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Orthogonale Affinität 09:18 min

Textversion des Videos

Transkript Orthogonale Affinität

Hallo! Mein Name ist Frank. In diesem Video werde ich die orthogonale Affinität behandeln. Und insbesondere, hier in diesem Beispiel, das ich jetzt hier machen werde, die orthogonale Affinität zur x-Achse. Und zwar die orthogonale Affinität ist als eine lineare Abbildung zu sehen. Dafür zeige ich Dir erstmal nochmal, was eine lineare Abbildung ist. Eine Zuordnung f von Rn nach Rm, n und m sind beide natürliche Zahlen, heißt eine lineare Abbildung, wenn sie jedem Punkt P aus dem Rn einen Bild-Punkt P’ aus dem Rm zuordnet und eine m x n Matrix A existiert, so dass gilt: x→ , der Vektor x→ ist gleich A * x. Dabei ist x der Ortsvektor zu dem Punkt P und x→ der Ortsvektor zu dem Bildpunkt P’. Also in unserem Beispiel der orthognonalen Affinität würde das heißen, dass die Abbildung von R² nach R² geht, also eine Ebene zur Ebene und ein Vektor (x y), so hier, auf einen Bildvektor (x y)’ abgebildet wird über eine 2 x 2-Matrix A. Die Eigenschaften einer orthognonalen Affinität zur x-Achse kannst Du hier sehen. Die x-Koordinate des Bildpunktes bleibt erhalten. Das heißt x’ ist gerade x selbst. Und die y-Koordinate des Bildpunktes y’ ergibt sich aus einem Vielfachen der y-Koordinate des Ausgangspunktes. Und das heißt, wenn ich jetzt die Matrix mal hier aufschreibe, ist die 2 x 2-Matrix A nichts anderes als die Matrix mit der ersten Zeile (1 0) und der zweiten Zeile (0 k). Und wenn Du hier jetzt einsetzt steht da (1 0) * (x y) ist x und (0 k) * (x y) ist k * y. Also hast Du genau diese beiden Eigenschaften einer orthogonalen Affinität zur x-Achse. Und ich werde Dir jetzt im Folgenden anhand von Beispielen zeigen, welche Auswirkungen dieser Faktor k auf eine geometrische Figur hat. So, nachdem ich Dir erklärt habe, was eine orthogonale Affinität ist und die im Zusammenhang mit einer linearen Abbildung durch die Matrix A = (1 0)(0 k), dabei betrachte ich die Orthogonalität zur x-Achse, also die orthogonale Affinität zur x-Achse, werde ich also im Folgenden schauen, welchen Einfluss der Faktor k auf meine Punkte, also in dem Fall jeweils drei Punkte hat. Ich mach das jetzt immer mit Dreiecken. Und hier hast Du schon mal eine Tabelle mit verschiedenen Beispielen für k. Die Punkte zu den Dreiecken sind hier. Und ich werde jetzt jedes Mal exemplarisch einen Bildpunkt angeben. Und hier links siehst Du schon mal die Verallgemeinerung für k. Also ich beginne jetzt mal mit k = 1. Das ist dann 1. Das heißt hier in der der Matrix A steht 1. Das heißt die Matrix A ist gerade die Einheitsmatrix. Und wenn Du Dir das Dreieck A (1;1), B (2;3) und C (1;3) anschaust und die Matrix A auf jeden dieser Punkte anwendest, ich mache das exemplarisch für den Punkt A, dann siehst Du, also Du siehst nichts, also keine Änderung, weil k = 1 die Identität ist. So, als nächstes schaue ich mir den Fall k = -1 an, mit dem gleichen Ausgangsdreieck, das siehst Du nochmal hier. Und auch da schreibe ich exemplarisch den Punkt A’ (1;-1). Das wäre der Bildpunkt zu A. Wenn Du das mit dem Punkt machst siehst Du, das ist das Dreieck und es wird einmal gespiegelt an der x-Achse. Das heißt k = -1 entspricht einer Spiegelung an der x-Achse. Wenn Du das Ganze zur y-Achse machen würdest, also die orthogonale Affinität, wäre das entsprechend eine Spiegelung zur y-Achse. Aber das mache ich hier ja nicht. Nun, komme ich zum nächsten Fall für k. Also allgemein wäre das 0 < k < 1. Ich habe das hier mal exemplarisch halb gemacht und die Punkte des Dreiecks wären jetzt, also des neuen Dreiecks A (1;3), B (3;3), C (2;4) und das Dreieck kannst Du da sehen. Wieder exemplarisch den Punkt, den Bildpunkt A’ wäre 1, also die x-Koordinate bleibt erhalten und y wird mit 1/2 multipliziert, also (1;1,5). Und auch da, wenn Du das mit jedem Punkt machst, würde das also heißen, Du nimmst dieses Dreieck her und es wird, dadurch, dass es mit 1/2 multipliziert wird, einmal ein bisschen verschoben und auch ein klein wenig zusammengedrückt und das ist eine Stauchung des Dreiecks. Und wenn wir das Ganze mit dem Minus machen, also -1 < k < 0 exemplarisch -1/2, siehst Du das gleiche Ausgangsdreieck, dann hätten wir also in dem Bildpunkt A’ (1;-1,5). Und Du siehst auch wieder das Dreieck wird gestaucht und dann nochmal gespiegelt. Also entspricht das einer Stauchung und zusätzlich noch einer Spiegelung. Auch diese Spiegelung wieder an der x-Achse. Und es bleiben mir noch zwei Fälle. Einmal k > 1, das mache ich wieder exemplarisch für k, also in dem Fall k = 2. Und dieses Dreieck kannst Du jetzt hier sehen. A (1;1), B (3;3), C (1;2). Auch da wieder exemplarisch den Bildpunkt zu A. Die x-Koordinate bleibt erhalten. Die y-Korodinate wird mit 2 multipliziert. Also wäre A’ (1;2). Du siehst hier wird das Dreieck auseinandergezogen. Also ganz allgemein k > 1 entspricht einer Streckung. Und zu guter letzt noch den Fall k < -1. Also hier im Fall -2. Wieder das gleiche Ausgangsdreieck. Ich schau mir wieder einen Bildpunkt an, also A’. Die x-Koordinate bleibt erhalten. Die y-Koordinate wird mit -2 multipliziert. Auch da wird das Dreieck gestreckt und noch dazu gespiegelt. Wir erhalten also eine Streckung und wieder eine Spiegelung. Auch diese Spiegelung wieder an der x-Achse. Gut, dann fasse ich nochmal kurz zusammen, was ich in diesem Video gemacht habe: Ich habe Dir gezeigt, was eine orthogonale Affinität ist und im kompletten Beispiel zur x-Achse und habe erstmal erklärt, dass eine orthogonale Affinität eine lineare Abbildung ist. Die Matrix, die wir dafür brauchen ist (1 0)(0 k), weil bei einer orthogonalen Affinität zur x-Achse die x-Koordinate gleich bleibt und die y-Koordinate mit dem Faktor k multipliziert wird. Und da habe ich an den verschiedenen Beispielen für k gezeigt, welche Bedeutung dieser Faktor k hat und du kannst in diesem Fall hier noch sehen, dass eine zu der x-Achse parallele Strecke eines Dreiecks auch im Bilddreieck parallel bleibt. Und du kannst hier sehen, dass eine zur x-Achse senkrechte Strecke des Dreiecks immer noch senkrecht bleibt, auch beim Bilddreieck. Gut, nun hoffe ich, dass Du alles gut verstehen konntest und danke Dir für Deine Aufmerksamkeit. Immer freue ich mich über Fragen und Anregungen. Bis zum nächsten Mal. Dein Frank.

Orthogonale Affinität Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Orthogonale Affinität kannst du es wiederholen und üben.

  • Definiere, was eine lineare Abbildung ist.

    Tipps

    Die Spiegelung an der y-Achse ist eine lineare Abbildung.

    Sei $P(3|3)$, dann ist $P'(-3|3)$ der an der y-Achse gespiegelte Bildpunkt $P'$.

    Diese Spiegelung kann auch so geschrieben werden:

    $\begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0& 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}$

    Dies ist eine $(2\times 2)$-Matrix: Sie hat zwei Zeilen und zwei Spalten.

    Lösung

    Wie lässt sich eine linearen Abbildung definieren?

    Eine Zuordnung $f$, die den Raum $\mathbb{R}^n$ auf den Raum $\mathbb{R}^m$ abbildet, also

    $f:~\mathbb{R}^n~\rightarrow~\mathbb{R}^m$,

    wird als lineare Abbildung bezeichnet, wenn sie jedem Punkt $P$ in $\mathbb{R}^n$ einen Bildpunkt $P'$ in $\mathbb{R}^m$ zuordnet. Diese Zuordnung kann auch wie folgt beschrieben werden: Es existiert eine $(m\times n)$-Matrix $A$, so dass gilt

    $\vec{x'}=A\cdot \vec x$.

    Dabei ist

    • $\vec{x'}$ der Ortsvektor von $P'$ und
    • $\vec x$ der Ortsvektor von $P$.
  • Gib die $(2 \times 2)$-Matrix an, die zu der orthogonalen Affinität gehört.

    Tipps

    Die Einheitsmatrix ist ein Spezialfall einer orthogonalen Affinität.

    Durch diese Matrix wird eine Spiegelung an der x-Achse beschrieben. Auch dies ist eine orthogonale Affinität zur x-Achse.

    Berechne das Produkt der Matrix mit dem Vektor. Du musst dann

    • $x'=x$ und
    • $y'=k\cdot y$
    erhalten.

    Lösung

    Sei $P(x|y)$ ein beliebiger Punkt und $P'(x'|y')=P'(x|k\cdot y)$ dessen Bildpunkt. Dann kann dieser wie folgt als Produkt einer Matrix mit einem Vektor aufgeschrieben werden:

    $\begin{align} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ k\cdot y \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 1\cdot x+0\cdot y \\ 0\cdot x+k\cdot y \end{pmatrix}\\ & =\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& k \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align}$

    Das bedeutet, dass die Matrix

    $A=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& k \end{pmatrix}$

    die orthogonale Affinität zur x-Achse beschreibt.

  • Beschreibe die Bedeutung des Affinitätsfaktors $k$.

    Tipps

    Mache dir jede der Abbildungen an einem Beispiel klar.

    Verwende hierfür zum Beispiel drei Punkte, die ein Dreieck bilden.

    Bei der orthogonalen Affinität zur x-Achse bleibt die $x$-Koordinate erhalten. Die $y$-Koordinate wird mit dem Faktor $k$ multipliziert: $y'=k \cdot y$

    Durch diese Matrix wird jeder Punkt $P(x|y)$ auf den Bildpunkt $P'(x'|y')=P'(x|-y)$ abgebildet.

    Zeichne dir einige Punkte in ein Koordinatensystem.

    Lösung

    Wir wollen die Affinitätsfaktor $k$ etwas besser kennenlernen.

    $k=1$: Dies führt zu der sogenannten Einheitsmatrix:

    $A=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0&1 \end{pmatrix}$

    Wenn man diese mit einem beliebigen Vektor multipliziert, bleibt dieser Vektor erhalten. Diese Abbildung nennt man Identität.

    $k=-1$: Die $x$-Koordinate bleibt gleich und bei der $y$-Koordinate wird das Vorzeichen vertauscht. Dies ist eine Spiegelung an der x-Achse.

    $k>1$: Schauen wir uns das Beispiel $k=3$ an. In der Abbildung kannst du zu verschiedenen Punkten die Bildpunkte erkennen:

    • $P(2|2)~\rightarrow~P'(2|6)$
    • $Q(3|1)~\rightarrow~Q'(3|3)$
    • $R(5|2)~\rightarrow~R'(5|6)$
    Es handelt sich um eine Streckung.

    $0<k<1$: Dies entspricht einer Stauchung.

    Was passiert, wenn $k$ zusätzlich negativ wird? Es findet außerdem eine Spiegelung an der x-Achse statt:

    $k<-1$ entspricht einer Streckung und Spiegelung an der x-Achse.

    $-1<k<0$ entspricht einer Stauchung und Spiegelung an der x-Achse.

  • Untersuche die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Zeichne die Strecken parallel zu den Koordinatenachsen in ein Koordinatensystem und multipliziere die Endpunkte mit den entsprechenden Matrizen.

    Trage dann auch die Bildpunkte in das gleiche Koordinatensystem ein und verbinde die Bildpunkte.

    Hier siehst du die Matrix $A_x$ für $k=0$.

    Mache dir an Beispielen in einem Koordinatensystem klar, was die Abbildung

    $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}~\rightarrow~\begin{pmatrix} x\\0 \end{pmatrix}$

    bedeutet.

    Lösung

    Bei der orthogonalen Affinität zur x-Achse bleiben Strecken, welche parallel zur x-Achse sind, auch parallel zur x-Achse und gleich lang. Dies ist in der Abbildung für $k=3$, also

    $A_x=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&3 \end{pmatrix}$

    zu sehen:

    • $P(2|2)~\rightarrow~P'(2|6)$
    • $Q(5|2)~\rightarrow~Q'(5|6)$
    Beide Strecken $\overline{PQ}$ (grün) sowie deren Bildstrecke $\overline{P'Q'}$ (rot) sind parallel zur x-Achse.

    Ebenso bleiben zur y-Achse parallele Strecken bei der orthogonalen Affinität zur y-Achse parallel zur y-Achse und gleich lang.

    Interessanter wird es bei der orthogonalen Affinität zur x-Achse (y-Achse), wenn die Strecke parallel zur y-Achse (x-Achse) ist. In diesen beiden Fällen sind die Strecken zwar nach wie vor parallel aber nicht mehr gleich lang.

    Was passiert eigentlich, wenn der Faktor $k$ in der orthogonalen Affinität $0$ ist?

    $A_x=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{pmatrix}$

    Dann ist

    $A_\cdot \vec x=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ 0 \end{pmatrix}$

    Dies ist eine orthogonale Projektion auf die x-Achse.

    Ebenso ist durch

    $A_y=\begin{pmatrix} 0&0\\ 0&1 \end{pmatrix}$

    eine orthogonale Projektion auf die y-Achse gegeben.

  • Bestimme die zur orthogonalen Affinität zur y-Achse gehörende Matrix.

    Tipps

    Beachte, dass bei der orthogonalen Affinität zur y-Achse die $y$-Koordinate erhalten bleibt.

    Zwei Koordinaten der Matrix sind gleich $0$. In dieser Hinsicht ähneln sich die beiden Matrizen.

    Hier siehst du den Ansatz, wie du die Matrix bestimmen kannst.

    Lösung

    Bei der orthogonalen Affinität zur y-Achse wird die $x$-Koordinate mit dem Faktor $k$ multipliziert. Die $y$-Koordinate ändert sich nicht.

    Sei also $P(x|y)$ ein beliebiger Punkt und $P'(x'|y')=P'(k\cdot x|y)$ dessen Bildpunkt, dann gilt

    $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k\cdot x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k\cdot x+0\cdot y \\ 0\cdot x+1\cdot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k &0 \\ 0& 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

    Somit ist die Matrix

    $A=\begin{pmatrix} k &0 \\ 0& 1 \end{pmatrix}$

    die Matrix ist, welche die orthogonale Affinität zur y-Achse beschreibt.

  • Untersuche, welche Art von Abbildung vorliegt.

    Tipps

    Durch diese Matrix wird eine orthogonale Affinität zur x-Achse beschrieben.

    Wenn die Positionen von $1$ und $k$ vertauscht sind, handelt es sich um eine orthogonale Affinität zur y-Achse.

    Bei positiven $k$ wird entweder gestreckt oder gestaucht, bei negativen $k$ wird zusätzlich noch gespiegelt.

    Für $|k|>1$ wird gestreckt und für $0<|k|<1$ wird gestaucht.

    Lösung

    Die Matrix $\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0&k \end{pmatrix}$ beschreibt eine orthogonale Affinität zur x-Achse, und somit im Falle eines negativen $k$ eine Spiegelung an der x-Achse:

    • $k=-2$ ist eine Streckung und zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse.
    • $k=-1$ ist eine Spiegelung an der x-Achse.
    • $k=-0,3$ ist eine Stauchung und zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse.
    Die Matrix $\begin{pmatrix} k &0 \\ 0&1 \end{pmatrix}$ beschreibt eine orthogonale Affinität zur y-Achse, und somit im Falle eines negativen $k$ eine Spiegelung an der y-Achse:

    • $k=0,5$ ist eine Stauchung.
    • $k=-1$ ist eine Spiegelung an der y-Achse.
    • $k=-1,5$ ist eine Streckung und zusätzlich eine Spiegelung an der y-Achse.