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Lineare Abbildungen durch Matrizen – Abbildungen im Raum 07:35 min

Textversion des Videos

Transkript Lineare Abbildungen durch Matrizen – Abbildungen im Raum

Hallo. Mein Name ist Frank. In diesem Video schaue ich mir mit dir gemeinsam lineare Abbildungen an und wie man diese mit Matrizen darstellen kann. Das Ganze mache ich am Beispiel im R3. Hier rechts siehst du nochmal die Definition einer linearen Abbildung. Eine Zuordnung klein f von Rn nach Rm, n und m sind beides natürlich Zahlen, heißt lineare Abbildung, wenn sie jedem Punkt P aus dem Rn einen Punkt P‘ aus dem Rm zuordnet und eine m kreuz n Matrix existiert, sodass gilt: Der Vektor x‘ ist gerade die Matrix A mal der Vektor x und dabei ist der Vektor x der Ortsvektor des Punktes P und der Vektor x‘ der Ortsvektor des Punktes P‘. Das ist jetzt allgemein erstmal die Definition einer linearen Abbildung. Und das Ganze schaue ich mir zuerst einmal an dem Beispiel der Spiegelung an der xz-Ebene im Dreidimensionalen an. Dafür siehst du hier schon mal ein Koordinatensystem und ich habe ein Dreieck vorbereitet mit den Eckpunkten R, S und T. Also R(3|4|2), S(1|1|3), T(2|5|3). Und was die Spiegelung an der x-z-Ebene bedeutet, siehst du exemplarisch mal an dem Punkt S, also erstmal geht da ein Pfeil in die x-z-Ebene und genau die Länge überträgt sich nochmal in die andere Richtung. Es entsteht also der Punkt S‘ und der Punkt S‘ ist gerade (1|-1|3). Und genauso ist der Punkt T‘ gerade (2|-5|3). Und der Punkt R‘ (3|-4|2). Du kannst also erkennen, dass jeder Spiegelpunkt in der x- und in der z-Koordinate mit dem Ausgangspunkt übereinstimmt. In der y-Koordinate ändert sich das Vorzeichen. Hier links siehst du dann auch resultierend das komplette gespiegelte Dreieck. Und wenn es eine lineare Abbildung sein soll, dann muss eine solche Matrix A existieren, sodass der Punkt, der abgebildete Punkt, also (x|-y|z), das wäre dann x‘, gerade diese Matrix mal den Ausgangspunkt (x|y|z) ist. Und wie wir ja schon gesehen haben ist diese Spiegelung an der x-z-Ebene dadurch gegeben, dass die x- und z-Koordinaten gleich bleiben. Bei der y-Koordinate ändert sich das Vorzeichen. Das heißt die erste Zeile der Matrix ist gerade eins null null. Wenn du eins null null mit xyz multiplizierst, siehst du es kommt x raus. Entsprechend ist die dritte Zeile der Matrix null null eins. Auch hier, wenn du null null eins mit xyz multiplizierst kommt z raus. Und auch die mittlere Zeile sieht so ähnlich aus, null eins null. Aber um das Minus reinzubekommen muss hier ein Minus stehen. Und das heißt, wenn du diese Matrix eins null null, null minus eins null, null null eins mit einem beliebigen Vektor des R3 multiplizierst, bekommst du gerade den Vektor mit vertauschten Vorzeichen der y-Koordinate heraus. Also sozusagen die Spiegelung an der x-z-Ebene, was du hier ja nochmal sehen kannst. Und das Ganze werde ich dir im Folgenden an einem weiteren Beispiel erklären. So. Nachdem ich dir schon gezeigt habe, wie du die Spiegelung an der x-z-Ebene in dieser Form schreiben kannst, also als eine lineare Abbildung, werde ich jetzt ein weiteres Beispiel anschauen, und zwar die Projektion auf die x-y-Ebene. Auch das habe ich hier wieder vorbereitet mit den Punkten R(2|3|5), S(4|5|4) und T(3|2|3). Du kannst mit diesem Bild exemplarisch sehen, was es bedeutet wenn du den Punkt T(3|2|3) auf die x-y-Ebene projizierst. Es kommt dann der Punkt T‘(3|2|0) raus. Das heißt, die x- und y-Koordinate bleibt erhalten, nur die z-Koordinate wird null. Und dasselbe passiert mit den Punkten R(2|3|5), das wird dann der Punkt R‘(2|3|0) und der Punkt T, den hatte ich schon, den Punkt S(4|5|4) wird dann der Punkt S‘(4|5|0). Du kannst also allgemein sehen, das x‘ ist dann dasselbe wie das Ausgangs-x, also xy, nur in der dritten Komponente steht eine Null. Und auch da wieder, damit es eine lineare Abbildung ist, müsste eine Matrix existieren, sodass sich dieses (x|y|0) als das Produkt dieser Matrix mit einem beliebigen Vektor (x|y|z) aus dem R3 schreiben lässt. Und wie vorhin schon im Beispiel steht natürlich hier die Zeile eins null null, denn eins null null mal (x|y|z) ist gerade x. Entsprechend steht hier null eins null, denn null eins null mal (x|y|z) ist gerade y. Und um die letzte Zeile hier eine Null zu bekommen, muss hier auch eine Nullzeile stehen. Null null null. Und durch diese Matrix kann du jeden beliebigen Vektor aus dem R3 zu einem Vektor machen, der in den ersten beiden Komponenten mit dem Vektor übereinstimmt, aber in der letzten Komponente die Null hat, also die Projektion auf die x-y-Ebene, wie du es hier im Bild noch einmal sehen kannst. Gut. Dann fasse ich noch einmal zusammen, was ich in diesem Video gemacht habe: Ich habe mir angeschaut, wie du im R3 lineare Abbildungen mit Matrizen darstellen kannst. Und zwar am Beispiel der Spiegelung an der x-z-Ebene. Das kannst du hier noch sehen mit dem Dreieck. Und der Projektion auf die x-y-Ebene, das kannst du hier noch sehen. Zunächst einmal habe ich erklärt, was eine lineare Abbildung ist, das ist eine Zuordnung und das Wesentliche ist, es muss eine solche Matrix A existieren, sodass sich dies Zuordnung so schreiben lässt: x‘ der Vektor ist gleich A mal der x Vektor. Und das habe ich an den beiden Beispielen gemacht, bei der Spiegelung an der x-z-Ebene war die Matrix a gerade eins null null, null minus eins null und null null eins. Und bei der Projektion auf die x-y-Ebene hatten wir gerade diese Matrix A hier, die du hier noch sehen kannst. Nun hoffe ich, dass du alles gut verstehen konntest und danke dir für deine Aufmerksamkeit. Wie immer freue ich mich über Fragen und Anregungen. Bis zum nächsten Mal, dein Frank.

3 Kommentare
  1. Wir wünschen dir viel Erfolg!

    Von Jeanne O., vor 12 Monaten
  2. Ich habe es immer noch nicht verstanden 😥😢 und wir schreiben morgen eine Klassenarbeit 😥😥😥😥

    Von B Schuhmacher, vor 12 Monaten
  3. gut !

    Von Krenar C., vor fast 4 Jahren

Lineare Abbildungen durch Matrizen – Abbildungen im Raum Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Abbildungen durch Matrizen – Abbildungen im Raum kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zu linearen Abbildungen.

    Tipps

    Sei $B(2|2|3)$ ein Punkt im $\mathbb{R}^3$, dann ist

    $\vec b=\vec{OB}=\begin{pmatrix} 2\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}$

    der zugehörige Ortsvektor.

    Die Spiegelung an der x-z-Ebene ist eine lineare Abbildung.

    Die zugehörige Matrix kannst du hier sehen.

    Lösung

    Was ist eine lineare Abbildung und wie hängt diese mit Matrizen zusammen?

    Eine Zuordnung

    $f:~\mathbb{R}^n~\rightarrow~\mathbb{R}^m;~(n,~m~\in\mathbb{N})$

    heißt lineare Abbildung, wenn sie jedem Punkt $P\in\mathbb{R}^n$ einen (Bild-)Punkt $P'\in\mathbb{R}^m$ zuordnet und eine $(m\times n)$-Matrix existiert, so dass $\vec{x'}=A\cdot \vec x$ gilt.

    Dabei ist $\vec x$ der Ortsvektor von $P$ und $\vec {x'}$ der Ortsvektor von $P'$.

  • Ermittle die Matrix $a$, welche die Spiegelung an der x-z-Ebene beschreibt.

    Tipps

    Wenn du eine Matrix mit einem Vektor multiplizierst, multiplizierst du jede Zeile der Matrix mit dem Vektor.

    Schaue dir hierfür das nebenstehende Beispiel an. Exemplarisch kannst du in der ersten Koordinate die Berechnung sehen. In der zweiten und dritten ist jeweils das Ergebnis angegeben.

    Schaue dir ein weiteres Beispiel für einen gespiegelten Punkt an.

    Noch nicht ganz klar, wie das mit der Multiplikation von Matrizen und Vektoren funktioniert? Dann schau mal hier:

    $\begin{pmatrix} 1&0&0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}$

    Du erhältst:

    $\begin{pmatrix} 1\cdot x+0\cdot y+0\cdot z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \end{pmatrix}$

    Lösung

    Um an der x-z-Ebene zu spiegeln, muss nur das Vorzeichen in der y-Koordinate vertauscht werden:

    $\vec x=\begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}~\rightarrow~\vec{x'}=\begin{pmatrix} x \\ -y\\ z \end{pmatrix}$

    Die erste und dritte Koordinate bleiben dabei gleich. Wir kennen die erste und dritte Zeile von $A$ also bereits:

    $A=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ & \\ 0&0&1 \end{pmatrix}$

    Nun fehlt nur noch die mittlere Zeile von $A$. Da bei der y-Koordinate das Vorzeichen vertauscht wird, muss dies auch in der mittleren Zeile so sein. Damit ist die Matrix $A$ wie folgt gegeben

    $A=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&-1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}$

  • Gib die Matrix $A$ an, welche die Projektion auf die x-y-Ebene beschreibt.

    Tipps

    Berechne jeweils das Produkt der Matrix mit dem Vektor $\vec x$ und prüfe, ob bei dem Ergebnisvektor die beiden ersten Koordinaten die gleichen wie bei $\vec x$ sind und die dritte $0$ ist.

    Diese Matrix beschreibt die Projektion auf die x-z-Ebene.

    Da die x- sowie y-Koordinate gleich bleiben, müssen die entsprechenden Zeilen der Matrix aus Nullen bestehen bis auf die der Koordinate entsprechende Stelle. Dort muss eine $1$ stehen.

    Lösung

    Die Projektion auf die x-y-Ebene ist allgemein gegeben durch

    $\vec x=\begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}~\rightarrow~\vec{x'}=\begin{pmatrix} x \\ y\\ 0 \end{pmatrix}$.

    Die erste und zweite Koordinate bleiben gleich

    $A=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ && \end{pmatrix}$

    und die dritte Koordinate wird $0$. Das bedeutet, dass die letzte Zeile der Matrix $A$ eine Nullzeile ist:

    $A=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}$

    Machen wir den Test:

    $\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot x + 0\cdot y + 0 \cdot z\\ 0 \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot z\\ 0 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y\\ 0 \end{pmatrix}$

    Perfekt! Alles richtig gemacht.

  • Ermittle die Matrix, welche die beschriebene lineare Abbildung darstellt.

    Tipps

    Beachte, dass die Korrdinaten auch vertauscht werden.

    Die y-Koordinate des Bildpunktes ist $0$. Das bedeutet, dass die zugehörige Zeile der Matrix eine Nullzeile sein muss.

    Prüfe deine Matrix, indem du diese mit dem Vektor

    $\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$

    multiplizierst.

    Lösung
    • Da die y-Koordinate des Bildpunktes $0$ ist, ist die zweite Zeile der Matrix $A$ eine Nullzeile.
    • Die x-Koordinate des Bildpunktes ist $-2y$. Die erste Zeile der Matrix lautet also $0~~-2~~0$.
    • Die z-Koordinate des Bildpunktes ist $3x$. Damit lautet die dritte Zeile der Matrix $A$ $3~~0~~0$.

    Gesamt ist die Matrix $A$ gegeben durch

    $A=\begin{pmatrix} 0&-2&0 \\ 0&0&0 \\ 3&0&0 \end{pmatrix}$

    Dies kann durch Multiplikation mit $\vec x$ noch überprüft werden:

    $\begin{pmatrix} 0&-2&0 \\ 0&0&0 \\ 3&0&0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2y\\0\\3x\end{pmatrix}$ $~~~~\surd$.

  • Bestimme die Matrix, welche die Projektion auf die y-z-Ebene beschreibt.

    Tipps

    Diese Matrix beschreibt eine Projektion auf die x-z-Ebene.

    Die zweite Zeile, durch welche du die y-Koordinate des Bildpunktes erhältst, ist eine Nullzeile.

    Da die y- sowie z-Koordinaten erhalten bleiben, muss an der dieser Koordinate entsprechenden Stelle eine $1$ stehen.

    In der gesuchten Matrix stehen bis auf zwei Stellen überall nur Nullen.

    Lösung

    Die Projektion auf die y-z-Ebene ist gegeben durch

    $\vec x=\begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}~\rightarrow~\vec{x'}=\begin{pmatrix} 0 \\ y\\ z\end{pmatrix}$.

    Da die x-Koordinate des Bildpunktes $0$ ist, muss die erste Zeile der Matrix $A$ eine Nullzeile sein. Die beiden übrigen Zeilen enthalten jeweils an der dieser Koordinate entsprechenden Stelle eine $1$. Damit ist die Matrix $A$ gegeben durch

    $A=\begin{pmatrix} 0&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}$

  • Untersuche, welche Abbildung durch das Multiplizieren zweier Matrizen beschrieben wird.

    Tipps

    Multipliziere die Matrix $A$ mit einem allgemeinen Vektor

    $\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$.

    Was fällt dir auf?

    Bei $B$ bleiben durch Multiplikation die y- sowie z-Koordinate erhalten. Bei der x-Koordinate wird das Vorzeichen vertauscht.

    Bei der Multiplikation mit $C$ bleibt die y-Koordinate erhalten. Bei der x- sowie z-Koordinate wird jeweils das Vorzeichen vertauscht.

    Lösung

    Welche lineare Abbildung wird durch die Matrix $A$ dargestellt?

    $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\-z\end{pmatrix}$

    Hier liegt also eine Spiegelung an der x-y-Ebene vor.

    Welche lineare Abbildung wird durch die Matrix $B$ dargestellt?

    $\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x\\y\\z\end{pmatrix}$

    Hier liegt eine Spiegelung an der y-z-Ebene vor.

    Welche lineare Abbildung wird durch die Matrix $C$ dargestellt?

    Wenn man die beiden Matrizen miteinander multipliziert, erhält man die Matrix $C$. Somit beschreibt diese Matrix eine Spiegelung sowohl an der x-y- als auch an der y-z-Ebene.

    $\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x\\y\\-z\end{pmatrix}$