Kommutativgesetz der Multiplikation mit Erklärung

Kommutativgesetz der Multiplikation mit Erklärung Übung

• Ergänze die Erklärung zum Kommutativgesetz der Multiplikation.

  Tipps

  Ein Produkt setzt sich aus zwei Faktoren zusammen.

  Kann man die $9$ und die $5$ auch vertauschen? Was ist $9\cdot 5$? Und kommt dasselbe Ergebnis heraus?

  Lösung

  Das Kommutativgesetz der Multiplikation besagt, dass man bei der Multiplikation die Reihenfolge der Faktoren vertauschen darf. Ein Produkt besteht nämlich aus zwei Faktoren.

  Hier ist ein Beispiel zu sehen:

  • $7\cdot 5=35$
  • Wenn man die Reihenfolge vertauscht, erhält man $5\cdot 7$.
  • Das Ergebnis ist ebenfalls $35$.

  Das gilt natürlich nicht nur für $7$ und $5$ sondern für alle Werte, die du für $a$ und $b$ einsetzen möchtest.

• Beschreibe das Kommutativgesetz der Multiplikation anschaulich.

  Tipps

  Die Anzahl der Kreise ist gleich, egal ob man zeilen- oder spaltenweise zählt.

  Die Multiplikation ist eine abkürzende Schreibweise für eine wiederholte Addition mit einem wiederkehrenden Summanden.

  Schaue dir hierfür das folgende Beispiel an.

  $5+5+5+5+5+5+5=7\cdot 5$.

  Lösung

  In diesem Bild befinden sich, durch $\dots$ angedeutet,

  • $a$ Zeilen mit jeweils $b$ Kreisen oder
  • $b$ Spalten mit jeweils $a$ Kreisen.

  Es ist nun egal, ob man die Kreise Zeile für Zeile oder Spalte für Spalte zählt. Man kommt immer zum gleichen Ergebnis.

  Betrachten wir die Zeilen:

  • In einer Zeile befinden sich $b$ Kreise.
  • Dann befinden sich in zwei Zeilen $b+b=2\cdot b$ Kreise.
  • ...
  • Schließlich befinden sich in $a$ Zeilen $a\cdot b$ Kreise.

  Betrachten wir nun die Spalten:

  • In einer Spalte befinden sich $a$ Kreise.
  • Somit befinden sich in zwei Spalten $a+a=2\cdot a$ Kreise.
  • ...
  • Dann befinden sich in $b$ Spalten $b\cdot a$ Kreise.

  Man kann also folgern, dass

  $a\cdot b=b\cdot a$

  gelten muss.

• Wende jeweils das Kommutativgesetz der Multiplikation an.

  Tipps

  Das Kommutativgesetz der Multiplikation besagt, dass die Reihenfolge der Faktoren vertauscht werden darf.

  Du kannst für $a$ und $b$ beliebige Zahlen oder Buchstaben einsetzen. Das Kommutativgesetz gilt immer.

  Bei den Beispielen, in denen nur Zahlen vorkommen, kannst du auch die Ergebnisse berechnen und vergleichen.

  Lösung

  Egal, was man für $a$ und $b$ einsetzt, dieses Kommutativgesetz gilt immer. Schauen wir uns die Beispiel einmal genauer an:

  • $13\cdot 5$. Hier ist $a=13$ und $b=5$. Also gilt $13\cdot 5=5\cdot 13$.
  • Dasselbe gilt auch für $a\cdot 4=4\cdot a$,
  • $7\cdot b=b\cdot 7$,
  • $3\cdot 15=15\cdot 3$ und
  • $7\cdot 4=4\cdot 7$.

  Üblicherweise schreibt man bei Produkten von Zahlen und Buchstaben immer zuerst die Zahl und dann den Buchstaben. Die Schreibweise $b\cdot 7$ ist eher unüblich.

• Prüfe, ob richtig gerechnet wurde.

  Tipps

  Beachte: Es gilt Punkt geht vor Strich.

  Rechne jeweils das Ergebnis der anfänglichen Aufgabe aus und vergleiche dies entweder mit dem angegebenen Ergebnis oder dem Ergebnis der Umformung.

  Du kannst insgesamt drei Fehler entdecken.

  Lösung

  Hier sind einige Beispiel, in denen das Kommutativgesetz angewendet wird.

  Aber nicht vergessen bei aller Begeisterung für das Kommutativgesetz: Es gilt immer noch Punkt geht vor Strich.

  • $32\cdot 2=2\cdot 32=64$. Diese Aufgabe ist komplett richtig.
  • $32\cdot 2+3=2\cdot 32+3=64+3=67$. Es darf allerdings nicht die Reihenfolge der beiden Summanden vertauscht werden.
  • $17\cdot 3=3\cdot 17$. Das ist richtig. Das Ergebnis ist jedoch $51$.
  • $17\cdot 3-17=3\cdot 17-1\cdot 17$. Wenn man von dreimal $17$ einmal $17$ abzieht, bleiben zweimal $17$ übrig. Das Ergebnis ist $34$.

• Gib an, warum das Kommutativgesetz das Rechnen von $16\cdot 4$ vereinfacht.

  Tipps

  Hier siehst du die $16$er-Malfolge.

  Das Kommutativgesetz besagt, dass man die Reihenfolge der Faktoren vertauschen darf. Aber sicherlich dürfen nicht die Rechenoperationen verändert werden.

  Um das Produkt $6\cdot 4$ zu berechnen, kann die Vierer-Malfolge bis $6\cdot 4$ betrachtet werden.

  Bei $4\cdot 6$ kann die Sechser-Malfolge betrachtet werden bis $4\cdot 6$.

  Wenn man die Vierer-Malfolge kennt, kann man rechnen:

  $\begin{array}{rcl} 1\cdot 4&=&4\\ 2\cdot 4&=&8\\ 3\cdot 4&=&12\\ 4\cdot 4&=&16\\ ... \end{array}$

  Lösung

  Um $16\cdot 4$ zu berechnen, kann man natürlich die Vierer-Malfolge aufschreiben. Das dauert schon ein wenig.

  Etwas schneller geht es doch, die $16$-er-Malfolge aufzuschreiben:

  $\begin{array}{rcl} 1\cdot 16&=&16\\ 2\cdot 16&=&32\\ 3\cdot 16&=&48\\ 4\cdot 16&=&64 \end{array}$

  An diesem Beispiel kann man erkennen, warum es manchmal wirklich sinnvoll ist, die Reihenfolge der Faktoren zu vertauschen.

• Prüfe die folgenden Aussagen zur Kommutativität.

  Tipps

  Wenn du glaubst, dass eine Aussage nicht stimmt, genügt es, wenn du ein Gegenbeispiel findest.

  Beachte, dass das Kommutativgestz immer gilt: Du kannst für $a$ oder $b$ Zahlen oder Buchstaben oder Terme einsetzen.

  Berücksichtige die Punkt-vor-Strich-Rechnung.

  Lösung

  Untersuchen wir die Aussagen einzeln.

  Das Kommutativgesetz gilt auch für die Division. ist sicherlich falsch, wie ein Gegenbeispiel zeigt:

  $4:2=2$ aber $2:4=0,5$

  Wenn man allerdings die Division als Multiplikation mit einem Bruch schreibt, ist $a:b=a\cdot\frac 1b=\frac 1b\cdot a$. Aber dann liegt ja trotzdem „nur“ das Kommutativgesetz der Multiplikation vor (auch wenn ein Faktor ein Bruch ist).

  Man kann auch die Reihenfolge bei drei oder mehr Faktoren vertauschen. ist richtig. Hier ist zu sehen, warum dies für drei Faktoren gilt.

  • $a\cdot b\cdot c=b\cdot a\cdot c$: Die ersten beiden Faktoren werden vertauscht.
  • $a\cdot b\cdot c=a\cdot c\cdot b$: Die letzten beiden Faktoren werden vertauscht.
  • Wenn man nun wieder die ersten beiden Faktoren vertauscht, erhält man $a\cdot b\cdot c=c\cdot a\cdot b$. Die vierte Aussage ist somit falsch.

  Wenn sowohl Summen als auch Produkte auftauchen, darf die Reihenfolge nicht einfach vertauscht werden. ist richtig. Auch hierfür genügt ein Beispiel:

  $15\cdot 3+2=45+2$ aber $15\cdot 2+3=30+3=33$