Kommutativgesetz der Addition mit negativen Zahlen

Kommutativgesetz der Addition mit negativen Zahlen Übung

• Beschreibe die Anwendung des Kommutativgesetzes der Addition.

  Tipps

  Kommutieren heißt vertauschen, das heißt, mit Hilfe des Kommutativgesetzes können wir Summanden in Additionsaufgaben vertauschen.

  Für das Kommutativgesetz gilt: $5+7=12=7+5$.

  Lösung

  Das Kommutativgesetz lautet:

  $a+b=b+a$.

  Dabei können wir für $a$ und $b$ sowohl positive als auch negative Zahlen einsetzen.

  Bei dem Kommutativgesetz der Addition von negativen Zahlen muss Folgendes beachtet werden:

  1. Stehen zwei Rechenzeichen direkt hintereinander, müssen wir Klammern setzen.
  2. Das negative Vorzeichen muss immer mit vertauscht werden, da die Addition zwar kommutativ ist, die Subtraktion aber im Allgemeinen nicht. Dies erkennt man an folgendem Beispiel: $5-7=-2\neq2=7-5$.

  Damit gilt: $-7+5=5+(-7)=5-7$.

• Vervollständige das Kommutativgesetz.

  Tipps

  Zwei Rechenzeichen dürfen nicht direkt nebeneinander stehen. Es müssen Klammern gesetzt werden!

  Beim Kommutativgesetz der Addition vertauschen wir die beiden Summanden und erhalten dennoch das gleiche Ergebnis.

  Es gilt zum Beispiel:

  $-1+(-2)=-2+(-1)$.

  Wir erhalten für die beiden Seiten dasselbe Ergebnis:

  $-1+(-2)=-3$,

  $-2+(-1)=-3$.

  Lösung

  Beim Kommutativgesetz der Addition vertauschen wir die beiden Summanden und erhalten dennoch das gleiche Ergebnis:

  $a+b=b+a$.

  Sind $a$ und/oder $b$ negative Zahlen, müssen wir noch etwas beachten:

  1. Stehen zwei Rechenzeichen direkt hintereinander, müssen wir eine Klammer setzen.
  2. Das negative Vorzeichen muss immer mit vertauscht werden, da die Addition zwar kommutativ ist, die Subtraktion aber im Allgemeinen nicht.

  Es gilt:

  • $7+5=5+7$.
  • $-7+5=5+(-7)$. Achte auf die Klammern!
  • $-3+(-4)=-4+(-3)$. Bedenke, das negative Vorzeichen mit zu vertauschen.
  • $3-4=3+(-4)=-4+3$.

• Wende das Kommutativgesetz bei der Addition von negativen Zahlen an.

  Tipps

  Das negative Vorzeichen muss immer mit vertauscht werden, da die Addition zwar kommutativ ist, die Subtraktion aber im Allgemeinen nicht, da gilt:

  • $-5+7=2\neq-2=-7+5$.

  Lösung

  Kommutieren heißt vertauschen. Bei dem Kommutativgesetz der Addition geht es also darum, dass wir die beiden Summanden vertauschen dürfen. Dabei ändert sich das Ergebnis nicht. Es gilt also:

  $a+b=b+a$.

  Dies gilt auch für negative Zahlen $a$ und $b$, dabei müssen wir nur ein paar Kleinigkeiten beachten.

  • $-7+3=3+(-7)$

  Stehen zwei Rechenzeichen direkt hintereinander, müssen wir Klammern setzen. Diese könnten wir danach auch auflösen und Folgendes schreiben:

  $-7+3=3+(-7)=3-7$.

  Es gilt: $-7+3=-4$, $3+(-7)=-4$ und $3-7=-4$.

  • $5-2=(-2)+5=3$

  Das negative Vorzeichen muss immer mit vertauscht werden, da die Addition zwar kommutativ ist, die Subtraktion aber im Allgemeinen nicht, da:

  $-5+7=2\neq-2=-7+5$.

  Um das deutlich zu machen, kann man einen Zwischenschritt bei der Umformung machen: $5-2=5+(-2)=(-2)+5$.

  Für die anderen Rechnungen gilt ebenso:

  • $(-1)+(-5)=(-5)+(-1)=-6$,
  • $-2-9=(-2)+(-9)=(-9)+(-2)=-9-2=-11$,
  • $2-5=2+(-5)=-5+2=-3$,
  • $7-3=7+(-3)=-3+7=4$.

• Bestimme gleiche Terme.

  Tipps

  So kannst du Schritt für Schritt die Gleichung umformen und das Kommutativgesetz anwenden:

  • $-13-7=(-13)+(-7)=(-7)+(-13)=-7-13=-20$.

  Lösung

  Beim Kommutativgesetz der Addition vertauschen wir die beiden Summanden und erhalten dennoch das gleiche Ergebnis:

  $a+b=b+a$.

  Sind $a$ und/oder $b$ negative Zahlen. Müssen wir noch etwas beachten:

  1. Stehen zwei Rechenzeichen direkt hintereinander, müssen wir eine Klammer setzen.
  2. Das negative Vorzeichen muss immer mit vertauscht werden, da die Addition zwar kommutativ ist, die Subtraktion aber im Allgemeinen nicht.

  Somit gilt also mit dem Kommutativgesetz:

  • $(-1)+(-13)=-14=(-13)+(-1)$.

  Und wenn wir die Klammern auflösen auch

  • $(-1)+(-13)=-1-13$ und $(-13)+(-1)=-13-1$.

  Außerdem gilt weiter:

  • $23-17=23+(-17)=(-17)+23=-17+23=6$,
  • $-23-17=(-23)+(-17)=(-17)+(-23)=-17-23=-40$.

• Gib an, wo das Kommutativgesetz korrekt angewandt wurde.

  Tipps

  Bei der Addition kannst du das Kommutativgesetz anwenden, bei der Subtraktion im Allgemeinen nicht.

  Bei Termen mit Variablen kannst du Zahlen einsetzen, um diese zu überprüfen. Zum Beispiel gilt das Kommutativgesetz bei der Division nicht, denn

  $2:1=2$, aber $1:2=\frac12=0,5\neq2$.

  Lösung

  Bei der Addition kannst du das Kommutativgesetz anwenden: $~a+b=b+a$.

  Bei der Subtraktion im Allgemeinen nicht: $~a-b=b-a$.

  Dies erkennst du, indem du die Variablen durch Zahlen ersetzt. Zum Beispiel $a=2$ und $b=3$:

  $a-b=2-3=-1\neq1=3-2=b-a$.

  Die folgende Rechnung ist korrekt:

  • $5+7=12=7+5$.

  Die folgenden Rechnungen sind falsch:

  • $-2+7 \neq-7+2$.

  Das negative Vorzeichen muss immer mit vertauscht werden, da die Addition zwar kommutativ ist, die Subtraktion aber im Allgemeinen nicht.

  Es gilt: $-2+7=5\neq-5=-7+2$. Korrekt angewendet gilt für das Kommutativgesetz:

  $-2+7=7-2$.

  • $(-3)-4\neq 4-(-3)$

  Stehen zwei Rechenzeichen direkt hintereinander, müssen wir eine Klammer setzen.

  Es gilt: $(-3)-4= -7 \neq 7= 4-(-3)$. Korrekt angewendet gilt für das Kommutativgesetz:

  $(-3)-4=(-3)+(-4)=(-4)+(-3)=-4-3$.

• Zeige auf, wie das Kommutativgesetz bei mehr als zwei Summanden angewendet werden kann.

  Tipps

  Zur Überprüfung des Kommutativgesetzes kannst du die Summen jeweils ausrechnen. Du kannst jeden Summanden mit jedem vertauschen. Sinnvoll ist es so zu sortieren, dass zunächst die positiven Summanden kommen und dann die negativen.

  Lösung

  Du kannst jeden Summanden mit jedem vertauschen. Wir sortieren die Summanden durch Vertauschung so, dass zunächst die positiven Summanden kommen und dann die negativen. Außerdem sortieren wir diese innerhalb des Terms jeweils aufsteigend nach dem Betrag.

  $4-5+3-17=$

  Hier sind $4$ und $3$ positive Summanden sowie $-5$ und $-17$ negative Summanden. Wir setzen zunächst Klammern und sortieren dann mit Hilfe des Kommutativgesetzes. Am Ende können wir die Klammern wieder auflösen:

  • $4-5+3-17=4+(-5)+3+(-17)=3+4+(-5)+(-17)=3+4-5-17$.

  Genauso gilt:

  • $-4+5-3+17=(-4)+5+(-3)+17=5+17+(-3)+(-4)= 5+17-3-4$,
  • $-17+3-4-5=(-17)+3+(-4)+(-5)=3+(-4)+(-5)+(-17)=3-4-5-17$,
  • $-4+17-3-5=(-4)+17+(-3)+(-5)=17+(-3)+(-4)+(-5)=17-3-4-5$.