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Basisvektoren 10:59 min

Textversion des Videos

Transkript Basisvektoren

Hallo, mein Name ist Frank. In diesem Video behandle ich Basisvektoren. Dabei gehe ich so vor, wie du es hier rechts angeschrieben siehst. Ich beginne mit der Definition einer Basis im R2 bzw. im R3, steht auch schon hier links. Dann werde ich das mal am Beispiel für eine bestimmte Basis im R2 vorrechnen. Und dann folgend stelle ich noch eine spezielle Basis vor, die sogenannte kanonische Basis, sowohl im R2 als auch im R3. Und abschließend auch nochmal ein Beispiel, ich stelle einen bestimmte Vektor des R3 als Linearkombination von Basisvektoren dar. Und ich fange mal an mit der Definition einer Basis. Was ist eine Basis? Das siehst du hier links angeschrieben. Ich lese es mal vor. Als Basis des R2, also der Ebene, in Klammern des R3, also des Raumes - in Klammern zieht sich das dann immer für das Ganze im Raum durch - wird eine Menge aus zwei, respektive drei, linear unabhängigen Vektoren R2, und auch des R3, bezeichnet, mit welchen, also mit welchen Vektoren, jeder beliebige Vektor des entsprechenden Raumes - R2 oder R3 - als Linearkombination dargestellt werden kann. Und ein Vektor dieser Basis heißt Basisvektor. Also jeder Vektor, der in der Basis steht, heißt Basisvektor. Und das werde ich jetzt mal am Beispiel für eine bestimmte Basis im R2 durchführen. Ich habe die beiden Vektoren u=(2/3) und v=(1/1). Wir haben also zwei Vektoren des R2, die sollen linear unabhängig sein. Das siehst du hier durch Hinsehen, wenn die linear abhängig wären, dann müsste zum Beispiel der Vektor u ein Vielfaches des Vektors v sein. Das ist nicht der Fall, das heißt die beiden Vektoren u und v sind linear unabhängig. Und jetzt soll sich jeder beliebige Vektor des R2, also ich nehme mal einen beliebigen Vektor her: x=(x1/x2), und ich habe jetzt keine Einschränkung an die x- und y-Koordinate dieses Vektors. Jeder beliebige Vektor soll sich als Linearkombination der beiden Vektoren darstellen lassen. Das heißt, ein beliebiges Vielfaches r mal (2/3), also mal dem Vektor u, plus s mal den Vektor v, also (1/1). r und s sind beides Reelle Zahlen. Das hier, was ich hier stehen habe, nennt man eine Linearkombination. Und das führt zu einem Gleichungssystem, also x1=2r+s und x2=3r+s. Und wenn du nun von der zweiten Gleichung die erste abziehst, dann fällt das s raus und du erhältst r=x2-x1. Wenn du dieses r in der ersten und in der zweiten Gleichung einsetzt, bekommst du s=3x1-2x2. Das heißt, du hast eine eindeutige Lösung für r und s. Also ist dieses Gleichungssystem lösbar. Das wiederum heißt, der Vektor x, und ich hatte keine Einschränkung an den Vektor x, also jeder Vektor x des R2 lässt sich als Linearkombination dieser beiden Vektoren schreiben. Und das wiederum heißt, die Menge mit den Vektoren (2/3), also u, und (1/1), also v, ist eine Basis des R2. Das hätten wir schonmal und dann wissen wir auch noch zu guter Letzt, jeder Vektor der da drin steht, also der Vektor (2/3) und auch der Vektor (1/1), ist ein Basisvektor des R2. Gut, nachdem ich das jetzt definiert habe, also was eine Basis ist, und das Ganze für eine bestimmte Basis, in dem Fall (2/3), (1/1) im R2 mal gezeigt habe, komme ich nun im Folgenden zur kanonischen Basis und abschließend zu einem Beispiel im R3. So, nachdem ich also die Definition einer Basis schon habe, die sieht du hier, und schon ein Beispiel für eine bestimmte Basis im R2 gerechnet habe, schaue ich mir jetzt als drittes die sogenannte kanonische Basis an, das ist eine spezielle Basis, sowohl im R2 als auch im R3. Und die habe ich hier nochmal angeschrieben. Die kanonische Basis im R2 ist die Menge mit den Vektoren (1/0) und (0/1). Das sind die sogenannten Einheitsvektoren, du siehst in der einen Komponente eine eins und in der anderen eine null. Im R3 entsprechend (1/0/0), (0/1/0) und (0/0/1). Das ist die sogenannte kanonische Basis. Und wenn ich mir jetzt ganz allgemein einen Vektor x hernehme, also (x1/x2/x3), und möchte den als Linearkombination der kanonischen Basis schreiben, also jetzt in dem Fall im R3, also (1/0/0) plus (0/1/0) plus (0/0/1). Du siehst, ich habe hier immer ein bisschen Platz gelassen, brauche ich also Faktoren vor den entsprechenden Vektoren, sodass das rauskommt. Und das ist denke ich hier relativ gut zu sehen. Das wäre hier x1, hier x2 und hier x3. Und diese Faktoren x1, x2, x3 nennt man dann die Koordinaten bezüglich der entsprechenden Basis, in dem Fall die kanonische Basis. Und nun schaue ich mir noch ein weiteres Beispiel an mit einer anderen Basis. Ich verzichte in dem Zusammenhang darauf, nachzuweisen, dass die Vektoren, die ich jetzt hier aufschreibe, linear unabhängig sind. Also ich nehme den Vektor (2/1/0), den Vektor (1/0/1) und den Vektor (3/1/2). Ich schau mir diese drei Vektoren an - und das wäre jetzt dieses Beispiel Darstellung eines bestimmten Vektors des R3 als Linearkombination dieser drei Vektoren. Wie gesagt die lineare Unabhängigkeit dieser Vektoren weise ich jetzt nicht nach, aber ich schau mir jetzt einen bestimmten Vektor an und ich habe dafür den Vektor (1/2/3) hergenommen. Und der soll sich jetzt als Linearkombination dieser drei Vektoren darstellen (2/1/0) plus (1/0/1) plus (3/1/2). Und hier, den Faktor nenne ich r, den nenne ich s, den nenne ich t. Und analog zu dem Beispiel vorhin im Zweidimensionalen, also in der Ebene, bekomme ich wieder drei Gleichungen. Ich schreibe die nochmal auf. Also 1=2r+s+3t, die zweite Gleichung wäre 2=r+t, s steht da nicht drin, und die letzte Gleichung wäre 3=s+2t, r steht diesmal nicht drin. Und wenn du dieses Gleichungssystem löst, bekommst du heraus - das mache ich jetzt hier nicht ausführlich, ich schreibe nur die Lösung an - t=6, s=-9 und r=-4. Das heißt, wenn du hier t=6, s=-9, r=-4 einsetzt, bekommst du den entsprechenden Vektor (1/2/3) heraus. Und diese Faktoren, die ich hier ausgerechnet habe, nennt man die Koordinaten dieses Vektors (1/2/3) bezüglich dieser Basis. Also das heißt, diese drei Vektoren stellen eine Basis des R3 dar. Und die Definition heißt ja auch eine Menge, das ist nicht eindeutig, weil hier habe ich ja noch eine Basis, zum Beispiel die kanonische Basis, das ist eine andere. Und deswegen werden diese Faktoren auch als Koordinaten bezüglich einer Basis bezeichnet. Gut, dann fasse ich nochmal kurz zusammen, was ich in dem Video gemacht habe: Ich habe mir angeschaut, was Basisvektoren sind. Das habe ich im R2 und im R3 gemacht. Die Definition siehst du hier nochmal. Ganz kurz: die Vektoren müssen linear unabhängig sein und jeder beliebige Vektor des entsprechenden Raumes muss sich als Linearkombination dieser Vektoren darstellen lassen. Eine spezielle Basis, sowohl im R2 als auch im R3, nämlich die kanonische Basis, habe ich dir hier angegeben. Und zu guter Letzt ein Beispiel gerechnet für einen bestimmten Vektor des R3, damit du sehen kannst, wie du den als Linearkombination darstellen kannst. Nun hoffe ich, dass du alles gut verstehen konntest. Danke dir für deine Aufmerksamkeit. Und wie immer freue ich mich über Fragen und Anregungen. Bis zum nächsten Mal! Dein Frank.

Basisvektoren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Basisvektoren kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, was eine Basis ist, und gib die kanonische Basis des $\mathbb{R}^2$ sowie $\mathbb{R}^3$ an.

    Tipps

    Seien $\vec u$ und $\vec v$ Vektoren, dann ist

    $\vec w=r\cdot \vec u+s\cdot \vec v$

    eine Linearkombination dieser beiden Vektoren.

    Diese beiden Vektoren sind linear abhängig. Der Vektor

    $\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$

    lässt sich nicht als Linearkombination dieser beiden Vektoren schreiben.

    Ein Vektor der Länge $1$ wird als Einheitsvektor bezeichnet.

    Lösung

    Was ist eine Basis

    Die Basis des $\mathbb{R}^2$ ($\mathbb{R}^3$) ist eine Menge bestehend aus zwei (drei) linear unabhängikgen Vektoren.

    Diese Vektoren werden als Basisvektoren bezeichnet.

    Mithilfe der Basisvektoren kann jeder beliebige Vektor des $\mathbb{R}^2$ ($\mathbb{R}^3$) durch Addition und skalare Multiplikation eindeutig dargestellt werden.

    Das bedeutet, dass sich jeder beliebige Vektor des $\mathbb{R}^2$ ($\mathbb{R}^3$) als Linearkombination der Basisvektoren darstellen lässt.

  • Gib die Koordinaten des Vektors in Abhängigkeit der Basis an.

    Tipps

    Du musst $\vec x$ als Linearkombination der Basisvektoren schreiben:

    $\vec x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\x_3 \end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\0 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}$

    Schreibe $\vec x$ wie folgt

    $\vec x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ x_2 \\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\x_3 \end{pmatrix}$

    Beachte, dass

    $\begin{pmatrix} x_1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}=x_1\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}$

    ist.

    Lösung

    Es ist

    $\vec x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ x_2 \\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\x_3 \end{pmatrix}$

    und somit

    $\vec x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\x_3 \end{pmatrix}=x_1\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}+x_2\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\0 \end{pmatrix}+x_3\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}$

    Das bedeutet, dass $x_1$, $x_2$ und $x_3$ die Koordinaten dieses Vektors bezüglich der kanonischen Basis sind.

  • Stelle den beliebigen Vektor $\vec x$ als Linearkombination der Vektoren $\vec u$ sowie $\vec v$ dar.

    Tipps

    Ein Linearkombination der beiden Vektoren $\vec u$ sowie $\vec v$ ist gegeben durch

    $\vec w=r\cdot \vec u+s\cdot \vec v$.

    Ziehe von der zweiten Gleichung in dem Gleichungssystem die erste ab.

    Zum Beispiel ist

    $\vec x=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}=(-1)\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}+5\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

    Lösung

    Wenn diese beiden Vektoren eine Basis des $\mathbb{R}^2$ sein sollen, dann muss sich jeder beliebige Vektor des $\mathbb{R}^2$ sich als Linearkombination dieser beiden Vektoren darstellen lassen. Das bedeutet

    $\vec x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

    Dies führt zu dem Gleichungssystem

    1. $x_1=2r+s$
    2. $x_2=3r+s$
    Wenn man von der zweiten Gleichung die erste subtrahiert, erhält man

    $r=x_2-x_1$.

    Dieses $r$ wird in der ersten Gleichung eingesetzt:

    $x_1=2(x_2-x_1)+s=2x_2-2x_1+2$

    Es werden $2x_2$ subtrahiert und $2x_1$ addiert zu

    $s=3x_1-2x_2$.

    Das bedeutet, dass für jeden beliebigen Vektor $\vec x$ Parameter $r=x_2-x_1$ sowie $s=3x_1-2x_2$ existieren, so dass $\vec x=r\cdot \vec u+s\cdot \vec v$.

    Das bedeutet, dass die beiden Vektoren $\vec u$ sowie $\vec v$ eine Basis des $\mathbb{R}^2$ ist.

  • Stelle die Vektoren $\vec x$, $\vec y$ sowie $\vec z$ als Linearkombinationen der entsprechenden Basisvektoren dar.

    Tipps
    • Achte auch auf das Vorzeichen. Wenn die entsprechende Koordinate negativ ist, musst du das Vorzeichen auch eintragen.
    • Schreibe auch, sofern nötig, die Koordinate $1$ als Faktor auf.

    Alle Koordinaten sind ganzzahlig.

    Stelle jeweils ein Gleichungssystem auf und löse dies.

    Lösung

    $\vec x=\begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 3\end{pmatrix}$

    führt zu dem Gleichungssystem

    1. $7=r-s$ sowie
    2. $3=3r+3s$ oder $1=r+s$
    Durch Addition erhält man $8=2r$. Nun wird durch $2$ dividiert zu $r=4$. Dieses $r=4$ wird in $1=r+s$ eingesetzt, also $1=4+s$. Subtraktion von $4$ führt zu $s=-3$.

    Bei den beiden verbleibenden Beispielen muss man nicht das gesamte Gleichungssystem aufschreiben:

    $\vec y=\begin{pmatrix} 7 \\ -10 \end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}$

    Die erste Zeile führt zu $r=7$. Dies kann in der zweiten Zeile eingesetzt: $-10=2\cdot 7+s$. Nun wird auf beiden Seiten $14$ subtrahiert zu $s=-14$.

    $\vec z=\begin{pmatrix} 4 \\ 4\\1 \end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\0\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\1\end{pmatrix}$

    • In der letzten Zeile steht bereits $t=1$.
    • Durch Einsetzen in der zweiten Zeile erhält man $4=s+1$ und äquivalent dazu $s=3$.
    • Ebenso kann $t=1$ in der ersten Zeile eingesetzt werden $4=r+1$. Somit ist auch $r=3$.
  • Bestimme die Koordinaten des Vektors $\vec x$ bezüglich der gegebenen Basis.

    Tipps

    Stelle ein Gleichungssystem auf.

    Die erste Gleichung, entsprechend zur ersten Koordinate, lautet

    $8=2r+s+3t$.

    In den beiden anderen Gleichungen kommen jeweils nur zwei Unbekannte vor.

    Es ist $r+t=1$.

    Lösung

    Der Vektor $\vec x$ soll als Linearkombination dieser drei Basisvektoren dargestellt werden:

    $\vec x=\begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\9 \end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\2 \end{pmatrix}$

    Dies führt zu einem Gleichungssystem:

    1. $8=2r+s+3t$
    2. $1=r+t$
    3. $9=s+2t$
    • Wenn man von der ersten Gleichung die dritte subtrahiert, kommt man zu $-1=2r+t$. Von dieser Gleichung kann man die zweite subtrahieren zu $-2=r$.
    • Nun wird dieses $r=-2$ in der zweiten Gleichung eingesetzt: $1=-2+t$ und $2$ addiert zu $t=3$.
    • Durch Einsetzen von $t=3$ in der dritten Gleichung erhält man $9=s+6$. Subtraktion von $6$ führt zu $s=3$.
    Also sind $r=-2$ sowie $s=t=3$ die gesuchten Koordinaten.

  • Prüfe, welche der Mengen eine Basis darstellt.

    Tipps

    Vektoren sind linear abhängig, wenn sich einer der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen lässt.

    Im $\mathbb{R}^2$ sind zwei Vektoren linear abhängig, wenn sich der eine Vektor als Vielfaches des anderen darstellen lässt. Dies wird auch als Kollinearität bezeichnet.

    Es sind insgesamt drei Mengen gegeben, die eine Basis darstellen.

    Lösung

    Jede Menge mit weniger Vektoren als der Dimension des Raumes kann keine Basis sein. Damit kann die Menge mit den zwei Vektoren des $\mathbb{R}^3$ keine Basis dieses Raumes sein.

    Es liegt auch keine Basis vor, wenn die Vektoren linear abhängig sind. Das bedeutet zum Beispiel bei drei Vektoren des $\mathbb{R}^3$, dass sich einer der drei Vektoren als Linearkombination der beiden anderen darstellen lässt.

    $\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\0 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix}\right\}$

    Es ist

    $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\0 \end{pmatrix}$

    Also liegt hier keine Basis vor.

    Bei $\left\{\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\1 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\-1 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix}\right\}$

    gilt

    $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\-1 \end{pmatrix}=3\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix}$

    Auch diese Vektoren sind linear abhängig. Es liegt also keine Basis vor.

    Die verbleibende Menge an Vektoren des $\mathbb{R}^3$ ist eine Basis dieses Raumes.

    Im $\mathbb{R}^2$ kann man die lineare Abhängigkeit daran erkennen, dass einer der beiden Vektoren sich als Vielfaches des anderen schreiben lässt.

    Dies ist bei den beiden Mengen mit den Vektoren des $\mathbb{R}^2$ nicht der Fall. Beide Mengen sind Basen des $\mathbb{R}^2$.