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Parallelverschiebung von Polynomen im Koordinatensystem 09:15 min

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Transkript Parallelverschiebung von Polynomen im Koordinatensystem

In diesem Video behandele ich mit dir die Parallelverschiebung von Polynomen. Und dafür habe ich dir ein Polynom vorbereitet.Das kannst du hier, links im Koordinatensystem sehen. Und ich mache dir an einem Beispiel die Verschiebung klar, und insbesondere schaue ich mir dabei charakteristische Punkte an. Das wären hier z.B. die Nullstellen bei -2, 0 und 1.Und dann hat die Funktion einen Hochpunkt, einen Tiefpunkt und einen Wendepunkt. Und ich beginne mit einer Parallelverschiebung entlang der y-Achse. Das würde heißen, jeden einzelnen der Punkte verschiebe ich entlang der y-Achse nach unten. Und wenn ich jetzt durch diese Punkte meinen neuen Funktionsgraphen zeichne, würde es eigentlich heißen, ich nehme den Funktionsgraphen und schiebe ihn komplett nach unten. Und habe dann diesen neuen Verlauf, nach Parallelverschiebung entlang der y-Achse.Und nun schaue ich was passiert, wenn ich das Ganze entlang der x-Achse verschiebe. Auch da wieder, ich verschiebe jeden einzelnen der Punkte. Hochpunkt, Wendepunkt und Tiefpunkt habe ich mir hier einmal markiert. In dem Fall um eine Längeneinheit nach rechts. Das heißt ich bekomme neue Lagen von diesen Punkten. Und auch hier würde es wieder heißen, ich nehme meinen Funktionsgraphen und verschiebe ihn um eine Längeneinheit nach rechts, und erhalte damit diesen neuen Verlauf.Ich habe das hier nochmals aufgeschrieben, eine Parallelverschiebung entlang der y-Achse heißt, ich addiere auf den Funktionswert ein b. Und wie ich am Anfang gesagt habe, wenn dieses b positiv wäre dann würde es eine Verschiebung nach oben entsprechen. Wenn es negativ wäre gäbe es eine Verschiebung nach unten.Die Verschiebung entlang der x-Achse sieht ein klein wenig anders aus, also hier steht nicht Plus und das Ganze wird auch nicht auf den Funktionswert addiert, sondern bezieht sich auf das x als Argument. Und dann steht da f(x - a) und auch da wenn a positiv ist, wird es nach rechts verschoben und bei negativ nach links.Insgesamt erhalten wir also eine Parallelverschiebung. In dem Anfangsbeispiel, das ich dir gezeigt habe, würde das heißen, ich habe eine kubische Funktion f und die wurde um 2 nach unten verschoben. Das heißt, es steht - 2 hier und eins nach rechts. g(x) = f(x - 1) - 2.Im Folgendem werde ich dir anhand eines Beispiels einer quadratischen Funktion zeigen, wie dieser Funktionsterm sich verändert und auch diese Verschiebung nochmal klar machen.So, nun schaue ich mir ein Beispiel an einer quadratischen Funktion, f(x) = x² - 2x - 3. Den Verlauf der Funktion kannst du hier links, im Koordinatensystem schon mal sehen.Und ich habe hier schon mal aufgeschrieben, diese Funktion hat eine erste Nullstelle bei (-1, 0); die zweite Nullstelle bei (3, 0) und einen Tiefpunkt bei (1, -4). Und ich schaue mir jetzt an, also die Parallelverstellung g(x) = f(x-(-2)) + 1. das heißt es entspricht einer Verschiebung entlang der y Achse um eine Einheit nach oben und entlang der x Achse um 2 Einheiten nach links.Das kannst du jetzt hier links im Bild nun auch schon sehen. Und ich rechne jetzt einmal aus, welche Auswirkung diese Parallelverschiebung hier nun hat.Also g(x) = (x + 2)² - 2 (x + 2) - 3 + 1 jetzt rechne ich hier mit der binomischen Formel aus = x² + 4x + 4 - 2x - 4 - 3 + 1 und wenn ich das noch weiter vereinfache steht hier = x² + 2x -2Und wenn ich mir jetzt die einzelnen Punkte anschaue, also N1 war ja (-1, 0) wird ja verschoben, um 2 Einheiten nach links und um eine Einheit nach oben also wird daraus N1’ (-3, 1) Wichtig ist hierbei noch zu beachten, dass hier N1 steht. Genauso ist es bei N2, wird zum Punkt (1, 1), auch hier ist das keine Nullstelle mehr.Und der Tiefpunkt TP wird zu TP’ (-1, -3) verschoben. Das ist tatsächlich noch ein Tiefpunkt.Dann fassen wir nochmal zusammen, was du in diesem Video gelernt hast.Ich habe dir gezeigt, was eine Parallelverschiebung eines Polynoms ist. Ich habe begonnen mit einer kubischen Funktion, ohne die Funktionsgleichung jetzt anzugeben. Und dann an einem Beispiel mit einer Funktionsrechnung gemacht. Man kann entlang der y Achse verschieben, das heißt auf den Funktionswert wird etwas darauf addiert oder abgezogen, dann wird nach oben oder unten geschoben. Entlang der x Achse, wie im Argument, von x was abgezogen, was Positives heißt nach rechts, und etwas Negatives nach links. Hoffentlich konntest du alles gut verstehen und danke für deine Aufmerksamkeit.

2 Kommentare
  1. Default

    Hallo Tamboga.

    Schön, dass dir mein Video gefällt.

    Ganz rechts siehst du ... f(x-a) ... das bedeutet, dass bei positivem a, zum Beispiel a=2 hier f(x-2) steht. Dies entspricht einer Verschiebung nach rechts, also in positiver x-Achsenrichtung. Wenn a negativ ist, zum Beispiel a=-2 steht dort f(x+2). Dies entspricht einer Verschiebung in negativer x-Achsenrichtung.

    Da hast du dann wieder das, was dein Lehrer wohl meinte. Schaue dir doch bitte das Ganze nochmal an. Wenn noch Fragen bleiben, frage gerne nochmal nach.

    Viel Spaß beim Üben.

    Von Frank Steiger, vor fast 2 Jahren
  2. Default

    Super erklärt! Ich habe aber eine Frage: du hast ja gesagt, dass wenn man auf der x Achse nach rechts verschiebt die Variable positiv sein muss. So hab ich das auch in den Hausaufgaben gemacht und dan hat mein Lehrer gesagt , dass sei falsch und ich müsste wenn ich nach rechts verschiebe eine negative Zahl nehmen. Kann mir einer helfen? Danke!

    Von Tamboga, vor fast 2 Jahren