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Kommutativgesetz und Vertauschungsgesetz 06:26 min

Textversion des Videos

Transkript Kommutativgesetz und Vertauschungsgesetz

Hallo! Was denkst du: ist es egal, ob man sagt, dass Lilli mit Niko oder Niko mit Lilli spielt. Es macht eigentlich keinen Unterschied, wie man es sagt. Letztendlich spielen sie einfach zusammen. Du fragst dich bestimmt, was das mit Mathe zu tun hat? Ich will es dir sagen: denn auch in Mathe ist es manchmal – aber nicht immer – egal, in welcher Reihenfolge man eine Aufgabe rechnet. Zum Beispiel bei der Addition:

3 + 4 = 7 oder 4 + 3 = 7 Das Ergebnis bleibt das Gleiche.

Das mathematische Gesetz, das uns das erlaubt, nennt man Vertauschungsgesetz oder Kommutativgesetz.

Die nächste Rechenart ist die Subtraktion.

8 – 5 = 3 Aber: 5 – 8 = ??? Das kannst du nicht ausrechnen.

Das Kommutativgesetz gilt also nicht für die Subtraktion. Du kennst aber noch zwei Rechenarten: Die Multiplikation und die Division. Die müssen wir jetzt überprüfen. Es sind 20 Kirschen gerecht Lilli und Niko zu verteilen. Also bekommt jeder 10. Dann ist es egal, ob man sagt: Lilli und Niko bekommen 10 Kirschen oder 10 Kirschen werden an Lilli und Niko verteilt. 2 x 10 = 20 bringt das gleiche Ergebnis wie 10 x 2 = 20

Somit hat sich gezeigt: Das Kommutativgesetz gilt auch für die Multiplikation.

Ahnst du schon, ob eventuell bei der Division Probleme geben könnte? Fangen wir wieder mit einem einfachen Beispiel an. 8 : 4 = 2 4 : 8 = ? Das kannst du noch nicht berechnen. Es ergibt auf jeden Fall nicht 2. Solche Aufgaben kannst du zur Zeit auch noch gar nicht rechnen.

Also: Das Kommutativgesetz gilt nicht für die Division.

Das Kommutativgesetz hat Vorteile für das Rechnen. Hier ist ein Beispiel für die Addition: Was ist wohl einfacher zu rechnen? 23 + 45 + 37 + 55 oder 23 + 37 + 45 + 55 ? Bei näherem Hinsehen auf jeden Fall die zweite Aufgabe.

23 + 37 lässt sich schnell zu 60 addieren, 45 + 55 zu 100 Zusammen ergibt es 160.

In der ersten Summe musst du mehr überlegen: 23 + 45 = 68 und 37 + 55 = 92 Das ergibt zusammen auch 160; aber dafür braucht man etwas länger.

Auch bei der Multiplikation kann man sich das Rechnen erleichtern: 2 x 7 x 5 x 6 Das sollten wir besser umstellen. Hast du einen Vorschlag? Wenn du näher hinsiehst, merkst du sofort, dass 2 x 5 = 10 sehr gut zusammen passen. Dann bleiben noch 7 x 6 = 42 Also. 2 x 5 x 7 x 6 = 10 x 42 = 420 Und schon bist du fertig. Jetzt noch eine letzte Aufgabe. 10 x 7 x 2 x 50 x 19 Eine gute Vertauschung könnte so aussehen: 10 x 2 x 50 x 7 x 19 = 10 x 100 x 133 = 1000 x 133 = 133000 Heute hast du wieder viel gelernt. Merke dir Folgendes: Das Gesetz, das erlaubt, Zahlen bei einer Rechenart zu vertauschen, heißt Vertauschungsgesetz oder Kommutativgesetz. Das gilt für die Addition und die Multiplikation. Besonders schön ist, dass das Gesetz dir beim Rechnen auch Vorteile bringt. Lilli und Niko spielen jetzt wieder weiter zusammen. Und danach wollen sie noch ein paar Additions- und Multiplikationsaufgaben vertauschen. Versuch das doch auch mal.

Tschüss!

28 Kommentare
  1. NEUE SCHULE JUHU

    Von Moritz H., vor 3 Monaten
  2. Sehr gut gemacht 😊👍🏼

    Von Rudolf Herr, vor 5 Monaten
  3. Ich habe in der Arbeit eine 2 bekommen , danke 🥇

    Von Woellenweber, vor 8 Monaten
  4. Gute Übungen👌🙂

    Von Pfleiderersi, vor 9 Monaten
  5. Super Video,👍

    Von Rebecca P., vor 9 Monaten
  1. danke super viedeo hat mir viel geholfen jetzt kriege ich bestimmt eine 1 im mathetest

    Von Yavoz, vor 10 Monaten
  2. Hallo Naon,
    deine Aufgabe heißt: 8 - 5 = 3.
    Wenn du die Zahlen vor dem Gleichzeichen umdrehst, heißt sie: 5 - 8 = 3. Und das stimmt ja nicht! Deswegen kannst du hier die Zahlen vor dem Gleichzeichen nicht vertauschen.
    Auch bei der Division ist das so.
    Deine Aufgabe: 8 : 4 = 2
    Wenn du die Zahlen vor dem Gleichzeichen umdrehst heißt sie: 4 : 8 = 2. Und das stimmt auch nicht! Deswegen kannst du das hier nicht machen.
    Natürlich kannst du aber bei den Aufgaben eine Umkehraufgabe bilden:
    8 - 5 = 3 und 8 - 3 = 5
    8 : 2 = 4 und 8 : 4 = 2
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Alicia v. L.C., vor etwa einem Jahr
  3. ...und bei der Division 8:2=4 statt 8:4=2

    Von Xmina Xp, vor etwa einem Jahr
  4. Es klappt doch aber bei der Subtraktion, 8-5=3, können doch auch 8-3=4 sein, oder?

    Von Xmina Xp, vor etwa einem Jahr
  5. ich habe euch lieb

    Von Moritz H., vor etwa einem Jahr
  6. Suuuuuuuuuuper

    Von Dieser Oualido, vor fast 2 Jahren
  7. wenn man 123456789+987654321 ist die Reihnfolge egal man kann genau so gut 987654321+123456789 rechnen. Es wurde daher im Vidio sehr gut erklärt. : ) ( :

    Von Angelina Kaiser 96, vor etwa 2 Jahren
  8. Ich mag die Videos mit Nico und Lilly sehr.sie sind sehr gut erklärt.

    Von Marie R., vor etwa 2 Jahren
  9. Man kann auch 5-8 ausrechnen, es kommt nur ein anderes Ergebnis raus als bei 8-5.

    Von Darleen 1, vor mehr als 2 Jahren
  10. thx
    :-)

    Von salih han b., vor mehr als 2 Jahren
  11. gutes video

    Von salih han b., vor mehr als 2 Jahren
  12. Das Video ist sehr gut.

    Von Exhartmann, vor mehr als 2 Jahren
  13. Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Thomas Scholz, vor fast 3 Jahren
  14. es ist gut erklährt aber ich hab es immer noch nicht verstanden

    Von Angela Y., vor fast 3 Jahren
  15. Gut Erklärt

    Von Chehata, vor mehr als 3 Jahren
  16. Ich hatte es nie verstanden aber jetzt schön Dankeschön ^^

    Von Ramazan Ö., vor mehr als 3 Jahren
  17. Gut erklärt.

    Von Mailbox 3, vor fast 4 Jahren
  18. Sehr sehr GUTES Video

    Von Marion Egeter, vor etwa 4 Jahren
  19. Von Marion Egeter, vor etwa 4 Jahren
  20. SPECTERISCH

    Von Duy H., vor etwa 4 Jahren
  21. finde ich auch

    Von Abdel O., vor etwa 5 Jahren
  22. Super Video

    Von Hummelbulle, vor mehr als 6 Jahren
  23. so kann ich das auch prima verstehen!

    Von Nachhilfe2012, vor etwa 7 Jahren
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Kommutativgesetz und Vertauschungsgesetz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kommutativgesetz und Vertauschungsgesetz kannst du es wiederholen und üben.

  • Bei welchen Aufgaben ist es egal in welcher Reihenfolge du die Aufgabe löst? Bestimme.

    Tipps

    Finde es heraus, indem du die Reihenfolge wirklich änderst.

    • Was ist 5 + 1 ?
    • Und was ist 1 + 5 ?
    Kommen hier die gleichen Ergebnisse heraus? Falls ja, ist die Reihenfolge hier egal!

    Lösung

    Zuerst siehst du dir die leichteste Aufgabe an:

    3 + 4 = 7. Das kannst du berechnen! Nun tauschst du die Summanden 3 und 4.
    Somit erhältst du 4 + 3 = 7. Das stimmt, denn 4 + 3 ist tatsächlich auch 7.

    Damit hast du gezeigt, dass die Reihenfolge der Berechnung dieser Aufgabe egal ist.

    Mit der Subtraktionsaufgabe, der Multiplikationsaufgabe und Divisionsaufgabe tust du das Gleiche! Du wirst sehen, dass man Multiplikationsaufgaben tauschen kann. Subtraktionsaufgaben und Divisionsaufgaben kann man nicht tauschen.

  • Wie lautet die Aufgabe vereinfacht? Gib an.

    Tipps

    Je zwei Zahlen kann man leicht addieren! Welche sind das?

    Die beiden Zahlen, die man leicht addieren kann, stehen nebeneinander.

    Lösung

    Suche dir zuerst je zwei Zahlen, die so schön zusammenpassen, dass du sie leicht addieren kannst.

    Die Zahlen 37 und 23 passen gut zusammen und die 45 und 55 auch.

    • 37 + 23 = 60
    • 45 + 55 = 100
    Das geht doch viel einfacher als zum Beispiel 37 + 45 = ?

    Nun hast du die Zahlen, die man leicht addieren kann gefunden. Diese trägst du nur noch nebeneinander in die entsprechenden Lücken ein.

  • Wie lautet der Merksatz zum Vertauschungsgesetz? Zeige auf.

    Tipps

    Lies dir den Satz und die Lücken zuerst in Ruhe durch! Der zweite Satz ist leichter! Beginne mit diesem!

    Für welche Rechenarten gilt der neue Merksatz?

    Überlege dir, was dir dieses Gesetz erlaubt.

    Lösung

    Zuerst betrachtet man sich die Lücken und die Sätze ganz genau und beginnt mit dem leichteren Satz.

    Die Lücken lassen erkennen, dass es sich hier um den Merksatz zum Vertauschungsgesetz handelt. Dieses gilt für nur zwei Rechenarten, nämlich die Addition und die Multiplikation. Somit ist der zweite Satz schon gelöst.

    Der erste Satz beschreibt was dieses Gesetz erlaubt und wie man dieses nennt.

  • Wie müssen die Aufgaben vereinfacht aussehen? Prüfe.

    Tipps

    Suche zuerst die Zahlen, die leicht zu multiplizieren oder addieren sind.

    Wenn man eine Zahl mit einer Stufenzahl (10, 100, 1000...) multipliziert, denkt man sich zuerst die Nullen der Stufenzahl weg, berechnet die Aufgabe und hängt die weggedachten Nullen am Ergebnis ran!

    Lösung

    Zu Aufgabe 1:

    Die Ausgangsaufgabe ist angegeben und der Anfang der vereinfachten Aufgabe ebenso 12 + 66 + 48 + 24 = 12 +.

    Nun suche dir den Summanden in der Ausgangsaufgabe, den man leicht zu 12 zu addieren kann. 12 und 48 passen sehr gut. Das heißt, deine erste Lücke ist die 48. Du ergänzt sie in der Aufgabe 12 + 66 + 48 + 24 = 12 + 48 +.

    Nun bleiben noch die beiden Summanden 66 und 24 übrig. Es ist egal in welcher Reihenfolge du die beiden Summanden in die Lücken einträgst. So erhältst du am Ende:

    • 12 + 66 + 48 + 24 = 12 + 48 + 66 + 24.
    Am Ende musst die Aufgabe nur noch berechnen. Dazu zerlegst du die Aufgabe in zwei einzelne Aufgaben, nämlich 12 + 48 und 66 + 24.

    12 + 48 = 60 und 66 + 24 = 90. Diese beiden Summen addierst du und erhältst 60 + 90 = 150.

    Du gehst bei den restlichen Aufgaben genauso vor.

  • Wie lautet die passende Tauschaufgabe? Zeige auf.

    Tipps

    Achte auf die Rechenzeichen. Nur Additionsaufgaben und Multiplikationsaufgaben lassen sich vertauschen.

    Lösung

    Suche dir auf der linken Seite eine Aufgabe aus und überlege dir eine Tauschaufgabe dazu. Findest du diese Aufgabe auf der rechten Seite? Dann verbinde die beiden.

    Eine Tauschaufgabe bildet man, in dem man die beiden Summanden oder Faktoren vertauscht. Man erhält das gleiche Ergebnis wie bei der Ausgangsaufgabe.

    Folgende Aufgabe ist gegeben: 4 + 2 = 6. Die beiden Summanden 4 und 6 sollen nun getauscht werden. Somit erhält man die Aufgabe 2 + 4 und auch diese hat das Ergebnis 6.

    Daraus folgt, dass die Aufgaben 4 + 2 und 2 + 4 zusammengehören. Genauso gehst du auch bei den Aufgaben zur Multiplikation vor.

  • Welche Tauschaufgabe gehört zu welcher Aufgabe? Ergänze.

    Tipps

    Notiere dir die Aufgabe, welche du hörst, und entscheide anschließend, welche Tauschaufgabe dazu passt!

    Achte auf die Rechenzeichen!

    Lösung

    Höre dir die Aufgaben aufmerksam an.

    Eine Aufgabe lautet 5 + 7 = 12. Vertausche nun die Summanden 5 und 7. So erhältst du die neue Aufgabe 7 + 5. Diese Tauschaufgabe setzt du unter die entsprechende Audiodatei.

    Die nächste Aufgabe ist 12 · 2 = 24. Vertausche hier die Faktoren 12 und 2. So erhältst du die neue Aufgabe 2 · 12. Diese Tauschaufgabe setzt du unter die entsprechende Audiodatei.

    Bei den anderen beiden Aufgaben gehst du genauso vor!