Kommutativgesetz der Addition – Einführung

Kommutativgesetz der Addition – Einführung Übung

• Vervollständige die Aussagen zum Kommutativgesetz der Addition.

  Tipps

  Bei der Addition gilt:

  Summand $+$ Summand $=$ Summe

  Wir nennen das Kommutativgesetz auch Vertauschungsgesetz.

  Lösung

  Das Kommutativgesetz der Addition besagt, dass Folgendes gilt:

  • $a+b=b+a$

  Das heißt, dass bei der Addition die Reihenfolge der Summanden vertauscht werden darf. Das Gleiche gilt übrigens auch für die Multiplikation ($a\cdot b=b\cdot a$), für die Subtraktion jedoch nicht. Das erkennst du zum Beispiel hier:

  Es gilt: $3-2=1$, aber $2-3=-1$. Das heißt $3-2\neq2-3$.

  Egal, welche Zahlen oder sogar Terme du für die allgemeinen Variablen $a$ und $b$ einsetzt, es gilt immer Gleichheit.

  Zum Beispiel:

  • $7+4= 4+7$
  • $3+2=2+3$

• Gib wieder, wie das Kommutativgesetz der Addition richtig angewandt wird.

  Tipps

  Das Kommutativgesetz der Addition besagt, dass man zwei Summanden vertauschen darf ohne, dass sich das Ergebnis ändert.

  Diese Gleichung ist zwar richtig, jedoch wurde hier das Kommutativgesetz nicht korrekt angewandt:

  $1+2=1+2$

  Hier wurde das Kommutativgesetz korrekt angewandt:

  $1+2=2+1$

  Lösung

  Das Kommutativgesetz der Addition besagt, dass man zwei Summanden vertauschen darf, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Als Formel schreiben wir:

  • $a+b=b+a$

  Dies können wir auch mit Zahlen nachprüfen. Setzen wir zum Beispiel für $a=4$ und für $b=7$ ein, erhalten wir:

  • $4+7=7+4$

  Beide Seiten haben mit $4+7=11$ und $7+4=11$ das gleiche Ergebnis. Ebenso gilt:

  • $2+3=5=3+2$
  • $4+3=7=3+4$

• Bestimme, welche Terme mit drei Summanden nach Anwendung des Kommutativgesetzes gleich sind.

  Tipps

  Das Kommutativgesetz der Addition besagt, dass bei der Addition die Reihenfolge der Summanden beliebig vertauscht werden darf. Dies gilt auch bei mehr als zwei Summanden.

  Betrachte für die Anwendung des Kommutativgesetzes der Addition mit drei Summanden zum Beispiel: $a+b+c=a+c+b=b+a+c$

  Lösung

  Das Kommutativgesetz der Addition besagt, dass bei der Addition die Reihenfolge der Summanden beliebig vertauscht werden darf. Das gilt natürlich auch bei mehr als zwei Summanden. Das heißt es gilt:

  $a+b+c=a+c+b=b+a+c=b+c+a=c+a+b=c+b+a$

  Somit erhalten wir für unsere Beispiele:

  • $3+2+4=2+3+4=4+3+2=3+4+2$

  Außerdem wären auch noch die beiden Terme $2+4+3$ und $4+2+3$ möglich.

  Alternativ kannst du $3+2+4$ hier auch betrachten mit $a=3+2$ und $b=4$, nach Anwendung des Kommutativgesetzes erhältst du: $(3+2)+4=4+(3+2)=4+3+2$

  • $1+4+4=4+1+4=4+4+1$

  Hier gibt es weniger Möglichkeiten, da die beiden Vieren nicht voneinander zu unterscheiden sind.

  • $3+5+1=1+3+5=1+5+3=5+1+3$

  Außerdem wären auch noch die beiden Terme $3+1+5$ und $5+3+1$ möglich.

• Erkläre, wie Terme in die Formel des Kommutativgesetzes der Addition eingesetzt werden.

  Tipps

  Ein Term kann aus einzelnen Zahlen oder auch aus Rechenausdrücken bestehen. Vor der Anwendung des Kommutativgesetzes, ist es hilfreich, sich die Terme zu markieren, die vertauscht werden sollen:

  $\underbrace{4+5}_{a}+\underbrace{6}_{b}=\underbrace{6}_{b}+\underbrace{4+5}_{a}$

  Lösung

  Das Kommutativgesetz der Addition besagt, dass bei der Addition die Reihenfolge der Summanden beliebig vertauscht werden darf und wird daher auch als Vertauschungsgesetz bezeichnet. Diese Summanden werden oben allgemein mit den Variablen $a$ und $b$ bezeichnet. Für diese können beliebige Zahlen eingesetzt werden, aber auch Terme, wie $5+7$ oder $10-7$.

  Setzen wir also $a=5+7$ und $b=10-7$ und nutzen zur besseren Übersicht Klammern, gilt:

  $\underbrace{5+7}_{a}+\underbrace{10-7}_{b}=\underbrace{10-7}_{b}+\underbrace{5+7}_{a}$

  Genauso gilt:

  $\underbrace{3+5}_{a}+\underbrace{6+2-1}_{b}=\underbrace{6+2-1}_{b}+\underbrace{3+5}_{a}$

  $\underbrace{1+2}_{a}+\underbrace{3}_{b}=\underbrace{3}_{b}+\underbrace{1+2}_{a}$

  $\underbrace{14+4}_{a}+\underbrace{8-7}_{b}=\underbrace{8-7}_{b}+\underbrace{14+4}_{a}$

• Zeige auf, wie du das Kommutativgesetzes der Addition noch anwenden kannst.

  Tipps

  Bei dem Kommutativgesetz der Addition vertauscht du immer Summanden miteinander.

  Diese Gleichheiten gelten immer:

  $(3+1)+(1+1)=4+2=6=2+4=(1+1)+(3+1)$

  Terme sind sinnvolle Rechenausdrücke, die Zahlen, Variablen, Klammern und Rechenzeichen (z. B. $+$, $-$, $\cdot$, $:$) enthalten dürfen, aber keine Relationszeichen (z. B. $=$, $<$, $\geq$).

  Lösung

  Das Kommutativgesetz der Addition wird auch als Vertauschungsgesetz bezeichnet und besagt, dass man zwei Summanden vertauschen darf ohne, dass sich das Ergebnis ändert.

  Als Formel schreiben wir:

  • $a+b=b+a$

  Man darf für die Variablen nicht nur einzelne Zahlen einsetzen, sondern ganze Terme. Daher sind die folgenden Antworten korrekt:

  • „Klar geht das. Zudem kommt auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens das gleiche Ergebnis heraus.“

  Es gilt: $(2+5)+(4+1)=12=(4+1)+(2+5)$. Die Klammern wurden hier nur zur Übersichtlichkeit gesetzt.

  • „Ja, denn das Kommutativgesetz gilt nicht nur für Summen aus einzelnen Zahlen, sondern auch für Summen, deren Summanden beliebige Terme sind.“

  Die Formel gilt also auch, wenn du $a$ durch $3\cdot9$ und b durch $8:2$ ersetzt. Es dürfen nicht nur Summen für $a$ und $b$ eingesetzt werden, sondern auch Produkte und Quotienten. Du erhältst auf beiden Seiten wieder stets das gleiche Ergebnis. Da Punkt- vor Strichrechnung gilt, brauchst du hier keine Klammern setzen.

  $3\cdot9+8:2=8:2+ 3\cdot9$

  Zudem gilt: $3\cdot9+8:2= 27+4=31$ und $8:2+ 3\cdot9=4+27=31$.

  Diese Aussagen sind falsch:

  • „Wir können die Variablen nur durch Zahlen ersetzen. Sonst geht die Mathematik kaputt.“

  Die Mathematik kann man natürlich nicht direkt kaputt machen, aber es könnte passieren, dass die beiden Seiten der Gleichung nicht mehr gleich sind und damit das Gleichheitszeichen falsch ist. Dies ist hier aber nicht der Fall, du darfst natürlich für $a$ und $b$ auch Summen einsetzen.

  • „Das geht nicht. Denn wenn wir $a$ durch $5+2$ und $b $ durch $1+4$ ersetzen, kommt auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens nicht das gleiche Ergebnis heraus.“

  Dies kannst du ganz leicht ausprobieren, indem du die Summen in die Formel einsetzt:

  $a+b=(5+2)+(1+4)=12= (1+4)+(5+2)$.

  Die Summe ist also gleich, egal in welcher Reihenfolge die Klammerausdrücke stehen. Man kann nicht nur zwei Summanden vertauschen, ohne dass sich das Ergebnis ändert, sondern beliebig viele, zum Beispiel so:

  $2+5+1+4=5+2+1+4=1+4+5+2=1+4+2+5=12$

  • „Die Formel gilt sogar, wenn du statt dem $+$ ein $-$ zwischen $a$ und $b$ schreibst.“

  Das Kommutativgesetz gilt nur für die Addition und Multiplikation, für die Subtraktion kannst du schnell ein Gegenbeispiel finden:

  $3-2=1\neq-1=2-1$

  Du könntest aber für $a=3$ und $b=-2$ einsetzen. Dann hast du aus der Subtraktion, nämlich eine Addition negativer Zahlen gemacht. Wichtig ist dabei, dass das Vorzeichen dann mit getauscht wird.

  $3-2= 3+(-2)=1=(-2)+3$

• Gib an, wie das Kommutativgesetz der Addition bei negativen Zahlen und Termen angewandt werden kann.

  Tipps

  Sind $a$ und/oder $b$ negative Zahlen, müssen wir noch etwas beachten:

  1. Stehen zwei Rechenzeichen direkt hintereinander, müssen wir eine Klammer setzen.
  2. Das negative Vorzeichen muss immer mit vertauscht werden, da die Addition kommutativ ist, die Subtraktion aber im Allgemeinen nicht.

  So kannst du vorgehen: $2-1=2+(-1)=(-1)+2=-1+2$

  $a+b=b+a$

  In dieser Gleichung können $a$ und $b$ nicht nur Zahlen, sondern auch Terme (zum Beispiel Summen oder Differenzen) sein.

  Lösung

  Beim Kommutativgesetz der Addition vertauschen wir die beiden Summanden und erhalten dennoch das gleiche Ergebnis. Es gilt:

  • $a+b=b+a$

  Sind $a$ und/oder $b$ negative Zahlen, müssen wir noch zwei Dinge beachten:

  1. Stehen zwei Rechenzeichen direkt hintereinander, müssen wir eine Klammer setzen.
  2. Das negative Vorzeichen muss immer mit vertauscht werden, da die Addition kommutativ ist, die Subtraktion aber im Allgemeinen nicht.

  Betrachten wir zum Beispiel $-3-2$:

  1. Hier ist $a=-3$ und $b=-2$. Um das deutlicher zu sehen, setzen wir Klammern und schreiben das ganze als Addition, da $a-b=a+(-b)$ gilt. Wir erhalten: $-3-2=(-3)+(-2)$
  2. Nun wenden wir das Kommutativgesetz an: $(-3)+(-2)=(-2)+(-3)$
  3. Zum Schluss können wir die Klammern wieder auflösen: $(-2)+(-3)=-2-3$

  Ebenso gilt:

  • $-3+4=(-3)+4=4+(-3)=4-3$

  • Bei $-3+5+5-9=5-9+(-3+5) $ ist $a= -3+5$ und $b=5-9$. Das Kommutativgesetz gilt nicht nur für die Addition von Zahlen, sondern auch für die Addition von Summen oder Differenzen (egal ob von negativen und/ oder positiven Zahlen).

  • Bei $(-5)+(-17+(-3))=(-17+(-3))+(-5)=-17-5$ ist $b=-17+(-3)$ eine Summe von negativen Zahlen, auch diese kann vertauscht werden.

  Die folgenden Gleichungen sind falsch:

  • $(-3)+(-12)\neq-3+-12$ Stehen zwei Rechenzeichen direkt hintereinander, müssen wir eine Klammer setzen. Richtig wäre: $(-3)+(-12)=-3+(-12)$ oder $(-3)+(-12)=-3-12$, wenn wir nur ein Rechenzeichen schreiben. Außerdem wurde hier das Kommutativgesetz gar nicht angewendet, nutzt man dieses erhält man: $(-3)+(-12)=(-12)+(-3)=-12-3$
  • $12-5\neq5-12$ Die Subtraktion ist im Allgemeinen nicht kommutativ, daher muss das Vorzeichen mit vertauscht werden, da es sich dann um eine Addition negativer Zahlen handelt: $12-5=12+(-5)=(-5)+12=-5+12$