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Kommutativgesetz der Addition mit negativen Zahlen

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Kommutativgesetz der Addition mit negativen Zahlen
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Kommutativgesetz der Addition mit negativen Zahlen

Das Kommutativgesetz lautet: a+b=b+a. Es gilt für alle Zahlen - auch für negative. Das Einsetzen negativer Zahlen ist im Grunde nicht komplizierter als das Einsetzen positiver Zahlen. Es gibt aber ein paar Kleinigkeiten bei der Schreibweise zu beachten. Wie du ja weißt, sollen keine zwei Rechenzeichen nebeneinander stehen und deshalb braucht man bie negativen Zahlen öfter Klammern. Wie das genau geht, kannst du im Video sehen. Dort siehst du auch, welchen "beliebten" Fehler du nun vermeiden kannst.

16 Kommentare

16 Kommentare
  1. lol voll gut

    Von mein Held, vor 5 Monaten
  2. megaa

    Von Franzmelina98, vor 10 Monaten
  3. eeeeeeeeeeeeee

    Von Franzmelina98, vor 10 Monaten
  4. Hallo Anny Dopierala91, bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Diem Thanh Hoang, vor 11 Monaten
  5. Habe ich nicht verstanden

    Von Anny Dopierala91, vor 11 Monaten
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Kommutativgesetz der Addition mit negativen Zahlen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kommutativgesetz der Addition mit negativen Zahlen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Anwendung des Kommutativgesetzes der Addition.

    Tipps

    Kommutieren heißt vertauschen, das heißt, mit Hilfe des Kommutativgesetzes können wir Summanden in Additionsaufgaben vertauschen.

    Für das Kommutativgesetz gilt: $5+7=12=7+5$.

    Lösung

    Das Kommutativgesetz lautet:

    $a+b=b+a$.

    Dabei können wir für $a$ und $b$ sowohl positive als auch negative Zahlen einsetzen.

    Bei dem Kommutativgesetz der Addition von negativen Zahlen muss Folgendes beachtet werden:

    1. Stehen zwei Rechenzeichen direkt hintereinander, müssen wir Klammern setzen.
    2. Das negative Vorzeichen muss immer mit vertauscht werden, da die Addition zwar kommutativ ist, die Subtraktion aber im Allgemeinen nicht. Dies erkennt man an folgendem Beispiel: $5-7=-2\neq2=7-5$.
    Damit gilt: $-7+5=5+(-7)=5-7$.

  • Vervollständige das Kommutativgesetz.

    Tipps

    Zwei Rechenzeichen dürfen nicht direkt nebeneinander stehen. Es müssen Klammern gesetzt werden!

    Beim Kommutativgesetz der Addition vertauschen wir die beiden Summanden und erhalten dennoch das gleiche Ergebnis.

    Es gilt zum Beispiel:

    $-1+(-2)=-2+(-1)$.

    Wir erhalten für die beiden Seiten dasselbe Ergebnis:

    $-1+(-2)=-3$,

    $-2+(-1)=-3$.

    Lösung

    Beim Kommutativgesetz der Addition vertauschen wir die beiden Summanden und erhalten dennoch das gleiche Ergebnis:

    $a+b=b+a$.

    Sind $a$ und/oder $b$ negative Zahlen, müssen wir noch etwas beachten:

    1. Stehen zwei Rechenzeichen direkt hintereinander, müssen wir eine Klammer setzen.
    2. Das negative Vorzeichen muss immer mit vertauscht werden, da die Addition zwar kommutativ ist, die Subtraktion aber im Allgemeinen nicht.
    Es gilt:
    • $7+5=5+7$.
    • $-7+5=5+(-7)$. Achte auf die Klammern!
    • $-3+(-4)=-4+(-3)$. Bedenke, das negative Vorzeichen mit zu vertauschen.
    • $3-4=3+(-4)=-4+3$.

  • Wende das Kommutativgesetz bei der Addition von negativen Zahlen an.

    Tipps

    Das negative Vorzeichen muss immer mit vertauscht werden, da die Addition zwar kommutativ ist, die Subtraktion aber im Allgemeinen nicht, da gilt:

    • $-5+7=2\neq-2=-7+5$.

    Lösung

    Kommutieren heißt vertauschen. Bei dem Kommutativgesetz der Addition geht es also darum, dass wir die beiden Summanden vertauschen dürfen. Dabei ändert sich das Ergebnis nicht. Es gilt also:

    $a+b=b+a$.

    Dies gilt auch für negative Zahlen $a$ und $b$, dabei müssen wir nur ein paar Kleinigkeiten beachten.

    • $-7+3=3+(-7)$
    Stehen zwei Rechenzeichen direkt hintereinander, müssen wir Klammern setzen. Diese könnten wir danach auch auflösen und Folgendes schreiben:

    $-7+3=3+(-7)=3-7$.

    Es gilt: $-7+3=-4$, $3+(-7)=-4$ und $3-7=-4$.

    • $5-2=(-2)+5=3$
    Das negative Vorzeichen muss immer mit vertauscht werden, da die Addition zwar kommutativ ist, die Subtraktion aber im Allgemeinen nicht, da:

    $-5+7=2\neq-2=-7+5$.

    Um das deutlich zu machen, kann man einen Zwischenschritt bei der Umformung machen: $5-2=5+(-2)=(-2)+5$.

    Für die anderen Rechnungen gilt ebenso:

    • $(-1)+(-5)=(-5)+(-1)=-6$,
    • $-2-9=(-2)+(-9)=(-9)+(-2)=-9-2=-11$,
    • $2-5=2+(-5)=-5+2=-3$,
    • $7-3=7+(-3)=-3+7=4$.
  • Bestimme gleiche Terme.

    Tipps

    So kannst du Schritt für Schritt die Gleichung umformen und das Kommutativgesetz anwenden:

    • $-13-7=(-13)+(-7)=(-7)+(-13)=-7-13=-20$.
    Lösung

    Beim Kommutativgesetz der Addition vertauschen wir die beiden Summanden und erhalten dennoch das gleiche Ergebnis:

    $a+b=b+a$.

    Sind $a$ und/oder $b$ negative Zahlen. Müssen wir noch etwas beachten:

    1. Stehen zwei Rechenzeichen direkt hintereinander, müssen wir eine Klammer setzen.
    2. Das negative Vorzeichen muss immer mit vertauscht werden, da die Addition zwar kommutativ ist, die Subtraktion aber im Allgemeinen nicht.
    Somit gilt also mit dem Kommutativgesetz:
    • $(-1)+(-13)=-14=(-13)+(-1)$.
    Und wenn wir die Klammern auflösen auch
    • $(-1)+(-13)=-1-13$ und $(-13)+(-1)=-13-1$.
    Außerdem gilt weiter:
    • $23-17=23+(-17)=(-17)+23=-17+23=6$,
    • $-23-17=(-23)+(-17)=(-17)+(-23)=-17-23=-40$.

  • Gib an, wo das Kommutativgesetz korrekt angewandt wurde.

    Tipps

    Bei der Addition kannst du das Kommutativgesetz anwenden, bei der Subtraktion im Allgemeinen nicht.

    Bei Termen mit Variablen kannst du Zahlen einsetzen, um diese zu überprüfen. Zum Beispiel gilt das Kommutativgesetz bei der Division nicht, denn

    $2:1=2$, aber $1:2=\frac12=0,5\neq2$.

    Lösung

    Bei der Addition kannst du das Kommutativgesetz anwenden: $~a+b=b+a$.

    Bei der Subtraktion im Allgemeinen nicht: $~a-b=b-a$.

    Dies erkennst du, indem du die Variablen durch Zahlen ersetzt. Zum Beispiel $a=2$ und $b=3$:

    $a-b=2-3=-1\neq1=3-2=b-a$.

    Die folgende Rechnung ist korrekt:

    • $5+7=12=7+5$.
    Die folgenden Rechnungen sind falsch:

    • $-2+7 \neq-7+2$.
    Das negative Vorzeichen muss immer mit vertauscht werden, da die Addition zwar kommutativ ist, die Subtraktion aber im Allgemeinen nicht.

    Es gilt: $-2+7=5\neq-5=-7+2$. Korrekt angewendet gilt für das Kommutativgesetz:

    $-2+7=7-2$.

    • $(-3)-4\neq 4-(-3)$
    Stehen zwei Rechenzeichen direkt hintereinander, müssen wir eine Klammer setzen.

    Es gilt: $(-3)-4= -7 \neq 7= 4-(-3)$. Korrekt angewendet gilt für das Kommutativgesetz:

    $(-3)-4=(-3)+(-4)=(-4)+(-3)=-4-3$.

  • Zeige auf, wie das Kommutativgesetz bei mehr als zwei Summanden angewendet werden kann.

    Tipps

    Zur Überprüfung des Kommutativgesetzes kannst du die Summen jeweils ausrechnen. Du kannst jeden Summanden mit jedem vertauschen. Sinnvoll ist es so zu sortieren, dass zunächst die positiven Summanden kommen und dann die negativen.

    Lösung

    Du kannst jeden Summanden mit jedem vertauschen. Wir sortieren die Summanden durch Vertauschung so, dass zunächst die positiven Summanden kommen und dann die negativen. Außerdem sortieren wir diese innerhalb des Terms jeweils aufsteigend nach dem Betrag.

    $4-5+3-17=$

    Hier sind $4$ und $3$ positive Summanden sowie $-5$ und $-17$ negative Summanden. Wir setzen zunächst Klammern und sortieren dann mit Hilfe des Kommutativgesetzes. Am Ende können wir die Klammern wieder auflösen:

    • $4-5+3-17=4+(-5)+3+(-17)=3+4+(-5)+(-17)=3+4-5-17$.
    Genauso gilt:

    • $-4+5-3+17=(-4)+5+(-3)+17=5+17+(-3)+(-4)= 5+17-3-4$,
    • $-17+3-4-5=(-17)+3+(-4)+(-5)=3+(-4)+(-5)+(-17)=3-4-5-17$,
    • $-4+17-3-5=(-4)+17+(-3)+(-5)=17+(-3)+(-4)+(-5)=17-3-4-5$.
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