Kreisdiagramm zuordnen

Kreisdiagramm zuordnen Übung

• Gib die Erklärung dafür an, dass das Diagramm $A$ nicht zutreffend sein kann.

  Tipps

  Gehe zunächst nach dem Ausschlussprinzip vor: Welches Diagramm kann auf gar keinen Fall passen?

  Beachte, dass es zuweilen sinnvoll ist, Werte zu runden, um einen besseren Eindruck von der Zahl zu erhalten: $75,4~\%=\frac{75,4}{100} \approx \frac34$.

  Der rote Sektor entspricht $25~\%$.

  Lösung

  Wenn die Aufgabenstellung lautet: „Welches der hier abgebildeten Diagramme gehört zu den oben beschriebenen Lebenssituationen?“, kann man nach dem Ausschlussprinzip vorgehen.

  Das bedeutet, dass man sich zunächst überlegen kann, welches Diagramm auf gar keinen Fall passen kann.

  Dann fällt einem zunächst vielleicht das Diagramm $A$ ins Auge. Der größte Bereich entspricht ungefähr zwei Dritteln, also $\frac23\approx 66,7~\%$. Jedoch lebt der größte Teil der Jugendlichen – dies sind $75,4~\%$ – in traditionellen Familienverhältnissen.

  $75,4~\%$ entspricht recht genau $\frac34$. Somit kommt $A$ schon nicht mehr in Frage.

  Es stehen also nur noch Diagramm $B$ oder $C$ zur Debatte.

• Ergänze die Erklärung dafür, dass Diagramm $B$ das für die beschriebene Situation passende Diagramm ist.

  Tipps

  Du kannst zunächst nach dem Ausschlussprinzip vorgehen: Welches Diagramm oder welche Diagramme können sicher nicht passen?

  Schaue dir die unteren drei Angaben an:

  • $17,2~\%$ leben bei ihrer Mutter,
  • $4,7~\%$ leben gemeinsam mit dem/der PartnerIn der Mutter/des Vaters und
  • $2,7~\%$ bei ihrem Vater.

  Sind diese Prozentangaben gleich groß?

  Es genügt nicht, einzelne Diagramme auszuschließen. Bei dem Verbleibenden muss zusätzlich noch geprüft werden, ob die entsprechenden Angaben passend dargestellt sind.

  Lösung

  Wenn bereits Diagramm $A$ ausgeschlossen ist, kann man wie folgt weiter vorgehen:

  Man schaut sich die weiteren Werte an. Die verbleibenden $25~\%$ verteilen sich zu einem größeren Teil auf Jugendliche, welche bei ihrer Mutter leben.

  Da bei $C$ alle verbleibenden kleineren Sektoren gleich groß sind, kann auch dieses Diagramm nicht passen.

  Nun bleibt nur noch $B$ übrig: Da in diesem Diagramm die Verhältnisse der verbleibenden Sektoren den gegebenen Prozentangaben entsprechen, kann man daraus folgern, dass dieses Diagramm zu der oben beschriebenen Situation passt.

• Entscheide, welcher der Sektoren für die jeweilige Gruppe steht.

  Tipps

  $50~\%$ entsprechen $\frac12$, also der Hälfte. Dann entsprechen $25~\%$ einem Viertel und $12,5~\%$ einem Achtel.

  Der gesamte Winkel eines Kreises beträgt $360^\circ$. Dann beträgt der Winkel eines Viertelkreises $90^\circ$.

  Du kannst dir natürlich auch die Größenverhältnisse anschauen.

  Lösung

  Wie kann man unabhängig von den Größenverhältnissen erkennen, welches Kreissegment zu welcher Prozentangabe gehört?

  Oder: Wie kann man selbst ein Kreisdiagramm anfertigen?

  Der Winkel des gesamten Kreises beträgt $360^\circ$. Wenn man nun einen Anteil $0<p<1$ eintragen möchte, so geht man wie folgt vor:

  • Man zeichnet einmal eine Strecke vom Mittelpunkt des Kreises zum Kreisrand.
  • Nun trägt man den Winkel $p\cdot 360^\circ$ ab und erhält so eine weitere Strecke vom Mittelpunkt zum Kreisrand.
  • Die beiden Strecken umschließen das gesuchte Kreissegment.

  Das bedeutet für $p=25~\%=\frac14$ einen Winkel von $90^\circ$, also ein Viertel des gesamten Winkels und somit ein Viertel eines Kreises. In dem obigen Beispiel sind alle Prozentangaben Vielfache von $\frac18$. Ein Achtel des Winkels $360^\circ$ sind $45^\circ$.

  Die oberen beiden Segmente entsprechen jeweils $25~\%$, das kleinere der beiden verbleibenden $12,5~\%$ und das größere schließlich $37,5~\%$.

• Prüfe, welches der Diagramme zu der beschriebenen Situation gehört.

  Tipps

  Überlege zunächst, ob du ein oder mehrere Diagramme ausschließen kannst.

  Schaue dir die größte Prozentangabe an. Dies sind etwas weniger als $50~\%$. Also gehört dazu ein Kreissegment, welches etwas weniger als der Hälfte des Kreises entspricht.

  Wenn du mit der größten Prozentangabe ein Diagramm ausgeschlossen hast, schaue dir die übrigen Angaben an. Diese sind nicht gleich groß. Eine Angabe ist ungefähr dreimal so groß wie die beiden übrigen, fast gleich großen Angaben.

  Lösung

  In dieser Aufgabe stehen vier Diagramme zur Auswahl. Dies erschwert die Aufgabe etwas.

  Es ist sinnvoll, sich zunächst zu überlegen, ob irgendeines der Diagramme ausgeschlossen werden kann.

  Ja: Diagramm C kann sicher nicht passen, da der größte Sektor deutlich größer als die Hälfte des Kreises ist, also mehr als $50~\%$ entspricht. Die größte Prozentangabe ist jedoch $48~\%$, etwas weniger als $50~\%$.

  Dies passt bei den übrigen Diagrammen.

  Bei dem Diagramm B sind die verbleibenden Segmente alle ungefähr gleich groß. Dies stimmt nicht mit den Prozentangaben überein. Also kann B auch nicht passen.

  Bleiben nur noch zwei: Diagramm A und D.

  Beide haben bei den verbleibenden drei Segmenten zwei kleinere, fast gleich große, und ein größeres, das ungefähr dreimal so groß ist wie die beiden kleineren. Beide Diagramme passen zu der Befragung.

• Beschreibe, was bei der Überprüfung zu beachten ist.

  Tipps

  Stelle dir die folgende Aufgabenstellung vor: Prüfe, ob eines der Diagramme zu der beschriebenen Situation passt.

  Es gibt mehrere Möglichkeiten. Es kann sein, dass kein Diagramm passt oder eines oder mehrere.

  Stelle dir folgende Situation vor: In einem Raum befinden sich drei Fans vom FC Bayern München. Du sollst nun prüfen, ob eine dieser drei Personen Fan von Borussia Dortmund ist.

  Du befragst die beiden ersten, die (natürlich) Fans vom FC Bayern München sind. Nun folgerst du, dass der letzte Borussia Dortmund-Fan sein muss. Dies ist aber keine korrekte Folgerung, weil ja alle drei Fans von Bayern München sind.

  Das bedeutet, du musst auch den letzten noch nach seinem Lieblingsverein befragen.

  Lösung

  Wenn man entscheiden will, welches von den gegebenen Kreisdiagrammen einer beschriebenen Situation entspricht, kann man natürlich zunächst einige Diagramme ausschließen.

  Wenn schließlich und endlich nur noch eines übrig bleibt, kann man allerdings nicht folgern, dass dieses das Passende ist. Das muss dann noch überprüft werden.

  Es kann ja auch passieren, dass eine beschriebene Situation durch ein oder mehrere Diagramme beschrieben wird oder vielleicht durch gar keines.

  Also: Es genügt nicht, einige Diagramme auszuschließen. Die Verbleibenden müssen auch noch überprüft werden.

• Ordne dem Diagramm die beschriebene Situation zu.

  Tipps

  Auch hier kannst du zunächst ausschließen. Jedes der Diagramme zeigt drei Sektoren.

  Wenn eine Prozentangabe nicht gegeben ist, so kannst du diese berechnen, indem du die gegebenen von $100~\%$ abziehst.

  Natürlich gehören zwei der beschriebenen Situationen zu keinem der dargestellten Diagramme.

  Lösung

  Man kann sich bei jedem der Diagramme überlegen, ob es überhaupt zu einer der Situationen passt. In dieser Aufgabe ist es so, dass man die Situation ausschließen kann.

  Bei C geht es nur um Belegen des Förderkurses oder nicht. Dies sind nur zwei Möglichkeiten mit jeweils $50~\%$. Dazu kann keines der Diagramme passen, da jeweils drei Sektoren zu sehen sind.

  Keines der Diagramme hat einen $75~\%$ entsprechenden Sektor, also kann auch F ausgeschlossen werden.

  Nun können die verbleibenden vier Situationen auf die Diagramme verteilt werden.

  A: $50~\%$ kommt sowohl in dem blauen wie dem violetten Diagramm vor. Welches ist es nun? Da in dem violetten Diagramm die beiden verbleibenden Sektoren gleich groß sind, kann dieses nicht passen. Der größere Sektor in dem blauen Diagramm ist dreimal so groß wie der kleinere. Dies ist auch das Verhältnis der Prozentangaben zueinander. Zu A gehört das blaue Diagramm.

  B Zwei Prozentangaben sind gleich groß. Dies liegt bei dem roten wie bei dem violetten Diagramm vor. Da bei dem violetten $50~\%$ zu erkennen sind, kann dies nicht zu B passen. Also muss es das rote Diagramm sein. Der kleinere Sektor entspricht $25~\%$. Damit entsprechen die beiden größeren $(100~\%-25~/%):2=37,5~%$. Fein, das passt zu B, also das rote Diagramm.

  D: $25~/%$, $25~\%$ und $50~\%$ – das muss das violette Diagramm sein. Dies wurde schon bei A oder B erklärt.

  E: Es bleibt nur noch das grüne Diagramm. Erkennbar sind $25~\% $ sowie die Hälfte davon, also $12,5~\%$. Es verbleiben $100~\%-25~\%-12,5~\%=62,5~\%$. Dies sind gerade die Angaben aus der Situation E.