Kommutativgesetz der Addition – Einführung

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Grundlagen zum Thema Kommutativgesetz der Addition – Einführung
Das Kummutativgesetz ist eines der grundlegenden Gesetze der gesamten Mathematik. Es beschreibt etwas, was dir beim rechnen vermutlich auch schon aufgefallen ist, nämlich: 4+9 ist genauso groß wie 9+4; 1+2 ist genauso groß wie 2+1 und 17+8 ist genauso groß wie 8+17. Um das knackiger ausdrücken zu können, gibt es den Fachbegriff "Summand": Ein Summand ist das, was addiert wird. Also können wir sagen: Wenn man Summanden vertauscht, bleibt das Ergebnis gleich. Noch kürzer kann man das mit Variablen - also mit Buchstaben - beschreiben: a+b=b+a. Das ist eine Formel. Für die Buchstaben können wir Zahlen einsetzen und erhalten dann auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens immer das gleiche Ergebnis. Wir können aber nicht nur Zahlen, sondern ganze Rechnungen einsetzen und können so aus dieser Formel viele weitere Formeln bauen. Das gehört aber schon zum Thema "Termumformungen" und wird in diesem Video nicht mehr behandelt.
Kommutativgesetz der Addition – Einführung Übung
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Vervollständige die Aussagen zum Kommutativgesetz der Addition.
TippsBei der Addition gilt:
Summand $+$ Summand $=$ Summe
Wir nennen das Kommutativgesetz auch Vertauschungsgesetz.
LösungDas Kommutativgesetz der Addition besagt, dass Folgendes gilt:
- $a+b=b+a$
Es gilt: $3-2=1$, aber $2-3=-1$. Das heißt $3-2\neq2-3$.
Egal, welche Zahlen oder sogar Terme du für die allgemeinen Variablen $a$ und $b$ einsetzt, es gilt immer Gleichheit.
Zum Beispiel:
- $7+4= 4+7$
- $3+2=2+3$
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Gib wieder, wie das Kommutativgesetz der Addition richtig angewandt wird.
TippsDas Kommutativgesetz der Addition besagt, dass man zwei Summanden vertauschen darf ohne, dass sich das Ergebnis ändert.
Diese Gleichung ist zwar richtig, jedoch wurde hier das Kommutativgesetz nicht korrekt angewandt:
$1+2=1+2$
Hier wurde das Kommutativgesetz korrekt angewandt:
$1+2=2+1$
LösungDas Kommutativgesetz der Addition besagt, dass man zwei Summanden vertauschen darf, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Als Formel schreiben wir:
- $a+b=b+a$
- $4+7=7+4$
- $2+3=5=3+2$
- $4+3=7=3+4$
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Bestimme, welche Terme mit drei Summanden nach Anwendung des Kommutativgesetzes gleich sind.
TippsDas Kommutativgesetz der Addition besagt, dass bei der Addition die Reihenfolge der Summanden beliebig vertauscht werden darf. Dies gilt auch bei mehr als zwei Summanden.
Betrachte für die Anwendung des Kommutativgesetzes der Addition mit drei Summanden zum Beispiel: $a+b+c=a+c+b=b+a+c$
LösungDas Kommutativgesetz der Addition besagt, dass bei der Addition die Reihenfolge der Summanden beliebig vertauscht werden darf. Das gilt natürlich auch bei mehr als zwei Summanden. Das heißt es gilt:
$a+b+c=a+c+b=b+a+c=b+c+a=c+a+b=c+b+a$
Somit erhalten wir für unsere Beispiele:
- $3+2+4=2+3+4=4+3+2=3+4+2$
Alternativ kannst du $3+2+4$ hier auch betrachten mit $a=3+2$ und $b=4$, nach Anwendung des Kommutativgesetzes erhältst du: $(3+2)+4=4+(3+2)=4+3+2$
- $1+4+4=4+1+4=4+4+1$
- $3+5+1=1+3+5=1+5+3=5+1+3$
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Erkläre, wie Terme in die Formel des Kommutativgesetzes der Addition eingesetzt werden.
TippsEin Term kann aus einzelnen Zahlen oder auch aus Rechenausdrücken bestehen. Vor der Anwendung des Kommutativgesetzes, ist es hilfreich, sich die Terme zu markieren, die vertauscht werden sollen:
$\underbrace{4+5}_{a}+\underbrace{6}_{b}=\underbrace{6}_{b}+\underbrace{4+5}_{a}$
LösungDas Kommutativgesetz der Addition besagt, dass bei der Addition die Reihenfolge der Summanden beliebig vertauscht werden darf und wird daher auch als Vertauschungsgesetz bezeichnet. Diese Summanden werden oben allgemein mit den Variablen $a$ und $b$ bezeichnet. Für diese können beliebige Zahlen eingesetzt werden, aber auch Terme, wie $5+7$ oder $10-7$.
Setzen wir also $a=5+7$ und $b=10-7$ und nutzen zur besseren Übersicht Klammern, gilt:
$\underbrace{5+7}_{a}+\underbrace{10-7}_{b}=\underbrace{10-7}_{b}+\underbrace{5+7}_{a}$
Genauso gilt:
$\underbrace{3+5}_{a}+\underbrace{6+2-1}_{b}=\underbrace{6+2-1}_{b}+\underbrace{3+5}_{a}$
$\underbrace{1+2}_{a}+\underbrace{3}_{b}=\underbrace{3}_{b}+\underbrace{1+2}_{a}$
$\underbrace{14+4}_{a}+\underbrace{8-7}_{b}=\underbrace{8-7}_{b}+\underbrace{14+4}_{a}$
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Zeige auf, wie du das Kommutativgesetzes der Addition noch anwenden kannst.
TippsBei dem Kommutativgesetz der Addition vertauscht du immer Summanden miteinander.
Diese Gleichheiten gelten immer:
$(3+1)+(1+1)=4+2=6=2+4=(1+1)+(3+1)$
Terme sind sinnvolle Rechenausdrücke, die Zahlen, Variablen, Klammern und Rechenzeichen (z. B. $+$, $-$, $\cdot$, $:$) enthalten dürfen, aber keine Relationszeichen (z. B. $=$, $<$, $\geq$).
LösungDas Kommutativgesetz der Addition wird auch als Vertauschungsgesetz bezeichnet und besagt, dass man zwei Summanden vertauschen darf ohne, dass sich das Ergebnis ändert.
Als Formel schreiben wir:
- $a+b=b+a$
- „Klar geht das. Zudem kommt auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens das gleiche Ergebnis heraus.“
- „Ja, denn das Kommutativgesetz gilt nicht nur für Summen aus einzelnen Zahlen, sondern auch für Summen, deren Summanden beliebige Terme sind.“
$3\cdot9+8:2=8:2+ 3\cdot9$
Zudem gilt: $3\cdot9+8:2= 27+4=31$ und $8:2+ 3\cdot9=4+27=31$.
Diese Aussagen sind falsch:
- „Wir können die Variablen nur durch Zahlen ersetzen. Sonst geht die Mathematik kaputt.“
- „Das geht nicht. Denn wenn wir $a$ durch $5+2$ und $b $ durch $1+4$ ersetzen, kommt auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens nicht das gleiche Ergebnis heraus.“
$a+b=(5+2)+(1+4)=12= (1+4)+(5+2)$.
Die Summe ist also gleich, egal in welcher Reihenfolge die Klammerausdrücke stehen. Man kann nicht nur zwei Summanden vertauschen, ohne dass sich das Ergebnis ändert, sondern beliebig viele, zum Beispiel so:
$2+5+1+4=5+2+1+4=1+4+5+2=1+4+2+5=12$
- „Die Formel gilt sogar, wenn du statt dem $+$ ein $-$ zwischen $a$ und $b$ schreibst.“
$3-2=1\neq-1=2-1$
Du könntest aber für $a=3$ und $b=-2$ einsetzen. Dann hast du aus der Subtraktion, nämlich eine Addition negativer Zahlen gemacht. Wichtig ist dabei, dass das Vorzeichen dann mit getauscht wird.
$3-2= 3+(-2)=1=(-2)+3$
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Gib an, wie das Kommutativgesetz der Addition bei negativen Zahlen und Termen angewandt werden kann.
TippsSind $a$ und/oder $b$ negative Zahlen, müssen wir noch etwas beachten:
- Stehen zwei Rechenzeichen direkt hintereinander, müssen wir eine Klammer setzen.
- Das negative Vorzeichen muss immer mit vertauscht werden, da die Addition kommutativ ist, die Subtraktion aber im Allgemeinen nicht.
So kannst du vorgehen: $2-1=2+(-1)=(-1)+2=-1+2$
$a+b=b+a$
In dieser Gleichung können $a$ und $b$ nicht nur Zahlen, sondern auch Terme (zum Beispiel Summen oder Differenzen) sein.
LösungBeim Kommutativgesetz der Addition vertauschen wir die beiden Summanden und erhalten dennoch das gleiche Ergebnis. Es gilt:
- $a+b=b+a$
- Stehen zwei Rechenzeichen direkt hintereinander, müssen wir eine Klammer setzen.
- Das negative Vorzeichen muss immer mit vertauscht werden, da die Addition kommutativ ist, die Subtraktion aber im Allgemeinen nicht.
- Hier ist $a=-3$ und $b=-2$. Um das deutlicher zu sehen, setzen wir Klammern und schreiben das ganze als Addition, da $a-b=a+(-b)$ gilt. Wir erhalten: $-3-2=(-3)+(-2)$
- Nun wenden wir das Kommutativgesetz an: $(-3)+(-2)=(-2)+(-3)$
- Zum Schluss können wir die Klammern wieder auflösen: $(-2)+(-3)=-2-3$
- $-3+4=(-3)+4=4+(-3)=4-3$
- Bei $-3+5+5-9=5-9+(-3+5) $ ist $a= -3+5$ und $b=5-9$. Das Kommutativgesetz gilt nicht nur für die Addition von Zahlen, sondern auch für die Addition von Summen oder Differenzen (egal ob von negativen und/ oder positiven Zahlen).
- Bei $(-5)+(-17+(-3))=(-17+(-3))+(-5)=-17-5$ ist $b=-17+(-3)$ eine Summe von negativen Zahlen, auch diese kann vertauscht werden.
- $(-3)+(-12)\neq-3+-12$ Stehen zwei Rechenzeichen direkt hintereinander, müssen wir eine Klammer setzen. Richtig wäre: $(-3)+(-12)=-3+(-12)$ oder $(-3)+(-12)=-3-12$, wenn wir nur ein Rechenzeichen schreiben. Außerdem wurde hier das Kommutativgesetz gar nicht angewendet, nutzt man dieses erhält man: $(-3)+(-12)=(-12)+(-3)=-12-3$
- $12-5\neq5-12$ Die Subtraktion ist im Allgemeinen nicht kommutativ, daher muss das Vorzeichen mit vertauscht werden, da es sich dann um eine Addition negativer Zahlen handelt: $12-5=12+(-5)=(-5)+12=-5+12$

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19 Kommentare
video ist okey, habe bessere gesehen!!!!!!!!!
Ganz gut erklärt
hat mir geholfen
Super
toll