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Kommutativgesetz – Erklärung

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Martin Wabnik
Kommutativgesetz – Erklärung
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Kommutativgesetz – Erklärung

Das vorliegende Video beschäftigt sich ausschließlich mit dem Kommutativgesetz der Addition. Das Kommunikativgesetz bzw. Vertauschungsgesetz der Addition besagt, dass es egal ist, in welcher Reihenfolge man zwei Zahlen addiert. Im Video wird dir an einigen Beispielen erklärt, warum das Kommunikativgesetz gilt. Es existieren sogar einige Situationen, in der das Kommunikativgesetz - zumindest gefühlt - nicht gilt. Überlege dir im Anschluss, ob es Situationen gilt, in denen das Rechengesetz nicht gilt. Viel Spaß beim Schauen des Films!

Transkript Kommutativgesetz – Erklärung

Hallo! Hier ist wieder das Kommutativgesetz. Also nicht ich, sondern das hier ist das Kommutativgesetz. Einmal ist es hier mit Variablen dargestellt, hier mit den Kisten. Du kannst jetzt für die Variablen Zahlen einsetzen, zum Beispiel und hier auch und erhältst beides Mal das gleiche Ergebnis. Du kannst dir das auch mit den Kisten vorstellen, dass du in die Kisten Zahlen einsetzt, ich mach die jetzt gar nicht auf dafür, dann kommt auch hier und hier das gleiche Ergebnis raus und ich habe behauptet, du kannst dich darauf verlassen, dass das immer der Fall ist. Wie kannst du da sicher sein? Nun, ich glaube, dass bisher dir kein Fall bekannt ist, bei dem diese Summe und diese Summe unterschiedlich waren, wenn du für die Variablen a und b Zahlen eingesetzt hast. Allerdings hast du das nicht mit allen Zahlen getestet, da bin ich völlig sicher, denn es gibt viel zu viele Zahlen, kein Mensch kann das mit allen Zahlen testen. Wenn du jetzt wissen willst, ob du dich darauf verlassen kannst oder nicht, wäre es gut also, die Idee dahinter zu verstehen, und dazu leg ich das mal hier an die Seite. Zahlen stehen für bestimmte Größen, zum Beispiel könnte das eine Zahl repräsentieren und das auch.Wenn ich diese beiden Zahlen nebeneinanderlege, haben die eine bestimmte Länge. Wenn ich diese beiden vertausche, dann ist die Länge genauso groß. Das sagt einem der gesunde Menschenverstand, und dir sagt das dein gesunder Menschenverstand vermutlich auch. Das ist die Idee dahinter, das klappt mit allen Zahlen, mit jeder Länge, das kennst du so aus dem Alltag, also es wäre schon sehr verwunderlich, wenn das irgendwann mal nicht der Fall sein sollte. Noch ein Beispiel kann ich zeigen, das ist mit Geld. Mal angenommen, du hast 10 Euro und 5 Euro und addierst die jetzt. Na, welches Pluszeichen nehm ich, dieses hier. Dann könnte es sein, dass du so rum addierst und es dann zum Beispiel mehr wird. Dann könntest du wieder 1 Euro wegnehmen, das zurückersetzen, wieder 10 Euro und 5 Euro vertauschen und dann hättest du wieder 1 Euro mehr hier und den kannst du wieder zurücklegen und ja, das klappt natürlich nicht, das ist Unsinn. Wenn man die Euros vertauscht, bleiben das immer in der Summe gleich viele, das kennst du auch aus dem Alltag, sonst würde sich ja jeder durch dieses einfache Vertauschen ganz viele Euros basteln. Es geht aber auch mit etwas Böswilligkeit so, dass das Kommutativgesetz nicht unbedingt gilt. Das bedeutet: zum Beispiel könnte ich dir anbieten, das ist ziemlich viel Geld, das sind 265 Euro glaub ich, und hier ist noch 1 Euro. Wenn du jetzt gefragt werden würdest "Möchtest du erst 265 Euro und dann 1 Euro?", zum Beispiel einen Monat später, oder möchtest du das umgekehrt - du kriegst heute 1 Euro und kriegst das restliche Geld einen Monat später - wofür würdest du dich entscheiden? Wahrscheinlich dafür, zunächst das Geld zu nehmen und auf den Euro einen Monat zu warten. Obwohl das in der Summe das Gleiche ist, wäre es für dich nicht das Gleiche, wenn du in dieser Situation wärst. Das ist ein bisschen hakelig, das so zu konstruieren. Es gibt noch eine Konstruktion. Zum Beispiel kann ich diese Hantelscheibe und diesen Schwamm übereinander legen, dann entsteht ein Turm. Also Hantelscheibe + Schwamm. Das kann ich aber auch umgekehrt machen, und du ahnst, was jetzt passiert. Der Turm hat jetzt nicht mehr die gleiche Höhe, weil nämlich die Hantelscheibe den Schwamm platt drückt. Man kann immer Ausnahmen produzieren dafür, für dieses Kommutativgesetz, aber die eigentliche Idee dahinter, nämlich dass 2 Längen zusammen immer gleich lang sind, egal in welcher Reihenfolge man sie addiert beziehungsweise, dass eine Summe von Zahlen nicht von der Reihenfolge abhängt, die kannst du verstehen und die kannst du auch sinnvoll anwenden. Viel Spaß damit, tschüss.

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. Danke!Hat mir sehr geholfen.

    Von Kirsch Alex, vor mehr als 4 Jahren
  2. tolles video

    Von Abdel O., vor fast 7 Jahren
  3. habe eine 1 gekriekt

    Von Henry Elflein, vor etwa 7 Jahren
  4. super

    Von Carsten W., vor mehr als 7 Jahren
  5. Lieber Martin . Dieses Vhat meinem kleinen Bruder zu einer 2 in der Mathearbeit geholfen!! Vielen dank

    Von Selina Mailbox, vor etwa 8 Jahren
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Kommutativgesetz – Erklärung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kommutativgesetz – Erklärung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Bedeutung des Kommutativgesetzes.

    Tipps

    Der Begriff „Kommutativgesetz“ kommt aus dem Lateinischen: commutare bedeutet vertauschen.

    Allgemein lautet das Kommutativgesetz

    $a+b=b+a$.

    Du kannst für $a$ und $b$ jede beliebige Zahl oder auch jeden beliebigen Buchstaben einsetzen.

    Überlege dir weitere Beispiele:

    Familie Glasbach - Mutter und Vater sowie drei Kinder: Paul, Klaus und Amy - stellen sich in verschiedenen Anordnungen auf. Es bleibt immer die gleiche Familie.

    Lösung

    Ganz allgemein besagt das Kommutativgesetz, dass beim Addieren die Reihenfolge der Summanden egal ist:

    $a+b=b+a$.

    Wenn man für $a$ und $b$ Zahlen einsetzt, zum Beispiel $a=3$ und $b=4$ erhält man

    $3+4=4+3$.

    Das ist sicherlich richtig, da auf beiden Seiten $7$ steht. Nur kann man dies nicht für alle möglichen Zahlen prüfen.

    Man kann sich dies auch an Längen klarmachen, wie hier zu sehen ist.

    Wenn man sich das am Beispiel von Geld überlegt, ist es klar, dass es egal ist, ob man ein Rechnung über 15 €

    • zuerst mit einem $10~€$- und dann mit einem $5 ~€$-Schein
    • oder umgekehrt bezahlt.
    Allerdings ist es bei dem Beispiel mit der Hantel und dem Schwamm nicht egal, welches der beiden oben liegt. Liegt die Hantel ob, drückt sie den Schwamm platt. Der entsprechende Turm ist nicht so hoch wie der mit dem oben liegenden Schwamm. Der drückt nämlich die Hantel nicht platt.

  • Überprüfe das Kommutivgesetz für $a=3$ und $b=4$.

    Tipps

    Das Kommuativgesetz besagt, dass man die Reihenfolge beim Addieren zweier Zahlen vertauschen kann.

    Achte darauf, die Werte an den entsprechenden Stellen einzusetzen.

    Hier siehst du ein Beispiel für das Kommutativgesetz mit $a=2$ und $b=5$.

    Lösung

    Wenn man eine Aussage wie $a+b=b+a$ überprüfen müsste, müsste man beliebige Werte für $a$ und $b$ darin einsetzen. Dies ist jedoch nicht möglich, da es einfach zu viele solcher Werte gibt.

    Nichtsdestotrotz sei dies hier mal an einem Beispiel gezeigt mit $a=3$ und $b=4$. Es gilt

    $3+4=7=4+3$.

    Das ist sicher richtig. Für $a=3$ und $b=4$ gilt das Kommutativgesetz auch. Sicher wird man keine Zahlen finden, bei denen dies nicht gilt.

  • Ordne jedem der Terme mit Hilfe des Kommutativgesetzes den zugehörigen Term zu.

    Tipps

    Nach dem Kommutativgesetz darf bei der Addition die Reihenfolge der Summanden vertauscht werden.

    Das Kommutativgesetz gilt auch für Variablen.

    Hier siehst du ein Beispiel für das Kommutativgesetz.

    Lösung

    Der Name des Kommutativgesetzes kommt aus dem Lateinischen: commutare. Dies steht für vertauschen.

    Somit besagt das Kommutativgesetz, dass man beim Addieren von zwei Zahlen deren Reihenfolge vertauschen kann. Ein solches Gesetz existiert übrigens auch für die Multiplikation, jedoch nicht für die Subtraktion oder die Division.

    Das Kommutativgesetz gilt auch, wenn man statt Zahlen Buchstaben oder Variablen verwendet.

    • $4+x=x+4$
    • $5+4=9=4+5$
    • $x+5=5+x$
    • $x+4y=4y+x$
  • Prüfe die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Wenn du glaubst, dass eine Aussage nicht stimmt, suche ein Gegenbeispiel.

    Wende das Kommutativgesetz an auf

    $5-3$.

    Was fällt dir auf?

    Manchmal ist es geschickt, nicht von links nach rechts zu addieren, sondern Summanden so zusammenzufassen, sodass ganze Zehner oder Hunderter herauskommen.

    Lösung

    Nach dem Kommutativgesetz darf man beim Addieren von zwei Zahlen deren Reihenfolge vertauschen. Dies gilt auch, wenn man statt Zahlen Variablen verwendet.

    Dies gilt ebenfalls für die Multiplikation, jedoch nicht für die Subtraktion oder die Division.

    Dass dies für die Subtraktion und Division nicht gilt, kann man sich an Beispielen klarmachen:

    $3-2=1\neq-1=2-3$ oder

    $4:2=2\neq\frac12=2:4$.

    Wenn eine Aussage nicht stimmt, genügt es immer, ein Gegenbeispiel zu finden.

    Bei gleichen Rechenoperationen kann man das Kommutativgesetz auch bei mehreren Summanden oder Faktoren durchführen:

    $2+3+8=2+8+3=10+3=13$. Warum ist es hier sinnvoll, die Summanden zu vertauschen? Es ist immer sinnvoll, Summanden so anzuordnen, dass ganze Zehner oder Hunderter herauskommen.

    $2\cdot 24\cdot 5=2\cdot 5\cdot 24=10\cdot 24=240$. Auch hier wird durch das Vertauschen das Rechnen erleichtert.

  • Gib das Kommutativgesetz an.

    Tipps

    Hier siehst du ein Beispiel für das Kommutativgesetz.

    Commutare kommt aus dem Lateinischen und heißt vertauschen.

    Vertauschen bedeutet nicht, dass du die Rechenoperationen vertauschst.

    Es existiert auch ein Kommutativgesetz der Multiplikation.

    Lösung

    Das Kommutativgesetz der Addition besagt, dass man beim Addieren zweier Zahlen deren Reihenfolge vertauschen kann:

    • $4+3=3+4$
    • $7+2=2+7$
    • $13+8=8+13$
    • ...
    Allgemein stellt man dies wie folgt dar:

    $a+b=b+a$.

  • Wende das Kommutativgesetz an, um den Term zu vereinfachen.

    Tipps

    Das Kommutativgesetz gilt nicht für die Subtraktion. Jedoch kannst du beim Subtrahieren vertauschen, wenn du auf das Vorzeichen achtest. Dann addierst du nämlich eine negative Zahl und somit gilt das Kommutativgesetz der Addition.

    Du kannst Terme mit gleichen Variablen addieren oder subtrahieren, indem du deren Koeffizienten addierst oder subtrahierst. Ein Beispiel ist hier zu sehen.

    Terme werden gemäß der Variablen sortiert.

    $2-5x+2y=-5x+2y+2$

    • An erster Stelle steht $-5x$, da $x$ im Alphabet vor $y$ kommt.
    • Deshalb folgt jetzt $+2y$.
    • Am Schluss steht die konstante Zahl $+2$.

    Lösung

    Oh, dieser Term sieht schon etwas komplizierter aus. Wenn man genauer hinschaut, können wir aber Terme zusammenfassen. Und dann ist Vieles leichter. Dieser Term beinhaltet

    • konstante Zahlen und
    • die beiden Variablen $x$ oder $y$.
    Vor dem $x$ und dem $y$ stehen Zahlen. Wenn dort keine Zahl steht, so bedeutet dies $1\cdot$. Steht dort ein $-$, bedeutet dies $-1\cdot$. Die Faktoren vor den Variablen werden als Koeffizienten bezeichnet.

    Wenn also Terme mit gleichen Variablen addiert oder subtrahiert werden sollen, addiert oder subtrahiert man deren Koeffizienten.

    So, nun kann der obige Term vereinfacht werden:

    1. Zunächst vertauscht man alle Summanden so, dass einander entsprechende Terme zusammen stehen: $3+5+3+4x+x-x-7y+4y$.
    2. Nun können die Terme addiert oder subtrahiert werden: $11+4x-3y$.
    3. Man schreibt solche Terme üblicherweise so, dass sie geordnet werden nach den Variablen: $4x-3y+11$.
    4. Dieser Term kann dann nicht weiter vereinfacht werden.

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