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Vektorräume 05:20 min

Textversion des Videos

Transkript Vektorräume

Hallo, mein Name ist Frank. In diesem Video werde ich dir zeigen, was ein Vektorraum ist und hier rechts habe ich schon mal die Definition angeschrieben. V, also groß V für einen Vektorraum über den reellen Zahlen, ist so definiert, dass für alle Elemente a, b, c aus diesem Vektorraum V und die reellen Zahlen u und v die folgenden Gesetze gelten müssen. 1. Wenn ich zwei Elemente aus dem Vektorraum addiere, dann ist es egal in welcher Reihenfolge ich das mache: a+b = b+a . Das nennt man das Kommutativgesetz. Wenn ich mehr als zwei, also in dem Fall drei Elemente aus dem Vektorraum addiere, ist es egal, ob ich zuerst a und b addiere und dann auf das Ergebnis c drauf addiere oder ob ich zuerst b und c addiere und dann das Ganze auf a addiere. Das nennt man das Assoziativgesetz. Zu jedem Element aus dem Vektorraum muss es ein sogenanntes neutrales Element geben. Das habe ich hier mit null bezeichnet. Das additiv-neutrale Element, also a+0 = a . Und zu jedem Element aus dem Vektorraum muss es ein additiv-inverses Element geben. Also a+(-a) ergibt gerade das neutrale Element. Das wären also die Gesetze zur Addition. Und hier kommen die nächsten Gesetze, die betreffen die Multiplikation. Auch da muss es ein neutrales Element geben. Das habe ich jetzt einmal eins genannt. Also eins mal ein beliebiges Element aus dem Vektorraum ist immer das Element selbst. Also 1a = a. Und wenn ich jetzt zwei reelle Zahlen miteinander multipliziere und dieses Produkt mit dem Element aus dem Vektorraum multipliziere, hätte ich auch zuerst eine der beiden reellen Zahlen mit dem Element aus dem Vektorraum multiplizieren können und das Ergebnis mit der anderen reellen Zahl multiplizieren. Auch das ist ein Assoziativgesetz. Ich habe das hier mal mit AG abgekürzt. Und wenn ich die Summe zweier reeller Zahlen mit einem Element aus dem Vektorraum multipliziere, dann kann ich auch jede einzelne reelle Zahl mit dem Vektorraumelement multiplizieren und die Produkte entsprechend addieren. Das ist das Distributivgesetz. Es gibt zwei davon, deswegen ist das das Distributivgesetz Nummer 1. Das zweite wäre dann, wenn ich eine reelle Zahl mit der Summe zweier Elemente aus dem Vektorraum multipliziere, dann kann ich die reelle Zahl mit dem ersten Element multiplizieren. Also ua + u*b . Das ist das Distributivgesetz 2. So ist also ein Vektorraum erklärt. Für alle Elemente a, b, c Element V und u, v Element R müssen diese, Axiome nennt man die, gelten. Und ich habe mal so ein kleines Beispiel hier, um an einem ganz einfachen Beispiel schon mal zu zeigen, was das überhaupt heißt. Und zwar wären hier die reellen Zahlen. Ich habe einfach mal ein paar reelle Zahlen da willkürlich reingeschrieben und schaue mir jetzt mal einzelne Gesetze an. Hier unten drunter habe ich noch einmal die Operationen. Also im Bereich der reellen Zahlen kennst du die Grundrechenarten plus, mal, minus und geteilt durch. Wenn wir uns in anderen Vektorräumen befinden, also zum Beispiel über Vektoren, gibt es noch die Skalar-Multiplikation. Wichtig ist dabei zu beachten, wenn ich hier einen Punkt für Multiplikation mache, kann das sowohl die Multiplikation im Bereich der reellen Zahlen sein. Das wäre hier der Fall. Aber es kann auch eine skalare Multiplikation sein. Das wäre dieses u mal a zum Beispiel. Und wenn du hier zum Beispiel das Kommutativgesetz der Addition anschaust, heißt das, wenn ich zwei beliebige Elemente hernehme, dann ist egal, in welcher Reihenfolge ich die addiere. Und ich nehme mal zwei und drei her. Es ist egal, ob ich zwei plus drei rechne oder drei plus zwei, es kommt beide Male fünf heraus. Was natürlich jetzt kein Beweis des Kommutativgesetzes ist. Und so kannst du im reellen Bereich der reellen Zahlen dir diese ganzen Gesetze anschauen. Die kennst du sicherlich auch, Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz. Gut. Also ich habe in diesem Video dir gezeigt, was ein Vektorraum ist. Dafür müssen diese 8 Axiome erfüllt sein. Und ganz einfach beim Bereich der reellen Zahlen kennst du diese schon. Die Grundrechenarten plus, mal, minus, geteilt durch sind da erfüllt. Nun hoffe ich, dass du alles gut verstehen konntest und danke dir für deine Aufmerksamkeit. Ich freue mich wie immer über Fragen und Anregungen und verbleibe bis zum nächsten Mal, dein Frank.

Vektorräume Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Vektorräume kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die Axiome der Addition, die in einem Vektorraum gelten müssen.

    Tipps

    Das Kommutativgesetz heißt auch Vertauschungsgesetz.

    Zum Beispiel gilt für die reellen Zahlen $2$ und $3$:

    $2+3=5=3+2$.

    Dieses Gesetz gilt übrigens auch für die Multiplikation, jedoch nicht für die Subtraktion oder Division.

    Du weißt, dass das Addieren von $0$ im Zahlenbereich der reellen Zahlen den Wert einer Zahl nicht ändert. Das bedeutet

    $x+0=x$ für jedes $x\in\mathbb{R}$.

    Hier siehst du ein Beispiel für das Distributivgesetz.

    Lösung

    In einem Vektorraum gelten bestimmte Spielregeln. Sowohl für die Addition also auch für die Multiplikation müssen gewisse Axiome erfüllt sein.

    Für die Addition sind dies:

    • Das Kommutativgesetz: $a+b=b+a$. Die Reihenfolge darf bei der Addition vertauscht werden.
    • Das Assoziativgesetz: $(a+b)+c=a+(b+c)$. Das bedeutet anders ausgedrückt, dass nicht unbedingt von links nach rechts gerechnet werden muss.
    • Es existiert ein neutrales Element, der sogenannte Nullvektor: $a+0=a$.
    • Es existiert zu jedem Vektor des Vektorraums ein inverses Element: $a+(-a)=0$.
  • Ergänze die Axiome der Multiplikation in einem Vektorraum.

    Tipps

    Mache dir die jeweiligen Gesetze innerhalb des Zahlenbereichs der reellen Zahlen klar.

    Wenn du zwei Zahlen multiplizierst, kannst du bekanntlich die Reihenfolge vertauschen:

    $3\cdot 5=15=5\cdot 3$.

    Hier siehst du ein Beispiel für das Distributivgesetz.

    Lösung

    Ein Vektorraum ist so definiert, dass sowohl für die Addition also auch die Multiplikation in diesem Vektorraum gewisse Axiome erfüllt sein müssen.

    Für die Multiplikation sind dies:

    • Es existiert zu jedem Vektor des Vektorraums ein neutrales Element: $1\cdot a=a$. Das neutrale Element ist ein Skalar aus dem Zahlenbereich der reellen Zahlen. Es ist in der Regel nicht Element des Vektorraums (außer wenn $V=\mathbb{R}$)
    • Das Assoziativgesetz: $(u\cdot v)\cdot a=u\cdot (v\cdot a)$. Das bedeutet etwas salopp, dass nicht unbedingt von links nach rechts gerechnet werden muss.
    • Das Distributivgesetz 1: $(u+v)\cdot a=u\cdot a+v\cdot a$. Es wird der Vektor $a$ mit jedem der beiden Skalare multipliziert und die Produkte werden dann addiert.
    • Das Distributivgesetz 2: $u\cdot (a+b)=u\cdot a+u\cdot b$. Es wird beide Vektoren $a$ und $b$ mit dem Skalar multipliziert und die Produkte werden dann addiert.
  • Weise nach, dass der $\mathbb{R}^3$ mit der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation ein Vektorraum ist.

    Tipps

    Tatsächlich gilt jedes der Axiome und der $\mathbb{R}^3$ ist mit der oben definierten Vektoraddition sowie skalaren Multiplikation ein Vektorraum.

    Verwende die Gesetze, die du aus den reellen Zahlen kennst. Die Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ist ein Vektorraum.

    Es gilt in den reellen Zahlen, zum Beispiel:

    • $a+b=b+a$
    • $a+0=a$
    • $a+(-a)=0$
    • $1\cdot a=a$
    Lösung

    Im $\mathbb{R}^3$ ist die Addition zweier Vektoren sowie die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl, einem Skalar, so definiert wie hier zu sehen. Um die Vektorraumaxiome zu prüfen, kann man sich jedes Mal jede einzelne Koordinate anschauen. Diese sind reelle Zahlen. Das bedeutet, dass die Vektorraum-Axiome für jede Koordinate angewendet werden dürfen. Damit kann nachgewiesen werden, dass der Raum $\mathbb{R}^3$ ein Vektorraum ist.

    Addition

    • Es gilt $a_x+b_x=b_x+a_x$, ebenso für die anderen beiden Koordinaten, und damit auch $\vec a\oplus\vec b=\vec b\oplus\vec a$, das Kommutativgesetz.
    • Ebenso gilt $(a_x+b_x)+c_x=a_x+(b_x+c_x)$, dies gilt auch für die anderen beiden Koordinaten, und damit $\left(\vec a\oplus\vec b\right)\oplus \vec c=\vec a\oplus\left(\vec b\oplus \vec c\right)$, das Assoziativgesetz.
    • Für den Nullvektor $\vec 0$, den Vektor, welcher ausschließlich Nullen enthält, gilt $\vec a\oplus\vec 0=\vec a$, da in jeder Koordinate die Zahl $0$, das neutrale Element der Addition bei den reellen Zahlen, addiert wird.
    • Wenn man in dem Vektor $\vec a$ das Vorzeichen jeder Koordinate vertauscht, erhält man den sogenannten Gegenvektor $-\vec a$ von $\vec a$. Dieser ist das inverse Element der Addition.
    Multiplikation

    Ähnlich können die Axiome für die Multiplikation nachgewiesen werden.

    • Die reelle Zahl $1$ ist das neutrale Element, da, zum Beispiel $1\cdot a_x=a_x$ ist. Dies gilt natürlich auch für die beiden anderen Koordinaten.
    • Zu $(k\cdot l)\odot\vec a$: Auch hier kann man sich exemplarisch die erste Koordinate anschauen. Es gilt $(k\cdot l)\cdot a_x=k\cdot (l\cdot a_x)$. Damit gilt das Assoziativgesetz $ (k\cdot l)\odot\vec a=k\cdot\left(l\odot \vec a\right)$.
    • Die beiden Distributivgesetze: Hier wird beispielhaft der Nachweis für das erste erbracht, der für das zweite verläuft vollkommen analog. Es gilt $(k+l)\cdot a_x=k\cdot a_x+l\cdot a_x$ und ebenso für die beiden anderen Koordinaten. Damit gilt $(k+l)\odot\vec a=k\odot\vec a+l\odot\vec a$.
  • Prüfe die folgenden Aussagen zur Addition und Multiplikation im $\mathbb{R}^2$.

    Tipps

    Wenn eine Aussage nicht gültig ist, genügt häufig ein (oftmals einfaches) Gegenbeispiel.

    Es gilt das Kommutativgesetz bei der Addition: $\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$.

    Beachte, dass bei der Multiplikation $k\cdot \vec a$ der Buchstabe $k$ ein Skalar, also eine reelle Zahl, und $a$ ein Element des $\mathbb{R}^2$ ist.

    Lösung

    Im Folgenden werden die Vektorraumeigenschaften beziehungsweise Ableitungen von diesen am Beispiel des $\mathbb{R}^2$ gezeigt. Die Addition zweier Vektoren sowie die skalare Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl ist so definiert wie hier zu sehen.

    • Es gilt $\vec u+\vec v=\vec v + \vec u$. Sei $\vec 0=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ das neutrale Element, dann ist $\vec u+\vec 0=\vec u$ und damit auch $\vec u +\vec 0=\vec 0+\vec u=\vec u$.
    • Ebenso wie das neutrale Element ist auch das inverse Element der Addition ein Element des $\mathbb{R}^2$.
    • Das inverse Element des Vektor $\vec u$ ist dessen Gegenvektor $-\vec u=\begin{pmatrix}-u_x\\-u_y\end{pmatrix}$.
    • Dies gilt für das neutrale Element der Multiplikation nicht. Hierfür kann als Beispiel der $\mathbb{R}^2$ betrachtet werden mit der skalaren Multiplikation. Es gilt $1\cdot \vec a=\vec a$. Dabei ist das neutrale Element $1\in\mathbb{R}$ und damit kein Element von $\mathbb{R}^2$.
    • Üblicherweise ist die skalare Multiplikation mit $k\cdot a$ für $k\in\mathbb{R}$ und $a \in V$ definiert. Das bedeutet, dass die Reihenfolge nicht vertauscht werden kann.
  • Gib an, ob die Menge der reellen Zahlen ein Vektorraum ist.

    Tipps

    Es ist $4+5=9=5+4$. Du darfst also beim Addieren die Reihenfolge vertauschen.

    Das darfst du auch bei der Multiplikation. Dies ist jedoch kein Vektorraum-Axiom.

    Wenn du zu irgendeiner Zahl die $0$ addierst, ändert die Zahl sich nicht.

    Wenn du irgendeine Zahl mit $1$ multiplizierst, ändert die Zahl sich nicht.

    Lösung

    Die Menge der reellen Zahlen mit der seit der Grundschule bekannten Addition und Multiplikation ist ein Vektorraum.

    • Es gibt ein neutrales Element der Addition, die $0$, und eines der Multiplikation, die $1$.
    • Das inverse Element der Addition zu einem Element erhält man durch Vertauschen des Vorzeichens. Zum Beispiel ist das inverse Element zu $3$ gegeben durch $-3$, denn $3+(-3)=3-3=0$.
    • Die Reihenfolge der Addition darf vertauscht werden: $a+b=b+a$.
    • Manchmal ist es geschickt, nicht von links nach rechts zu rechnen: $12+37+3=12+40=52$ oder $23\cdot 25\cdot 4=23\cdot100=2300$. Dies ist das Assoziativgesetz.
    • Es gilt schließlich noch das Distributivgesetz: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.
  • Prüfe, ob der $\mathbb{R}^2$ mit der hier definierten Addition ein Vektorraum ist.

    Tipps

    Prüfe doch einmal, ob auch

    $\vec 0+\vec a=\vec a$

    gilt.

    • Das Kommutativgesetz besagt: $\vec a\oplus\vec b=\vec b\oplus\vec a$.
    • Das Assoziativgesetz besagt: $\left(\vec a\oplus\vec b\right)\oplus\vec c=\vec a\oplus\left(\vec b\oplus\vec c\right)$.

    Übrigens: Wenn eines der Axiome nicht erfüllt ist, dann liegt kein Vektorraum vor.

    Lösung

    In diesem Beispiel geht es darum, einmal die Axiome für die Addition zu prüfen. Wenn eines der Axiome nicht erfüllt ist, kann kein Vektorraum vorliegen.

    Beginnen wir mit dem neutralen Element. Dieses ist der Nullvektor. Dies gilt allerdings nur, wenn der Nullvektor der rechte Summand ist. Dies können wir hier sehen:

    $\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix}\oplus\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix}$

    aber

    $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\oplus\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_y \\ a_x \end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix}$

    An diesem Beispiel kann man schon erkennen, dass das Kommutativgesetz nicht gilt und somit der $\mathbb{R}^2$ mit der so definierten Addition kein Vektorraum sein kann.

    Prüfen wir der Vollständigkeit halber noch das Assoziativgesetz:

    $\left(\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix}\oplus\begin{pmatrix} b_x \\ b_y \end{pmatrix}\right)\oplus\begin{pmatrix} c_x \\ c_y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_x+b_y+c_y \\ a_y+b_x+c_x \end{pmatrix}$

    aber

    $\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix}\oplus\left(\begin{pmatrix} b_x \\ b_y \end{pmatrix}\oplus\begin{pmatrix} c_x \\ c_y \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} a_x+b_y+c_x \\ a_y+b_x+c_y \end{pmatrix}$

    In den beiden Vektoren sind $c_x$ und $c_y$ vertauscht. Also gilt auch das Assoziativgesetz nicht.