze die Figur.
  • Bestimme das Bilddreieck bei einer zentrischen Streckung.

    Tipps

    Zunächst wird eine Hilfslinie von der Streckzentrum zu einem der Punkte gezogen.

    Dann wird diese Hilfslinie um den Faktor $k$ verlängert.

    So erhält man den Bildpunkt. Dieser wird mit einem Strich versehen.

    Der Bildpunkt von $P$ ist $P'$.

    Am Ende ist die gestreckte Figur fertig.

    Lösung

    Hier sind sowohl das Ausgangsdreieck $\Delta_{ABC}$ sowie das Bilddreieck $\Delta_{A'B'C'}$ zu sehen.

    Die Streckung wird hier exemplarisch mit $A$ durchgeführt:

    • Man verbindet $A$ mit dem Streckzentrum $Z$. So erhält man eine Hilfslinie.
    • Nun wird die Streckenlänge verdoppelt und
    • diese Strecke an der Hilfslinie abgetragen. So erhält man den Bildpunkt $A'$.
    • Ebenso verfährt man mit jedem der beiden übrigen Eckpunkte $B$ und $C$. Die Bildpunkte sind $B'$ und $C'$.
    • Zuletzt werden die Bildpunkte zu der Bildfigur ergänzt.
  • Bestimme das Streckzentrum sowie den Streckfaktor.

    Tipps

    Das Streckzentrum muss nicht unbedingt der Koordinatenursprung sein.

    Merke dir für den Streckfaktor:

    • $k>1$ führt zu einer Streckung,
    • $0<k<1$ zu einer Stauchung und
    • $k<0$ zu einer Spiegelung am Streckzentrum.

    Die zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung.

    Für $|k|=1$ liegt sogar eine Kongruenzabbildung vor.

    Du kannst erkennen, dass der Ausgangspunkt $A$ und sein Bildpunkt übereinstimmen.

    Lösung

    Der Punkt $A$ und der Bildpunkt $A'$ sind identisch.

    Dies ist nur dann der Fall, wenn dieser Punkt das Streckzentrum ist. Das bedeutet, dass $Z(1|1)$ das Streckzentrum ist.

    Die beiden Trapeze $ABCD$ sowie $AB'C'D'$ sind kongruent zueinander. Das bedeutet, dass das Trapez (nur) an $A$ gespiegelt wurde. Das bedeutet, dass $k=-1$ ist.

  • Prüfe die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Eine zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung.

    Ähnliche Dreiecke stimmen in ihren drei Winkeln überein.

    Betrachte ein Rechteck: In diesem sind die einander gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander.

    Die Bildfigur zu diesem Rechteck ist ebenfalls ein Rechteck.

    Lösung

    Da die zentrische Streckung eine Ähnlichkeitsabbildung ist, gilt immer, dass die Ausgangsfigur und auch die Bildfigur ähnlich zueinander sind, also maßstabgetreu.

    Also werden

    • gleichseitige Dreiecke auf gleichseitige Dreiecke,
    • gleichschenklige Dreiecke auf gleichschenklige Dreiecke und
    • rechtwinklige Dreiecke auf rechtwinklige Dreiecke abgebildet.
    Das bedeutet insbesondere, dass Winkel sich bei einer zentrischen Streckung nicht ändern.

    Das bedeutet auch, dass

    • Strecken, die parallel zu einer der Koordinatenachsen parallel verlaufen, dies auch nach der Streckung tun.
    • Strecken, die in der Ausgangsfigur parallel zueinander sind, dies auch in der Bildfigur tun.
  • Fasse die zentrische Streckung im Koordinatensystem zusammen.

    Tipps

    Du kannst dir eine Streckung vorstellen wie ein Übertragen, zum Beispiel eines Hauses, auf ein Blatt Papier: Die Seitenverhältnisse stimmen überein.

    Kongruent bedeutet deckungsgleich: Zum Beispiel heißen zwei Dreiecke kongruent, wenn sie in den Längen ihrer drei Seiten überein stimmen.

    Hier siehst du eine Streckung mit dem Koordinatenursprung als Streckzentrum und dem Streckfaktor $k=2$.

    Lösung

    In diesem Bild ist eine Streckung mit dem Koordinatensystem als Streckzentrum und dem Streckfaktor $k=2$.

    Das Streckzentrum kann auch jeder beliebige Punkt im Koordinatensystem sein.

    An diesem Bild kannst du

    • zum einen erkennen, dass die Dreiecke $\Delta_{ABC}$ sowie $\Delta_{A'B'C'}$ ähnlich zueinander sind, jedoch nicht kongruent.
    • Zum anderen ist das Bilddreieck größer als das Ausgangsdreieck.
    Es gilt für den Streckfaktor $k$:

    • $k>1$ führt zu einer Streckung,
    • $0<k<1$ zu einer Stauchung und
    • $k<0$ zu einer Spiegelung am Streckzentrum.
    Eine zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung.

  • Ordne jeder der Streckungen den Streckfaktor zu.

    Tipps

    Mache dir jeweils das Streckzentrum klar.

    Wenn du jeweils einen Punkt mit seinem Bildpunkt verbindest, erhältst du Hilfslinien. Alle diese Linien treffen sich in einem Punkt, dem Streckzentrum.

    • Wenn eine Figur größer ist als die Ausgangsfigur, dann ist entweder $k>1$ oder $k<-1$.
    • Wenn eine Figur kleiner ist als die Ausgangsfigur, dann ist entweder $-1<k<0$ oder $0<k<1$.

    Wenn die Figur gespiegelt ist, ist der Streckfaktor negativ.

    Die Streckzentren sind (von rechts nach links)

    • $Z(0|2)$
    • $Z(1|0)$
    • $Z(1|2)$
    • $Z(0|0)$
    Lösung
    • Bei dem linken Bild ist das Streckzentrum $Z(0,2)$. An der geänderten Orientierung der Eckpunkte kann man erkennen, dass eine Spiegelung durchgeführt wurde: Die Figuren sind kongruent, also ist $k=-1$.
    • Bei dem zweiten Bild von links ist das Streckzentrum $Z(1|0)$. Die Bildfigur ist kleiner und liegt auf der gleichen Seite von $Z$, also ist $0<k<1$. An dem Punkt $A(1|2)$ und dem entsprechenden Bildpunkt $A'(1|1)$ ist erkennbar, dass $k=0,5$ ist.
    • Bei dem dritten Bild von links ist das Streckzentrum der Eckpunkt $A$, an welchem die Figur gespiegelt wurde. Hier ist $k=-0,5$.
    • In dem Bild ganz rechts ist das Streckzentrum der Koordinatenursprung. Es ist $A(1|2)$ und $A'(1,5|3)$, also ist $k=1,5$.
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