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Anwendung des Kreuzprodukts 08:14 min

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Transkript Anwendung des Kreuzprodukts

Hallo. Ich bin Giuliano und ich möchte Dir heute erklären, wo man das Vektorprodukt anwendet. Du solltest dazu wissen, wie man das Vektorprodukt bildet und was da Skalarprodukt ist. Hier siehst Du ein Parallelogramm in einem dreidimensionalen Koordinatensystem. Und unsere Aufgabe ist es jetzt, den Flächeninhalt dieses Parallelogramms zu berechnen. Du hast die Punkte A, B, C, D dieses Parallelogramms und zwei Vektoren a und b, die dieses Parallelogramm aufspannen. Der Vektor a ist hierbei der Verbindungsvektor zwischen A und B und der Vektor b der Verbindungsvektor zwischen A und D. Du kennst bereits folgende Formel: Also der Flächeninhalt von diesem Parallelogramm, ich kürze das mit AP ab, kann man berechnen, indem man den Vektor a² mal dem Vektor b² minus (a * b)² und das Ganze in der Wurzel. AP = √(a² * b² - (a * b)²). Wenn ich hier von „mal“ spreche, spreche ich natürlich vom sogenannte „Skalarprodukt“. Jetzt kann man aber auch den Flächeninhalt wie folgt berechnen. AP gleich Vektorprodukt von a und b und das Ganze im Betrag. AP = |a x b|. Den Beweis dafür werde ich hier nicht vorführen, warum diese Formel, genauso wie diese Formel, gelten. Jetzt möchte ich mit Dir zusammen einmal diese untere Formel anwenden. Dafür nehmen wir folgendes Beispiel: Die Vektoren a und b sind meistens nicht vorgegeben, sondern die Punkte im Raum oder, ja, quasi in diesem Koordinatensystem. Das heißt, wir nehmen als Koordinaten folgende, ja, folgendes Beispiel: Also der Punkt A hat die Koordinaten zwei, minus vier und drei. A(2|-4|3). Der Punkt B hat die Koordinaten vier, minus zwei und vier. B(4|-2|4). Der Punkt C hat die Koordinaten minus vier, eins und fünf. C(-4|1|5). Und der Punkt D hat die Koordinaten minus sechs, minus eins und vier. D(-6|-1|4) Jetzt wenden wir direkt diese Formel an. Also der Flächeninhalt von diesem Parallelogramm ist Vektor a mal Vektor b. Wie ich es gerade schon erwähnt habe bedeutet das, ich muss den Verbindungsvektor von A und B im Vektorprodukt mit dem Verbindungsvektor von A, D im Betrag setzen. AP = |AB x AD| Alternativ, wenn Du auf den Punkt C guckst, kannst Du auch zwei andere Vektoren, die das Parallelogramm aufspannen für, in diese Formel einsetzen. Und zwar einmal den Vektor C, D und einmal den Vektor, oder Verbindungsvektor C, B. Dann erhältst Du dieselbe Lösung. Das bedeutet jetzt, jetzt berechne ich erstmal diesen Verbindungsvektor: Koordinaten von B minus die Koordinaten von A: 4 - 2 = 2. -2 - (-4) = 2. 4 - 3 = 1. Im Vektorprodukt mit A, D: -6 - 2 = 8. -1 - (-4), also plus vier, = 3. 4 - 3 = 1. AP = |AB x AD| = | (-2|2|1) x (8|3|1). Jetzt benutze ich eine Merkregel, um das Vektorprodukt auszurechnen. Du kannst alternativ auch andere Regeln benutzen. Ich schreibe mir damit die Vektoren einmal untereinander auf. Also zwei, zwei, eins. Und jetzt nochmal, zwei, zwei, eins. Dann minus acht, drei, eins. Die schreibe ich also hier gegenüber. So, die oberste und unterste Zeile streiche ich durch und dann rechne ich hier über Kreuz. Das heißt, hier kommt folgender Vektor raus: Betrag von 2 * 1 - 1 * 3 = -1. 1 * (-8) - 2 * 1 = -10. Und 2 * 3 - 2 * (-8) = 6 + 16 = 22. AP = |(-1|-10|22)|. Jetzt muss ich den Betrag von diesem Vektor ausrechnen, das mache ich wie folgt: Indem ich die einzelnen Koordinaten quadriere, also minus eins zum Quadrat, minus zehn zum Quadrat und dann summiere plus 22 Quadrat und das Ganze in der Wurzel.AP = √( (-1)² + (-10)² + 22²). Da kommt dann √585 raus und das ist ungefähr 24,19. Ich schreibe hier FE hin, das bedeutet Flächeneinheiten, das heißt, wenn wir zum Beispiel diese Koordinaten hier in Zentimeter angegeben haben, würde der Flächeninhalt des Parallelogramms 24,19 cm² betragen, weil das eben eine Fläche ist. Jetzt möchte ich gerne Dir noch zwei weitere Anwendungen des Vektorprodukts in der Geometrie zeigen. Hier siehst Du einmal ein Spat im dreidimensionalen Koordinatensystem. Die Grundfläche, ein Parallelogramm, wird von den beiden Vektoren a und b aufgespannt. Zusätzlich gibt es noch einen dritten Vektor c, der, in dem Falle, in die Höhe geht. Dann kann man das Volumen dieses Spats wie folgt berechnen: Auch diese Formel hier werde ich nicht beweisen. Das Volumen des Spats ist der Betrag, vom sogenannten „Spatprodukt“. Das wird wie folgt gebildet a Vektorprodukt mit b und dann das Skalarprodukt mit c und das Ganze eben im Betrag. VSpat = | (a x b) * c |. Also das Innere des Betrags nennt man „Spatprodukt“. Jetzt gucken wir uns ein letztes Beispiel an. Hier siehst Du nochmal einen Spat. Wenn wir nun die Grundfläche, das Parallelogramm, entlang der Diagonalen genau durch zwei teilen, erhalten wir ein Prisma, mit dreieckiger Grundfläche. Jetzt fragst Du Dich: Prisma, Spat? Ein Spat ist auch ein Prisma. Das heißt, wir erhalten ein Prisma, mit dreieckiger Grundfläche. Das Volumen, dieses entstandenen Prismas ist genau die Hälfte des Volumens des Spats, klar, weil wir die Grundfläche und damit den kompletten Körper eben genau durch zwei geteilt haben. Wenn wir jetzt aus diesem Prisma, mit dreieckiger Grundfläche, noch eine Pyramide machen, gilt Folgendes: Jede Pyramide hat ein Drittel des Volumens des Prismas mit gleicher Grundfläche und derselben Höhe. Das bedeutet jetzt also insgesamt, dass das Volumen dieser entstandenen, dreiseitigen Pyramide, wie man das nennt, genau ein Sechstel des Volumens des Spats hat. Weil erstmal haben wir ja das Spat durch zwei geteilt, also die Hälfte des Volumens und dann haben wir noch die Pyramideneigenschaft ein Drittel, also insgesamt ein Sechstel des Volumen des Spats. Das heißt, das schreiben wir uns hier nochmal hin, also das Volumen der dreiseitigen Pyramide ist gleich ein Sechstel des Volumens des Spats. VDr.Py. = ⅙ VSpat. Jetzt möchte ich noch einmal alles zusammenfassen: Wir haben uns zu Beginn ein Parallelogramm im dreidimensionalen Koordinatensystem angesehen und zwei Formeln, ja, kurz angesprochen, wie man den Flächeninhalt dieses Parallelogramms berechnet. Dann habe ich mit Dir zusammen den Flächeninhalt des Parallelogramms mit diesen vier Punkten hier, mit hilfe des Vektorprodukts berechnet. Als zweites haben wir uns das Volumen eines Spats angesehen und als letztes das Volumen einer dreiseitigen Pyramide hergeleitet. Ich hoffe, dass Du das alles verstanden hast und Du Spaß an dem Video hattest. Ciao und bis zum nächsten Mal, dein Giuliano.

1 Kommentar
  1. Sehr hilfreiches Video! Daumen hoch :)

    Von Florian K., vor mehr als 4 Jahren

Anwendung des Kreuzprodukts Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Anwendung des Kreuzprodukts kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Formeln zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Parallelogramms sowie des Volumens eines Spats und einer Dreiseitigen Pyramide an.

    Tipps

    Schau dir an, wie welche Figur gebildet wird.

    Eine dreiseitige Pyramide kannst du aus einem Spat gewinnen.

    Lösung

    Die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Parallelogramms lautet:

    $A_P=\left|\vec a \times \vec b\right|$.

    Ein Spat ist ein schiefes vierseitiges Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche. Das Volumen eines Spats wird über das sogenannte Spatprodukt berechnet:

    $V_{Spat}=\left|\left(\vec a \times \vec b\right)\cdot \vec c\right|$.

    • $\times$ steht für das Vektorprodukt und
    • $\cdot$ für das Skalarprodukt.
    Eine Dreiseitige Pyramide lässt sich aus einem Spat herleiten: Durch Halbierung eines Spats erhält man ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche. Eine Dreiseitige Pyramide (Dreieckspyramide) hat als Volumen gerade ein Drittel des Volumens des Prismas mit dreieckiger Grundfläche und der gleichen Höhe. Also gilt

    $V_{Dr.Pyr}=\frac 16 V_{Spat}=\frac 16 \left|\left(\vec a \times \vec b\right)\cdot \vec c\right|$.

  • Bestimme die Vektoren, deren Vektorprodukt für die Flächenberechnung des Parallelogramms berechnet werden muss.

    Tipps

    Schau dir die Skizze genau an.

    Welche Bedeutung hat der Vektor $\vec a$ und welche der Vektor $\vec b$.

    Der Ortsvektor eines Punktes $P(p_1|p_2|p_3)$ ist der Vektor $\vec p=\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2\\ p_3 \end{pmatrix}$.

    Der Verbindungsvektor zweier Punkte $P$ und $Q$ ist die Differenz vom Ortsvektor des Endpunktes und dem des Anfangspunktes:

    $\vec{PQ}=\begin{pmatrix} q_1-p_1 \\ q_2-p_2\\ q_3-p_3 \end{pmatrix}$.

    Lösung

    Zur Berechnung des Flächeninhaltes des durch die Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$ gegebenen Parallelogramms benötigt man die beiden in der Skizze zu erkennenden Vektoren $\vec a$ sowie $\vec b$.

    Es gilt

    $\vec a=\vec{AD}=\vec{BC}=\vec d -\vec a=\begin{pmatrix} -8 \\ 3\\ 1 \end{pmatrix}$

    sowie

    $\vec b=\vec{AB}=\vec{DC}=\vec b -\vec a=\begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$.

  • Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.

    Tipps

    Du kannst die folgende Merkregel zur Berechnung des Vektorproduktes verwenden:

    Schreibe die Vektoren zweimal untereinander und streiche die erste und letzte Zeile:

    $\begin{array}{c} \not{a_1}\\ a_2\\ a_3\\ a_1\\ a_2\\ \not{a_3} \end{array} \begin{array}{c} \times\\ \times\\ \times \end{array} \begin{array}{c} \not{b_1} \\ b_2\\ b_3\\ b_1\\ b_2\\ \not{b_3} \end{array}$

    Nun kannst du jeweils über Kreuz multiplizieren und die Differenz der Produkte bilden.

    Der Betrag, oder die Länge eines Vektors $\vec u$ ist wie folgt definiert:

    $\left| \vec u \right|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}$.

    Lösung

    Es gilt $\vec a=\begin{pmatrix} -8 \\ 3\\ 1 \end{pmatrix}$ und $\vec b=\begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$.

    Die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes des Parallelogramms, welches von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird, lautet:

    $A_P=\left| \begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} -8 \\ 3\\ 1 \end{pmatrix}\right|$.

    Es muss also das Vektorprodukt der beiden Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ gebildet werden.

    Dafür kann man eine Merkregel verwenden:

    • Schreibe die Vektoren jeweils zweimal untereinander,
    • streiche die erste und letzte Zeile,
    • multipliziere über Kreuz und subtrahiere die Produkte:
    $\begin{array}{c} \not{2}\\ 2\\ 1\\ 2\\ 2\\ \not{1} \end{array} \begin{array}{c} \times\\ \times\\ \times \end{array} \begin{array}{c} \not{-8} \\ 3\\ 1\\ -8\\ 3\\ \not{1} \end{array}=\begin{pmatrix} 2\cdot 1-1\cdot 3 \\ 1\cdot (-8)-2\cdot 1 \\ 2\cdot 3-2\cdot (-8) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ -10\\ 22 \end{pmatrix}$.

    Von diesem Vektor muss die Länge berechnet werden:

    $A_P=\left|\begin{pmatrix} -1 \\ -10\\ 22 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-1)^2+(-10)^2+22^2}=\sqrt{585}\approx24,19\text{ [FE]}$.

  • Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

    Tipps

    Wenn du noch einen Punkt zu dem Dreieck hinzufügst, erhältst du ein Parallelogramm.

    Betrachte das Parallelogramm, welches von den Vektoren

    • $\vec a=\vec{AB}$ sowie
    • $\vec b=\vec{AC}$
    aufgespannt wird.

    Verwende die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Parallelogramms:

    $V_P=\left|\vec a\times \vec b\right|$.

    Der Flächeninhalt des Dreiecks ist die Hälfte des Flächeninhaltes eines Parallelogramms.

    $\vec a=\begin{pmatrix} -2\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}$

    $\vec b=\begin{pmatrix} -1\\ -3\\ 4 \end{pmatrix}$

    Lösung

    An diesem Bild ist zu erkennen, dass die beiden Vektoren

    • $\vec a=\vec{AB}=\begin{pmatrix} -2\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}$ sowie
    • $\vec b=\vec{AC}=\begin{pmatrix} -1\\ -3\\ 4 \end{pmatrix}$
    ein Parallelogramm aufspannen.

    Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ ist die Hälfte des Flächeninhaltes des Parallelogramms.

    $A_D=\frac12\left|\begin{pmatrix} -2\\ -1\\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1\\ -3\\ 4 \end{pmatrix}\right|=\frac12\left| \begin{pmatrix} 5\\ 5\\ 5 \end{pmatrix}\right|=\frac12 \cdot \sqrt{5^2+5^2+5^2}\approx 4,33$ [FE].

  • Bestimme das Volumen des Spats.

    Tipps
    • $\times$ steht für das Vektorprodukt: das Ergebnis ist ein Vektor und
    • $\cdot$ steht für das Skalarprodukt: das Ergebnis ist eine Zahl.

    Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec u$ und $\vec v$ ist wie folgt definiert:

    $\vec u\cdot \vec v=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2+u_3\cdot v_3$.

    Die erste Koordinate des Vektorproduktes berechnet sich wie folgt:

    $-2\cdot 0-5\cdot 2$.

    Lösung

    Das Volumen eines Spats lässt sich mit dem Betrag des Spatprodukts der Vektoren berechnen, welche das Spat aufspannen.

    Das Spatprodukt dreier Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ ist wie folgt definiert:

    $\left(\vec a \times \vec b\right)\cdot \vec c$.

    Die Rechnung ist in dem Bild zu sehen.

    Zunächst muss das Vektorprodukt der beiden ersten Vektoren berechnet werden:

    $\begin{pmatrix} 3\\ -2\\ 5 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 2\\ 2\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (-2)\cdot0-5\cdot2 \\ 5\cdot 2-3\cdot 0\\ 3\cdot2-(-2)\cdot 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -10 \\ 10 \\ 10 \end{pmatrix}$.

    Dieser Vektor wird nun mit dem dritten Vektor multipliziert. Bei dieser Multiplikation handelt es sich um das Skalarprodukt.

    • $\times$ steht für das Vektorprodukt: das Ergebnis ist ein Vektor und
    • $\cdot$ steht für das Skalarprodukt: das Ergebnis ist eine Zahl.
    $\begin{pmatrix} -10\\ 10\\ 10 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}=-10\cdot 3+10\cdot 1+10\cdot 1=-10$.

    Nun muss noch der Betrag gebildet werden und das Volumen ist berechnet:

    $V_{Spat}=10$.

  • Gib das Volumen der Pyramide an.

    Tipps

    Die drei Vektoren, welche du für die Berechnung des Spatproduktes benötigst, sind die Ortsvektoren der Schnittpunkte.

    Beachte, dass

    • $\times$ für das Vektorprodukt steht, das Ergebnis ist ein Vektor, und
    • $\cdot$ für das Skalarprodukt, das Ergebnis ist eine Zahl.

    Das Vektorprodukt ist wie folgt definiert:

    $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$.

    Das Skalarprodukt ist wie folgt definiert:

    $\vec a \cdot \vec b=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$.

    Lösung

    Das Berechnen von Achsenschnittpunkten von Ebenen im Raum kommt häufig in Abituraufgaben vor. Wenn eine Ebene alle drei Koordinatenachsen schneidet, so kann man

    • zum einen ein Schrägbild der Ebene zeichnen und
    • zum anderen das Volumen der Dreieckspyramide berechnen, welche durch die drei Schnittpunkte und den Koordinatenursprung gegeben ist.
    Zur Volumenberechnung kann man das Spatprodukt verwenden:

    $V_{Dr.Pyr.}=\frac16\left|\left(\begin{pmatrix} 4\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 0\\ -3\\ 0 \end{pmatrix}\right)\cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 6 \end{pmatrix}\right|=\frac16\left|\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ -12 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 6 \end{pmatrix}\right|=\frac{72}6=12$.