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Parallelverschiebung von Polynomen im Koordinatensystem 09:15 min

Textversion des Videos

Transkript Parallelverschiebung von Polynomen im Koordinatensystem

In diesem Video behandele ich mit dir die Parallelverschiebung von Polynomen. Und dafür habe ich dir ein Polynom vorbereitet.Das kannst du hier, links im Koordinatensystem sehen. Und ich mache dir an einem Beispiel die Verschiebung klar, und insbesondere schaue ich mir dabei charakteristische Punkte an. Das wären hier z.B. die Nullstellen bei -2, 0 und 1.Und dann hat die Funktion einen Hochpunkt, einen Tiefpunkt und einen Wendepunkt. Und ich beginne mit einer Parallelverschiebung entlang der y-Achse. Das würde heißen, jeden einzelnen der Punkte verschiebe ich entlang der y-Achse nach unten. Und wenn ich jetzt durch diese Punkte meinen neuen Funktionsgraphen zeichne, würde es eigentlich heißen, ich nehme den Funktionsgraphen und schiebe ihn komplett nach unten. Und habe dann diesen neuen Verlauf, nach Parallelverschiebung entlang der y-Achse.Und nun schaue ich was passiert, wenn ich das Ganze entlang der x-Achse verschiebe. Auch da wieder, ich verschiebe jeden einzelnen der Punkte. Hochpunkt, Wendepunkt und Tiefpunkt habe ich mir hier einmal markiert. In dem Fall um eine Längeneinheit nach rechts. Das heißt ich bekomme neue Lagen von diesen Punkten. Und auch hier würde es wieder heißen, ich nehme meinen Funktionsgraphen und verschiebe ihn um eine Längeneinheit nach rechts, und erhalte damit diesen neuen Verlauf.Ich habe das hier nochmals aufgeschrieben, eine Parallelverschiebung entlang der y-Achse heißt, ich addiere auf den Funktionswert ein b. Und wie ich am Anfang gesagt habe, wenn dieses b positiv wäre dann würde es eine Verschiebung nach oben entsprechen. Wenn es negativ wäre gäbe es eine Verschiebung nach unten.Die Verschiebung entlang der x-Achse sieht ein klein wenig anders aus, also hier steht nicht Plus und das Ganze wird auch nicht auf den Funktionswert addiert, sondern bezieht sich auf das x als Argument. Und dann steht da f(x - a) und auch da wenn a positiv ist, wird es nach rechts verschoben und bei negativ nach links.Insgesamt erhalten wir also eine Parallelverschiebung. In dem Anfangsbeispiel, das ich dir gezeigt habe, würde das heißen, ich habe eine kubische Funktion f und die wurde um 2 nach unten verschoben. Das heißt, es steht - 2 hier und eins nach rechts. g(x) = f(x - 1) - 2.Im Folgendem werde ich dir anhand eines Beispiels einer quadratischen Funktion zeigen, wie dieser Funktionsterm sich verändert und auch diese Verschiebung nochmal klar machen.So, nun schaue ich mir ein Beispiel an einer quadratischen Funktion, f(x) = x² - 2x - 3. Den Verlauf der Funktion kannst du hier links, im Koordinatensystem schon mal sehen.Und ich habe hier schon mal aufgeschrieben, diese Funktion hat eine erste Nullstelle bei (-1, 0); die zweite Nullstelle bei (3, 0) und einen Tiefpunkt bei (1, -4). Und ich schaue mir jetzt an, also die Parallelverstellung g(x) = f(x-(-2)) + 1. das heißt es entspricht einer Verschiebung entlang der y Achse um eine Einheit nach oben und entlang der x Achse um 2 Einheiten nach links.Das kannst du jetzt hier links im Bild nun auch schon sehen. Und ich rechne jetzt einmal aus, welche Auswirkung diese Parallelverschiebung hier nun hat.Also g(x) = (x + 2)² - 2 (x + 2) - 3 + 1 jetzt rechne ich hier mit der binomischen Formel aus = x² + 4x + 4 - 2x - 4 - 3 + 1 und wenn ich das noch weiter vereinfache steht hier = x² + 2x -2Und wenn ich mir jetzt die einzelnen Punkte anschaue, also N1 war ja (-1, 0) wird ja verschoben, um 2 Einheiten nach links und um eine Einheit nach oben also wird daraus N1’ (-3, 1) Wichtig ist hierbei noch zu beachten, dass hier N1 steht. Genauso ist es bei N2, wird zum Punkt (1, 1), auch hier ist das keine Nullstelle mehr.Und der Tiefpunkt TP wird zu TP’ (-1, -3) verschoben. Das ist tatsächlich noch ein Tiefpunkt.Dann fassen wir nochmal zusammen, was du in diesem Video gelernt hast.Ich habe dir gezeigt, was eine Parallelverschiebung eines Polynoms ist. Ich habe begonnen mit einer kubischen Funktion, ohne die Funktionsgleichung jetzt anzugeben. Und dann an einem Beispiel mit einer Funktionsrechnung gemacht. Man kann entlang der y Achse verschieben, das heißt auf den Funktionswert wird etwas darauf addiert oder abgezogen, dann wird nach oben oder unten geschoben. Entlang der x Achse, wie im Argument, von x was abgezogen, was Positives heißt nach rechts, und etwas Negatives nach links. Hoffentlich konntest du alles gut verstehen und danke für deine Aufmerksamkeit.

2 Kommentare
  1. Hallo Tamboga.

    Schön, dass dir mein Video gefällt.

    Ganz rechts siehst du ... f(x-a) ... das bedeutet, dass bei positivem a, zum Beispiel a=2 hier f(x-2) steht. Dies entspricht einer Verschiebung nach rechts, also in positiver x-Achsenrichtung. Wenn a negativ ist, zum Beispiel a=-2 steht dort f(x+2). Dies entspricht einer Verschiebung in negativer x-Achsenrichtung.

    Da hast du dann wieder das, was dein Lehrer wohl meinte. Schaue dir doch bitte das Ganze nochmal an. Wenn noch Fragen bleiben, frage gerne nochmal nach.

    Viel Spaß beim Üben.

    Von Frank Steiger, vor etwa 3 Jahren
  2. Super erklärt! Ich habe aber eine Frage: du hast ja gesagt, dass wenn man auf der x Achse nach rechts verschiebt die Variable positiv sein muss. So hab ich das auch in den Hausaufgaben gemacht und dan hat mein Lehrer gesagt , dass sei falsch und ich müsste wenn ich nach rechts verschiebe eine negative Zahl nehmen. Kann mir einer helfen? Danke!

    Von Tamboga, vor etwa 3 Jahren

Parallelverschiebung von Polynomen im Koordinatensystem Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Parallelverschiebung von Polynomen im Koordinatensystem kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie man sich die Verschiebung eines Funktionsgraphen an einzelnen Punkten klarmachen kann.

    Tipps

    Mache dir die Parallelverschiebung für jeden einzelnen Punkt klar.

    Du kannst dir die Parallelverschiebung eines Funktionsgraphen auch so klarmachen: Du markierst den Funktionsgraphen und ziehst ihn komplett nach unten.

    Dabei wird der Funktionsgraph nicht gestreckt oder gestaucht und auch nicht gespiegelt.

    Hier siehst du den (durchgängig gezeichneten) Funktionsgraphen nach der Verschiebung.

    Lösung

    Hier ist die Verschiebung zu sehen. Man kann sich diese Verschiebung an den Nullstellen, den Hoch- und Tiefpunkten sowie den Wendepunkten klarmachen. Jeder dieser Punkte wird um $2$ Einheiten nach unten verschoben.

    Dabei bleiben Tiefpunkte und Hochpunkte als solche erhalten, ebenso Wendepunkte. Diese werden nur verschoben.

    Die Nullpunkte werden auch verschoben, nur sind sie dann keine Nullpunkte mehr, da sie ja nach unten verschoben worden sind und also nicht mehr auf der x-Achse liegen.

  • Gib die zugehörige Verschiebung mit Hilfe des Funktionsterms an.

    Tipps

    Allgemein gilt für Verschiebungen entlang der y-Achse:

    Wird ein Funktionsgraph um $b$ Einheiten verschoben, so wird $b$ zu dem Funktionswert addiert: $f(x)+b$.

    Wird entlang der x-Achse um $a$ Einheiten verschoben, führt dies zu $f(x-a)$.

    Nimm dir irgendeinen Punkt her und mache dir die Verschiebungen an diesem Punkt klar.

    Lösung

    Wird ein Funktionsgraph um $b$ Einheiten entlang der y-Achse verschoben, so wird $b$ zu dem Funktionswert addiert: $f(x)+b$.

    Bei der Verschiebung entlang der x-Achse muss man ein wenig vorsichtig sein: Eine Verschiebung um $a$ Einheiten führt zu:

    $f(x-a)$

    Dies kann man sich an dem obigen Beispiel klarmachen:

    • Es wird um $-2$ Einheiten, also nach unten, geschoben: Dies führt zu $f(x)-2$.
    • Dann wird um $1$ Einheit entlang der x-Achse verschoben, also nach rechts: Dies führt zu $f(x-1)$.
    Insgesamt lautet die Funktionsgleichung zu dem blauen Funktionsgraphen

    $g(x)=f(x-1)-2$.

  • Schildere die Verschiebung der Parabel.

    Tipps

    Allgemein gilt für Verschiebungen entlang der y-Achse:

    Wird ein Funktionsgraph um $b$ Einheiten verschoben, so wird $b$ zu dem Funktionswert addiert: $f(x)+b$.

    Wird entlang der x-Achse um $a$ Einheiten verschoben, führt dies zu $f(x-a)$.

    Zum Beispiel kommt in der Funktion $g(x)$ der Term $(x+2)^2$ vor.

    Dieser kann mit der ersten binomischen Formel ausmultipliziert werden

    $(x+2)^2=x^2+4x+4$.

    Lösung

    Der Graph der Ausgangsparabel wird zweimal verschoben:

    • um $1$ Einheit nach oben: $f(x)+1$.
    • und dann um $2$ Einheiten nach links: $f(x+2)+1$.
    Also ist $g(x)=f(x+2)+1$ die Funktionsgleichung zu der roten Parabel.

    Nun kann die Definition der Funktion $f(x)=x^2-2x-3$ verwendet werden.

    $g(x)=(x+2)^2-2(x+2)-3+1$.

    Die Klammern werden aufgelöst:

    $g(x)=x^2+4x+4-2x-4-4$

    Zuletzt werden die gleichartigen Terme zusammengefasst:

    $g(x)=x^2+2x-2$

  • Untersuche, wie die Parabel verschoben worden ist.

    Tipps

    Der Scheitelpunkt der Normalparabel $f(x)=x^2$ ist $S(0|0)$.

    Die x-Koordinate des Scheitelpunktes von $g(x)$ ist

    $x=-\frac b2$.

    Du erhältst die y-Koordinate des Scheitelpunktes, indem du die x-Koordinate in der Funktionsgleichung einsetzt.

    Die Verschiebung kannst du an Hand der Scheitelpunkte nachvollziehen.

    Lösung

    Der Scheitelpunkt der Normalparabel $f(x)=x^2$ ist $S(0|0)$.

    Der Scheitelpunkt der Funktion $g(x)=x^2+bx+c$ lässt sich mit Hilfe einer quadratischen Ergänzung ermitteln:

    $g(x)=x^2+bx+\left(\frac b2\right)^2-\left(\frac b2\right)^2+c$.

    Die ersten drei Terme können mit Hilfe einer binomischen Formel zusammengefasst werden zu

    $g(x)=\left(x+\frac b2\right)^2-\left(\frac b2\right)^2+c$.

    Daraus kann der Scheitelpunkt abgelesen werden:

    $S\left(-\frac b2\big\vert -\left(\frac b2\right)^2+c\right)$.

    Das bedeutet, dass der Graph der Normalparabel

    • um $-\left(\frac b2\right)^2+c=\frac{4c-b^2}{4}$ Einheiten entlang der y-Achse und dann
    • um $-\frac b2$ Einheiten entlang der x-Achse verschoben wird.
    Falls $-\left(\frac b2\right)^2+c>0$ ist, wird nach oben, ansonsten nach unten verschoben.

    Falls $-\frac b2>0$ ist, wird nach recht verschoben, ansonsten nach links.

  • Bestimme jeweils die Funktionsgleichung der verschobenen Normalparabel.

    Tipps

    Bei Verschiebungen entlang der y-Achse wird etwas zu dem Funktionswert addiert (oder von diesem subtrahiert).

    Bei Verschiebungen entlang der x-Achse wird etwas zu dem Argument addiert (oder von diesem subtrahiert).

    Zum Beispiel führt eine Verschiebung um $1$ Einheit nach rechts zu $(x-1)^2=x^2-2x+1$.

    Lösung

    Die folgenden Parallelverschiebungen werden hier betrachtet:

    ... entlang der y-Achse

    Hier kann man unterscheiden, ob $b$ positiv oder negativ ist:

    • Wenn $b>0$ ist, bedeutet $f(x)+b$, dass um $b$ Einheiten nach oben verschoben wird. Zum Beispiel ist die Parabel zu $f(x)=x^2+3$ eine um $3$ Einheiten nach oben verschobene Parabel.
    • Wenn $b<0$ ist, bedeutet $f(x)+b$, dass um $b$ Einheiten nach unten verschoben wird. Dies kann man sich am Beispiel $f(x)=x^2-2$ klarmachen. Die Parabel wird um $2$ Einheiten nach unten verschoben.
    Es wird also zu dem Funktionswert addiert oder von diesem subtrahiert.

    ... entlang der x-Achse

    Auch hier wird unterschieden, ob der Term, um welchen verschoben wird, positiv oder negativ ist:

    • Wenn $a>0$ ist, bedeutet $f(x+a)$, dass um $a$ Einheiten nach links verschoben wird. Dies sieht man zum Beispiel bei $f(x)=(x+1)^2$. Die zugehörige Parabel ist um $1$ Einheit nach links verschoben.
    • Ist $a<0$, führt $f(x+a)$ zu einer Verschiebung nach rechts: $f(x)=(x-1)^2$ ist eine um $1$ Einheit nach rechts verschobene Normalparabel.
    Dieses Mal wird $a$ zu dem Argument addiert oder von diesem subtrahiert.

    Damit gehört

    • die rote Parabel zu $g(x)=x^2+1$,
    • die orange Parabel zu $g(x)=x^2-3$,
    • die blaue Parabel zu $g(x)=(x-3)^2=x^2-6x+9$ und
    • die violette Parabel zu $g(x)=(x+2)^2=x^2+4x+4$.
  • Leite die Funktionsgleichung sowie den Scheitelpunkt der verschobenen Parabel her.

    Tipps

    Du kannst den Scheitelpunkt der grünen Parabel ablesen $S(-2|-2)$.

    Auch dieser wird um $2$ Einheiten nach unten und $4$ nach rechts verschoben.

    Bei Verschiebungen entlang der y-Achse wird zu dem Funktionswert addiert oder von diesem subtrahiert.

    Bei Verschiebungen entlang der x-Achse wird zu dem Argument addiert oder von diesem subtrahiert.

    Du kannst die Funktionsgleichung mit dem verschobenen Scheitelpunkt und der Scheitelpunktform

    $f(x)=(x-x_S)^2+y_S$

    überprüfen.

    Lösung

    Der Graph der grünen Parabel wird zweimal verschoben:

    • um $2$ Einheiten nach unten, die rot gestrichelte Parabel: $f(x)-2$.
    • um $4$ Einheiten nach rechts: $f(x-4)-2$.
    Also ist $g(x)=f(x-4)-2$ die Funktionsgleichung zu der verschobenen blauen Parabel.

    Da $f(x)=x^2+4x+2$ ist, folgt damit:

    $g(x)=(x-4)^2+4(x-4)+2-2$.

    Auflösen der Klammern und Zusammenfassen der Terme führt zu

    $g(x)=x^2-4x$.

    Der Scheitelpunkt der grünen Parabel ist $S(-2|-2)$. Dieser wird auf den Scheitelpunkt $S'(2|-4)$ verschoben.