Kommutativgesetz der Addition mit negativen Zahlen
Beschreibung Kommutativgesetz der Addition mit negativen Zahlen
Das Kommutativgesetz lautet: a+b=b+a. Es gilt für alle Zahlen - auch für negative. Das Einsetzen negativer Zahlen ist im Grunde nicht komplizierter als das Einsetzen positiver Zahlen. Es gibt aber ein paar Kleinigkeiten bei der Schreibweise zu beachten. Wie du ja weißt, sollen keine zwei Rechenzeichen nebeneinander stehen und deshalb braucht man bie negativen Zahlen öfter Klammern. Wie das genau geht, kannst du im Video sehen. Dort siehst du auch, welchen "beliebten" Fehler du nun vermeiden kannst.
Kommutativgesetz der Addition mit negativen Zahlen Übung
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Beschreibe die Anwendung des Kommutativgesetzes der Addition.
TippsKommutieren heißt vertauschen, das heißt, mit Hilfe des Kommutativgesetzes können wir Summanden in Additionsaufgaben vertauschen.
Für das Kommutativgesetz gilt: $5+7=12=7+5$.
LösungDas Kommutativgesetz lautet:
$a+b=b+a$.
Dabei können wir für $a$ und $b$ sowohl positive als auch negative Zahlen einsetzen.
Bei dem Kommutativgesetz der Addition von negativen Zahlen muss Folgendes beachtet werden:
- Stehen zwei Rechenzeichen direkt hintereinander, müssen wir Klammern setzen.
- Das negative Vorzeichen muss immer mit vertauscht werden, da die Addition zwar kommutativ ist, die Subtraktion aber im Allgemeinen nicht. Dies erkennt man an folgendem Beispiel: $5-7=-2\neq2=7-5$.
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Vervollständige das Kommutativgesetz.
TippsZwei Rechenzeichen dürfen nicht direkt nebeneinander stehen. Es müssen Klammern gesetzt werden!
Beim Kommutativgesetz der Addition vertauschen wir die beiden Summanden und erhalten dennoch das gleiche Ergebnis.
Es gilt zum Beispiel:
$-1+(-2)=-2+(-1)$.
Wir erhalten für die beiden Seiten dasselbe Ergebnis:
$-1+(-2)=-3$,
$-2+(-1)=-3$.
LösungBeim Kommutativgesetz der Addition vertauschen wir die beiden Summanden und erhalten dennoch das gleiche Ergebnis:
$a+b=b+a$.
Sind $a$ und/oder $b$ negative Zahlen, müssen wir noch etwas beachten:
- Stehen zwei Rechenzeichen direkt hintereinander, müssen wir eine Klammer setzen.
- Das negative Vorzeichen muss immer mit vertauscht werden, da die Addition zwar kommutativ ist, die Subtraktion aber im Allgemeinen nicht.
- $7+5=5+7$.
- $-7+5=5+(-7)$. Achte auf die Klammern!
- $-3+(-4)=-4+(-3)$. Bedenke, das negative Vorzeichen mit zu vertauschen.
- $3-4=3+(-4)=-4+3$.
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Wende das Kommutativgesetz bei der Addition von negativen Zahlen an.
TippsDas negative Vorzeichen muss immer mit vertauscht werden, da die Addition zwar kommutativ ist, die Subtraktion aber im Allgemeinen nicht, da gilt:
- $-5+7=2\neq-2=-7+5$.
LösungKommutieren heißt vertauschen. Bei dem Kommutativgesetz der Addition geht es also darum, dass wir die beiden Summanden vertauschen dürfen. Dabei ändert sich das Ergebnis nicht. Es gilt also:
$a+b=b+a$.
Dies gilt auch für negative Zahlen $a$ und $b$, dabei müssen wir nur ein paar Kleinigkeiten beachten.
- $-7+3=3+(-7)$
$-7+3=3+(-7)=3-7$.
Es gilt: $-7+3=-4$, $3+(-7)=-4$ und $3-7=-4$.
- $5-2=(-2)+5=3$
$-5+7=2\neq-2=-7+5$.
Um das deutlich zu machen, kann man einen Zwischenschritt bei der Umformung machen: $5-2=5+(-2)=(-2)+5$.
Für die anderen Rechnungen gilt ebenso:
- $(-1)+(-5)=(-5)+(-1)=-6$,
- $-2-9=(-2)+(-9)=(-9)+(-2)=-9-2=-11$,
- $2-5=2+(-5)=-5+2=-3$,
- $7-3=7+(-3)=-3+7=4$.
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Bestimme gleiche Terme.
TippsSo kannst du Schritt für Schritt die Gleichung umformen und das Kommutativgesetz anwenden:
- $-13-7=(-13)+(-7)=(-7)+(-13)=-7-13=-20$.
LösungBeim Kommutativgesetz der Addition vertauschen wir die beiden Summanden und erhalten dennoch das gleiche Ergebnis:
$a+b=b+a$.
Sind $a$ und/oder $b$ negative Zahlen. Müssen wir noch etwas beachten:
- Stehen zwei Rechenzeichen direkt hintereinander, müssen wir eine Klammer setzen.
- Das negative Vorzeichen muss immer mit vertauscht werden, da die Addition zwar kommutativ ist, die Subtraktion aber im Allgemeinen nicht.
- $(-1)+(-13)=-14=(-13)+(-1)$.
- $(-1)+(-13)=-1-13$ und $(-13)+(-1)=-13-1$.
- $23-17=23+(-17)=(-17)+23=-17+23=6$,
- $-23-17=(-23)+(-17)=(-17)+(-23)=-17-23=-40$.
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Gib an, wo das Kommutativgesetz korrekt angewandt wurde.
TippsBei der Addition kannst du das Kommutativgesetz anwenden, bei der Subtraktion im Allgemeinen nicht.
Bei Termen mit Variablen kannst du Zahlen einsetzen, um diese zu überprüfen. Zum Beispiel gilt das Kommutativgesetz bei der Division nicht, denn
$2:1=2$, aber $1:2=\frac12=0,5\neq2$.
LösungBei der Addition kannst du das Kommutativgesetz anwenden: $~a+b=b+a$.
Bei der Subtraktion im Allgemeinen nicht: $~a-b=b-a$.
Dies erkennst du, indem du die Variablen durch Zahlen ersetzt. Zum Beispiel $a=2$ und $b=3$:
$a-b=2-3=-1\neq1=3-2=b-a$.
Die folgende Rechnung ist korrekt:
- $5+7=12=7+5$.
- $-2+7 \neq-7+2$.
Es gilt: $-2+7=5\neq-5=-7+2$. Korrekt angewendet gilt für das Kommutativgesetz:
$-2+7=7-2$.
- $(-3)-4\neq 4-(-3)$
Es gilt: $(-3)-4= -7 \neq 7= 4-(-3)$. Korrekt angewendet gilt für das Kommutativgesetz:
$(-3)-4=(-3)+(-4)=(-4)+(-3)=-4-3$.
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Zeige auf, wie das Kommutativgesetz bei mehr als zwei Summanden angewendet werden kann.
TippsZur Überprüfung des Kommutativgesetzes kannst du die Summen jeweils ausrechnen. Du kannst jeden Summanden mit jedem vertauschen. Sinnvoll ist es so zu sortieren, dass zunächst die positiven Summanden kommen und dann die negativen.
LösungDu kannst jeden Summanden mit jedem vertauschen. Wir sortieren die Summanden durch Vertauschung so, dass zunächst die positiven Summanden kommen und dann die negativen. Außerdem sortieren wir diese innerhalb des Terms jeweils aufsteigend nach dem Betrag.
$4-5+3-17=$
Hier sind $4$ und $3$ positive Summanden sowie $-5$ und $-17$ negative Summanden. Wir setzen zunächst Klammern und sortieren dann mit Hilfe des Kommutativgesetzes. Am Ende können wir die Klammern wieder auflösen:
- $4-5+3-17=4+(-5)+3+(-17)=3+4+(-5)+(-17)=3+4-5-17$.
- $-4+5-3+17=(-4)+5+(-3)+17=5+17+(-3)+(-4)= 5+17-3-4$,
- $-17+3-4-5=(-17)+3+(-4)+(-5)=3+(-4)+(-5)+(-17)=3-4-5-17$,
- $-4+17-3-5=(-4)+17+(-3)+(-5)=17+(-3)+(-4)+(-5)=17-3-4-5$.

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15 Kommentare
megaa
eeeeeeeeeeeeee
Hallo Anny Dopierala91, bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
Liebe Grüße aus der Redaktion
Habe ich nicht verstanden
einfach perfekt mega sympathisch