Kommutativgesetz der Multiplikation mit Erklärung
Beschreibung Kommutativgesetz der Multiplikation mit Erklärung
Das Kommutativgesetz der Multiplikation lautet: ab=ba. Das bedeutet: Man kann die beiden Faktoren einer Mulitplikation vertauschen, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Im Video kannst du sehen, wie du Zahlen in die Formel einsetzen kannst und wie du das Kommutativgesetz anwenden kannst. Oftmals verwenden wir es, um einfacher rechnen zu können. Am Ende des Videos siehst du dann noch zwei Begründungen des Kommutativgesetzes: Eine Begründung ergibt sich aus der schriftlichen Multiplikation und dem kleinen Einmaleins und die andere Begründung ist anschaulich.
Kommutativgesetz der Multiplikation mit Erklärung Übung
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Ergänze die Erklärung zum Kommutativgesetz der Multiplikation.
TippsEin Produkt setzt sich aus zwei Faktoren zusammen.
Kann man die $9$ und die $5$ auch vertauschen? Was ist $9\cdot 5$? Und kommt dasselbe Ergebnis heraus?
LösungDas Kommutativgesetz der Multiplikation besagt, dass man bei der Multiplikation die Reihenfolge der Faktoren vertauschen darf. Ein Produkt besteht nämlich aus zwei Faktoren.
Hier ist ein Beispiel zu sehen:
- $7\cdot 5=35$
- Wenn man die Reihenfolge vertauscht, erhält man $5\cdot 7$.
- Das Ergebnis ist ebenfalls $35$.
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Beschreibe das Kommutativgesetz der Multiplikation anschaulich.
TippsDie Anzahl der Kreise ist gleich, egal ob man zeilen- oder spaltenweise zählt.
Die Multiplikation ist eine abkürzende Schreibweise für eine wiederholte Addition mit einem wiederkehrenden Summanden.
Schaue dir hierfür das folgende Beispiel an.
$5+5+5+5+5+5+5=7\cdot 5$.
LösungIn diesem Bild befinden sich, durch $\dots$ angedeutet,
- $a$ Zeilen mit jeweils $b$ Kreisen oder
- $b$ Spalten mit jeweils $a$ Kreisen.
Betrachten wir die Zeilen:
- In einer Zeile befinden sich $b$ Kreise.
- Dann befinden sich in zwei Zeilen $b+b=2\cdot b$ Kreise.
- ...
- Schließlich befinden sich in $a$ Zeilen $a\cdot b$ Kreise.
- In einer Spalte befinden sich $a$ Kreise.
- Somit befinden sich in zwei Spalten $a+a=2\cdot a$ Kreise.
- ...
- Dann befinden sich in $b$ Spalten $b\cdot a$ Kreise.
$a\cdot b=b\cdot a$
gelten muss.
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Wende jeweils das Kommutativgesetz der Multiplikation an.
TippsDas Kommutativgesetz der Multiplikation besagt, dass die Reihenfolge der Faktoren vertauscht werden darf.
Du kannst für $a$ und $b$ beliebige Zahlen oder Buchstaben einsetzen. Das Kommutativgesetz gilt immer.
Bei den Beispielen, in denen nur Zahlen vorkommen, kannst du auch die Ergebnisse berechnen und vergleichen.
LösungEgal, was man für $a$ und $b$ einsetzt, dieses Kommutativgesetz gilt immer. Schauen wir uns die Beispiel einmal genauer an:
- $13\cdot 5$. Hier ist $a=13$ und $b=5$. Also gilt $13\cdot 5=5\cdot 13$.
- Dasselbe gilt auch für $a\cdot 4=4\cdot a$,
- $7\cdot b=b\cdot 7$,
- $3\cdot 15=15\cdot 3$ und
- $7\cdot 4=4\cdot 7$.
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Prüfe, ob richtig gerechnet wurde.
TippsBeachte: Es gilt Punkt geht vor Strich.
Rechne jeweils das Ergebnis der anfänglichen Aufgabe aus und vergleiche dies entweder mit dem angegebenen Ergebnis oder dem Ergebnis der Umformung.
Du kannst insgesamt drei Fehler entdecken.
LösungHier sind einige Beispiel, in denen das Kommutativgesetz angewendet wird.
Aber nicht vergessen bei aller Begeisterung für das Kommutativgesetz: Es gilt immer noch Punkt geht vor Strich.
- $32\cdot 2=2\cdot 32=64$. Diese Aufgabe ist komplett richtig.
- $32\cdot 2+3=2\cdot 32+3=64+3=67$. Es darf allerdings nicht die Reihenfolge der beiden Summanden vertauscht werden.
- $17\cdot 3=3\cdot 17$. Das ist richtig. Das Ergebnis ist jedoch $51$.
- $17\cdot 3-17=3\cdot 17-1\cdot 17$. Wenn man von dreimal $17$ einmal $17$ abzieht, bleiben zweimal $17$ übrig. Das Ergebnis ist $34$.
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Gib an, warum das Kommutativgesetz das Rechnen von $16\cdot 4$ vereinfacht.
TippsHier siehst du die $16$er-Malfolge.
Das Kommutativgesetz besagt, dass man die Reihenfolge der Faktoren vertauschen darf. Aber sicherlich dürfen nicht die Rechenoperationen verändert werden.
Um das Produkt $6\cdot 4$ zu berechnen, kann die Vierer-Malfolge bis $6\cdot 4$ betrachtet werden.
Bei $4\cdot 6$ kann die Sechser-Malfolge betrachtet werden bis $4\cdot 6$.
Wenn man die Vierer-Malfolge kennt, kann man rechnen:
$\begin{array}{rcl} 1\cdot 4&=&4\\ 2\cdot 4&=&8\\ 3\cdot 4&=&12\\ 4\cdot 4&=&16\\ ... \end{array}$
LösungUm $16\cdot 4$ zu berechnen, kann man natürlich die Vierer-Malfolge aufschreiben. Das dauert schon ein wenig.
Etwas schneller geht es doch, die $16$-er-Malfolge aufzuschreiben:
$\begin{array}{rcl} 1\cdot 16&=&16\\ 2\cdot 16&=&32\\ 3\cdot 16&=&48\\ 4\cdot 16&=&64 \end{array}$
An diesem Beispiel kann man erkennen, warum es manchmal wirklich sinnvoll ist, die Reihenfolge der Faktoren zu vertauschen.
-
Prüfe die folgenden Aussagen zur Kommutativität.
TippsWenn du glaubst, dass eine Aussage nicht stimmt, genügt es, wenn du ein Gegenbeispiel findest.
Beachte, dass das Kommutativgestz immer gilt: Du kannst für $a$ oder $b$ Zahlen oder Buchstaben oder Terme einsetzen.
Berücksichtige die Punkt-vor-Strich-Rechnung.
LösungUntersuchen wir die Aussagen einzeln.
Das Kommutativgesetz gilt auch für die Division. ist sicherlich falsch, wie ein Gegenbeispiel zeigt:
$4:2=2$ aber $2:4=0,5$
Wenn man allerdings die Division als Multiplikation mit einem Bruch schreibt, ist $a:b=a\cdot\frac 1b=\frac 1b\cdot a$. Aber dann liegt ja trotzdem „nur“ das Kommutativgesetz der Multiplikation vor (auch wenn ein Faktor ein Bruch ist).
Man kann auch die Reihenfolge bei drei oder mehr Faktoren vertauschen. ist richtig. Hier ist zu sehen, warum dies für drei Faktoren gilt.
- $a\cdot b\cdot c=b\cdot a\cdot c$: Die ersten beiden Faktoren werden vertauscht.
- $a\cdot b\cdot c=a\cdot c\cdot b$: Die letzten beiden Faktoren werden vertauscht.
- Wenn man nun wieder die ersten beiden Faktoren vertauscht, erhält man $a\cdot b\cdot c=c\cdot a\cdot b$. Die vierte Aussage ist somit falsch.
$15\cdot 3+2=45+2$ aber $15\cdot 2+3=30+3=33$

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3 Kommentare
SCHULNOTE:2+
Sèhr gut
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