Drehung im Koordinatensystem – Anleitung
Drehung im Koordinatensystem – Anleitung
Beschreibung Drehung im Koordinatensystem – Anleitung
Was ist eine Drehung im Koordinatensystem und welche Schritte musst du durchführen, um eine Figur zu drehen? Du betrachtest erst einmal die Punkte der Figur, verbindest diese mit dem Drehzentrum durch eine Hilfslinie. An dieser Hilfslinie kannst du mit einem Geodreieck den Drehwinkel abtragen. Jetzt musst du nur noch die entsprechende Strecke übertragen und fertig. Zu guter Letzt verbindest du noch die so erhaltenen Bildpunkte und erhältst die gedrehte Figur. Das zeige ich dir in diesem Video an zwei Beispielen. Viel Spaß beim Schauen. Ich freue mich auf deine Fragen und Anregungen. Bis bald, Frank.
Transkript Drehung im Koordinatensystem – Anleitung
Hallo. Mein Name ist Frank. In diesem Video werde ich Dir die Drehung im Koordinatensystem zeigen. Das heißt, wie wird eine geometrische Figur in der Ebene, also im xy-Koordinatensystem gedreht. Hier links kannst Du schon mal ein Koordinatensystem vorbereitet sehen und ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C. Und hier rechts das allgemeine Vorgehen, wie wird eine geometrische Figur gedreht. Zuerst einmal verbinde alle Punkte mit dem Drehzentrum Z durch Hilfslinien. Das mache ich jetzt mal exemplarisch hier mit dem Punkt A. Also ich lege mein Geodreieck an und verbinde dieses A mit dem Koordinatenursprung durch eine Hilfslinie. Nun zweitens trage ich an dieser Hilfslinie den Drehwinkel Φ ab. Ich habe hier unten mal das Beispiel angeschrieben. Das Drehzentrum wäre der Koordinatenursprung. Das siehst Du ja hier auch. Und der Drehwinkel Φ wäre 40º. Das heißt, ich lege das Geodreieck hier an und messe im mathematisch positiven Sinne 40º ab, also hier. Und jetzt verbinde ich das wieder mit Drehzentrum und trage die Strecke mit der gleichen Länge wie vorhin entlang dieser Hilfslinie ab. Also diese Strecke hier wäre so lang und dann trage ich das hier ab und erhalte dadurch meinen Bildpunkt, den ich mit A' bezeichne. Und genauso verfahre ich mit den folgenden Punkten. So, nachdem ich in dem ersten Beispiel schon das Drehen schon am Punkt A gezeigt habe, habe ich jetzt die Punkte B und C ergänzt. Also ich habe wieder das Drehzentrum mit dem Punkt B verbunden, das Ganze um den Winkel Φ, also 40º in dem Beispiel, gedreht und erhalte den Punkt B'. Und das gleiche mache ich mit C: Drehen, C'. Jetzt habe ich also die übrigen Bildpunkte und ergänze die Figur. In dem Fall kommt wieder ein Dreieck heraus und Du siehst, die beiden Dreiecke sind deckungsgleich und das nennt man auch „kongruent“. Von dem zweiten Beispiel schaue ich mir jetzt ein Drehzentrum (4|1) an und den Drehwinkel 40º habe ich beibehalten. Und ich mache wieder diese ganzen Punkte hier, exemplarisch für A erstmal. Also ich verbinde das Drehzentrum Z mit dem Punkt A und lege das Geodreieck an und messe den Winkel 40º. Also der wäre dann hier. Jetzt trage ich die Strecke, die ich hier habe, auch nochmal ab. Also so, so und erhalte entsprechend meinen Bildpunkt A'. Den markiere ich mal hier, also A'. Gut. So, dann habe ich auch hier das Dreieck nochmal ergänzt. Also das gleiche, was ich hier in Punkt eins, zwei und drei gemacht habe, habe ich mit den Punkten B und C nochmal gemacht mit dem entsprechenden Drehzentrum und erhalte so die Punkte B' und C'. Und ergänze wieder die Figur, das ist der vierte Punkt hier. Und erhalte auch da wieder ein Dreieck, welches deckungsgleich zu dem Ausgangsdreieck ist. Also das gedrehte Dreieck ist deckungsgleich, also kongruent, zu dem Ausgangsdreieck. Gut, ich fasse nochmal kurz zusammen, was Du in diesem Video gelernt hast: Was ist eine Drehung im Koordinatensystem und insbesondere, wie führst Du eine solche Drehung durch? Du hast also eine geometrische Figur. Ich habe das jetzt hier immer mit Dreiecken gemacht. Wenn Du eine beliebige andere Figur hättest, würde es vollkommen analog verlaufen. Und verbindest die Punkte mit dem entsprechenden Drehzentrum, trägst den Drehwinkel ab und zeichnest entsprechend die Bildpunkte. Also hier A, A'. Das machst Du für alle Bildpunkte und ergänzt die Figur. Nun hoffe ich, dass Du alles gut verstehen konntest und danke Dir für Deine Aufmerksamkeit. Wie immer freue ich mich über Fragen und Anregungen. Bis zum nächsten Mal, Dein Frank.
Drehung im Koordinatensystem – Anleitung Übung
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Beschreibe, wie eine Drehung im Koordinatensystem durchgeführt wird.
TippsUm ein Dreieck zu drehen, drehst du jeden Eckpunkt des Dreiecks.
In diesem Bild ist der Koordinatenursprung das Drehzentrum.
Hier ist ein weiterer Schritt der Drehung zu sehen.
LösungHier ist das allgemeine Vorgehen bei einer Drehung um ein Drehzentrum $Z$ zu sehen.
- Zuerst wird jeder der Punkte mit dem Drehzentrum $Z$ verbunden.
- Nun wird der Drehwinkel $\varphi$ im mathematisch positiven Sinne, also gegen den Uhrzeigersinn, im Punkt $Z$ abgetragen. Dadurch entsteht eine Hilfslinie.
- Dann wird eine Strecke mit der gleichen Länge wie der von dem Drehzentrum zu dem Punkt entlang der Hilfslinie gezeichnet.
- So erhält man den Bildpunkt.
- Ebenso werden alle übrigen Bildpunkte gezeichnet.
- Zuletzt werden die Bildpunkte miteinander verbunden zu der gedrehten Figur.
-
Erstelle das gedrehte Dreieck.
TippsZunächst wird ein (jeder) Eckpunkt mit dem Drehzentrum verbunden.
Dann wird eine Hilfslinie gezeichnet: Hierfür wird der Drehwinkel $\varphi$ im Drehzentrum abgetragen.
Nun wird die Länge der Strecke $\overline{ZP}$ entlang der Hilfslinie abgetragen.
So erhält man den Bildpunkt $P'$.
Ebenso verfährst du mit jedem der anderen Punkte.
Zuletzt verbindest du die Eckpunkte zu dem gedrehten Bilddreieck.
LösungHier ist das letzte Bild zu sehen:
- Zuerst wird jeder Punkt (am Beispiel $A$) mit dem Drehzentrum verbunden.
- Nun wird der Drehwinkel $\varphi$ im Drehzentrum abgetragen. So erhält man eine Hilslinie.
- Dann wird eine Strecke der Länge $\overline{ZA}$ entlang der Hilfslinie abgetragen. So erhält man den Bildpunkt $A'$.
- Ebenso werden die Punkte $B$ zu $B'$ und $C$ zu $C'$ gedreht.
- Zuletzt werden die Bildpunkte zu dem gedrehten Dreieck verbunden.
-
Entscheide, welche der Figuren die gedrehte Figur ist.
TippsAchte auch auf die Anordnung der Eckpunkte.
Das Ausgangsdreieck und das gedrehte Dreieck sind kongruent zueinander.
Kongruent bedeutet deckungsgleich: Dabei stimmen die Dreiecke
- in allen drei Winkeln sowie
- in allen drei Seiten überein.
LösungHier ist das tatsächlich gedrehte Dreieck (grün) zu erkennen. Woran kann man dies erkennen?
- Zum einen sind die Dreiecke kongruent, also deckungsgleich.
- Zum anderen ändert sich die Anordnung der Eckpunkte bei Drehungen nicht.
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Prüfe die folgenden Aussagen.
TippsBeachte, dass bei Drehungen Dreiecke auf kongruente Dreiecke abgebildet werden.
Kongruente Dreiecke sind insbesondere ähnlich.
Ähnliche Dreiecke stimmen in allen (drei!) Winkeln überein.
LösungIm Allgemeinen (bis auf Drehungen um Vielfache von $180^\circ$) werden Parallelen zur x-Achse nach der Drehung nicht mehr parallel zur x-Achse verlaufen.
Wird jedoch eine Parallele zur x-Achse um $90^\circ$ gedreht, verläuft sie parallel zur y-Achse.
Wenn man sich noch einmal vor Augen führt, dass Dreiecke durch Drehungen auf kongruente Dreiecke abgebildet werden, kann man einige der obigen Aussagen daraus ableiten:
- Die Länge von Strecken ändern sich bei Drehungen nicht.
- Ebenso ändern sich eingeschlossene Winkel nicht.
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Gib an, welche Besonderheit das gedrehte Dreieck hat.
TippsUm die gedrehte Figur zu erhalten, drehst du jeden einzelnen Eckpunkt.
Zuletzt verbindest du alle gedrehten Punkte.
Zwei Dreiecke heißen ähnlich, wenn sie in allen Winkeln übereinstimmen.
Zwei Dreiecke heißen kongruent, also deckungsgleich, wenn sie zum Beispiel in den Längen ihrer drei Seiten übereinstimmen.
Wenn zwei Dreiecke kongruent sind, sind sie auch ähnlich. Umgekehrt gilt dies im Allgemeinen nicht.
LösungHier ist die gedrehte Figur zu sehen.
Zum einen ist (natürlich!) auch die gedrehte Figur ein Dreieck. Dies ist so, weil jeder einzelne Eckpunkt (also drei) gedreht wird. Zuletzt werden die Punkte miteinander verbunden. Es entsteht ein Dreieck.
Da bei Drehungen die Längen von Strecken erhalten bleiben, stimmen das Ausgangsdreieck sowie das gedrehte Dreieck in ihren Seitenlängen überein.
Die Dreiecke sind also kongruent: Drehungen sind Kongruenzabbildungen.
Die Anordnung der Punkte bleibt bei einer Drehung übrigens erhalten.
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Bestimme den Drehwinkel.
TippsBetrachte jeweils den Punkt $A$ sowie dessen Bildpunkt $A'$.
Die Strecken $\overline{ZA}$ sowie $\overline{ZA'}$ schließen den gesuchten Drehwinkel ein.
Beachte: Wenn du eine zur x-(y-)Achse parallele Strecke um $90^\circ$ drehst, erhältst du eine zur y-(x-)Achse parallele Strecke.
Beachte, dass der Drehwinkel immer im Drehzentrum gegen den Uhrzeigersinn abgetragen wird.
LösungWenn man eine Figur um ein Drehzentrum dreht, muss immer auch ein Drehwinkel gegeben sein: Zu jedem Punkt $P$ sowie dessen Bildpunkt $P'$ gilt, dass die Strecken $\overline{ZP}$ sowie $\overline{ZP'}$ den Drehwinkel einschließen.
Von links nach rechts sind die folgenden Drehwinkel zu erkennen:
- $\varphi=90^\circ$: Dies kann man zum Beispiel auch daran erkennen, dass die Strecke $\overline{AC}$, welche parallel zur y-Achse verläuft, nach der Drehung $\overline{A'C'}$ parallel zur x-Achse verläuft.
- $\varphi=135^\circ$
- $\varphi=180^\circ$: Dies entspricht einer Punktspiegelung an dem Drehzentrum.
- $\varphi=60^\circ$
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10 Kommentare
Gut Erklärt habe alles verstanden😄
*sehr
Sehen gut Eber ein bisschen zu leise
Danke es ist super erklärt und ich hab alles verstanden😄
sehr gutes viedeo