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Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) (Übungsvideo)

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Die Autor/-innen
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Sabine Blumenthal
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) (Übungsvideo)
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) (Übungsvideo)

Dieses Video bietet dir verschiedene Übungen zum Bestimmen des kgV zweier natürlicher Zahlen. Ich zeige dir noch einmal drei mögliche Lösungswege. Du hast dann die Möglichkeit, bei weiteren Aufgaben selbst zu wählen, welchen Lösungsweg du zum Bearbeiten der Aufgaben nutzen möchtest.

19 Kommentare

19 Kommentare
  1. was ist das für ein viedeo

    Von Mia, vor etwa einem Monat
  2. Ich bin ein Fuchs ._.

    Von Marcel, vor 2 Monaten
  3. @Taina G.: Hallo,
    schau dir doch dazu nochmal dieses Video an: https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/primfaktorzerlegung-3?launchpad=video
    Meld dich gern im Fach-Chat (werktags zwischen 17 und 19 Uhr), wenn du noch Fragen hast!
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Annmarieb Sofatutor, vor 12 Monaten
  4. Oh, man, oh man 😩 ich kann einfach nicht verstehen wie man den Weg der primfaktorzerlegung benutzt!! Aber das kriege ich irgendwie schon hin. Hihi 🤦🏻‍♀️

    Von Tainá G., vor 12 Monaten
  5. Hallo Miladuske,
    bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Cansu Ayguezel, vor mehr als einem Jahr
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Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) (Übungsvideo) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) (Übungsvideo) kannst du es wiederholen und üben.
  • Definiere die drei genannten Lösungswege zur Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen.

    Tipps

    Hier siehst du ein Beispiel für das Vorgehen mit den Vielfachenmengen. $\text{kgV}(8;12)$ soll ermittelt werden.

    • $V_8=\{8;16;\color{#669900}{24};32;40;48;...\}$
    • $V_{12}=\{12;\color{#669900}{24};36,48;...\}$
    • Das kleinste gemeinsame Element ist grün markiert.
    Das kleinste gemeinsame Element ist das kleinste gemeinsame Vielfache. Es gilt $\text{kgV}(8;12)=24$.

    Schauen wir uns nun ein Beispiel für die zweite Methode an. Hier bilden wir die Vielfachen einer Zahl und prüfen in jedem Schritt auf Teilbarkeit. Es soll $\text{kgV}(9;15)$ berechnet werden.

    • Es ist $9~\nmid~15=1\cdot 15$.
    • Es ist $9~\nmid~30=2\cdot 15$.
    • Es ist $9~\mid~45=3\cdot 15$.
    $45$ ist somit das kleinste gemeinsame Vielfache.

    Nun betrachten wir noch ein Beispiel zur Primfaktorzerlegung. Es soll $\text{kgV}(15;18)$ bestimmt werden.

    $\begin{array}{rccccccccc} 15&=&3&\cdot&5\\ 18&=&3&&&\cdot&2&\cdot&3\\\\ \text{kgV}(15;18)&=&3&\cdot&5&\cdot&2&\cdot&3\\ &=&90 \end{array}$

    Lösung

    In dieser Aufgabe siehst du drei Verfahren, mit denen du das kleinste gemeinsame Vielfache ($\text{kgV}$) von zwei Zahlen bestimmen kannst. Wir schauen uns zu jedem der Verfahren ein Beispiel an.

    Die Vielfachenmengen

    • Hierfür schreibst du zu jeder der beiden Zahlen die Vielfachenmengen auf.
    • Das kleinste der gemeinsamen Elemente dieser Mengen ist das kleinste gemeinsame Vielfache.
    Beispiel: Du sollst $\text{kgV}(8;12)$ berechnen.

    • $V_8=\{8;16;\color{#669900}{24};32;40;48;...\}$
    • $V_{12}=\{12;\color{#669900}{24};36,48;...\}$
    • Das kleinste gemeinsame Element ist grün markiert.
    Das kleinste gemeinsame Element ist das kleinste gemeinsame Vielfache. Es gilt:

    $\text{kgV}(8;12)=24$.

    Prüfen auf Teilbarkeit der Vielfachen einer Zahl

    Um diese Methode zu benutzen, schreibst du die Vielfachen einer der beiden Zahlen auf. Prüfe für jede aufgeschriebene Zahl, ob diese durch die andere Zahl teilbar ist. Die kleinste Zahl, die durch die andere Zahl teilbar ist, ist dann das kleinste gemeinsame Vielfache.

    Beispiel: Dieses Mal soll $\text{kgV}(9;15)$ berechnet werden.

    • Es ist $9~\nmid~15=1\cdot 15$.
    • Es ist $9~\nmid~30=2\cdot 15$.
    • Es ist $9~\mid~45=3\cdot 15$.
    Also ist $\text{kgV}(9;15)=45$.

    Die Primfaktorzerlegung:

    • Du bestimmst die Primfaktoren der beiden Zahlen und schreibst diese untereinander. In beiden Zahlen vorkommende Primfaktoren stehen genau untereinander.
    • Ziehe nun die Primfaktorn herunter. Dabei werden doppelt vorkommende Primfaktoren nur einmal betrachtet.
    • Das Produkt dieser Primfaktoren ist das gesuchte kleinste gemeinsame Vielfache.
    Beispiel: Zuletzt soll $\text{kgV}(15;18)$ berechnet werden.

    $\begin{array}{rccccccccc} 15&=&3&\cdot&5\\ 18&=&3&&&\cdot&2&\cdot&3\\\\ \text{kgV}(15;18)&=&3&\cdot&5&\cdot&2&\cdot&3\\ &=&90 \end{array}$

  • Berechne jeweils das kleinste gemeinsame Vielfache.

    Tipps

    Es gibt verschiedene Methoden, um das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Zahlen herauszufinden.

    Du kannst zum Beispiel die Vielfachenmengen beider Zahlen aufschreiben. Das kleinste gemeinsame Element dieser Mengen ist das kleinste gemeinsame Vielfache.

    Schau dir ein Beispiel an. Gesucht ist $\text{kgV}(12;18)$.

    • $V_{12}=\{12;24;\color{#669900}{36};48;60;\color{#669900}{72};84;96;\color{#669900}{108};...\}$
    • $V_{18}=\{18;\color{#669900}{36};54;\color{#669900}{72};90;\color{#669900}{108};...\}$
    • Somit ist das $\text{kgV}(12;18)=36$.
    Hier siehst du schon, dass du die Vielfachenmenge der einen Zahl nur so weit aufschreiben musst, bis du ein Vielfaches der anderen Zahl erreichst.

    Lösung

    Du siehst hier, wie man das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Zahlen bestimmen kann. Dabei werden verschiedene Verfahren angewendet.

    Beispiel 1: $\text{kgV}(6;10)$

    • $V_{6}=\{6;12;18;24;\color{#669900}{30};36;42;...\}$
    • $V_{10}=\{10;20;\color{#669900}{30};40;50;...\}$
    • Somit ist $\text{kgV}(6;10)=30$.
    Beispiel 2: $\text{kgV}(15;20)=60$

    • $V_{15} = \{15;30;45;\color{#669900}{60};75;...\}$
    • $V_{20} = \{20;40;\color{#669900}{60};80;...\}$
    • Somit ist $\text{kgV}(15;20) = 60$.
    Beispiel 3: $\text{kgV}(6;14)$

    • $1\cdot 6=6$ ist nicht teilbar durch $14$.
    • $2\cdot 6=12$ ist nicht teilbar durch $14$.
    • $3\cdot 6=18$ ist nicht teilbar durch $14$.
    • $4\cdot 6=24$ ist nicht teilbar durch $14$.
    • $5\cdot 6=30$ ist nicht teilbar durch $14$.
    • $6\cdot 6=36$ ist nicht teilbar durch $14$.
    • $7\cdot 6=42$ ist teilbar durch $14$.
    Somit ist $\text{kgV}(6;14)=42$.

    Beispiel 4: $\text{kgV}(12;21)$

    $\begin{array}{rccccccccc} 12&=&2&\cdot&2&\cdot &3\\ 21&=&&&&&3&\cdot&7\\\\ \text{kgV}(12;21)&=&2&\cdot&2&\cdot&3&\cdot&7\\ &=&84 \end{array}$

    Du kannst dir gerne eine Variante aussuchen, die dir am besten gefällt, und alle Aufgaben mit dieser berechnen.

  • Ermittle das kleinste gemeinsame Vielfache mit Hilfe der Vielfachenmengen.

    Tipps

    Natürlich ist auch das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ein Vielfaches. Das kgV musst du allerdings blau markieren.

    Die Vielfachen von $10$ enden immer mit einer $0$.

    Marie hat in jeder der Vielfachmengen mindestens einen Fehler gemacht.

    Lösung

    Wir schauen uns erst einmal die Vielfachenmengen der beiden Zahlen an. Dabei sind Marie drei Fehler unterlaufen:

    • $V_{10}=\{10;20;30;40;50;\underline{55};60;70;80;90...\}$;
    • $V_{15}=\{15;30;45;\underline{55};60;75;\underline{80};90;...\}$.
    In beiden Vielfachenreihen taucht bei Marie die $55$ auf. Diese ist allerdings weder ein Vielfaches von $10$ noch von $15$. Außerdem taucht in der Vielfachenmenge von $15$ die Zahl $80$ auf. Auch dies ist ein Fehler, da $80$ kein Vielfaches von $15$ ist.

    Nun werden die gemeinsamen Vielfachen markiert. Dabei erhält der kleinste gemeinsame Vielfache schon die Farbe Blau.

    • $V_{10}=\{10;20;\color{#008DDA}{30};40;50;\color{#669900}{60};70;80;\color{#669900}{90}...\}$
    • $V_{15}=\{15;\color{#008DDA}{30};45;\color{#669900}{60};75;\color{#669900}{90};...\}$
    Somit ist kgV$(10;15)=30$.

  • Leite das kleinste gemeinsame Vielfache von drei Zahlen her.

    Tipps

    Schaue die Vielfachenmenge von $12$ an:

    $V_{12}=\{12;24;36;48;60;72;84;96;108;120; ...\}$.

    Welche dieser Zahlen ist auch durch $15$ teilbar?

    Wenn zwei Zahlen keinen gemeinsamen Teiler haben, kannst du sie multiplizieren, um zu dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen zu gelangen.

    Das kleinste gemeinsame Vielfache von drei Zahlen muss durch jede der drei Zahlen teilbar sein.

    Lösung

    Du kannst das kleinste gemeinsame Vielfache von drei Zahlen auf verschiedene Arten herleiten.

    Zum Beispiel kannst du das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei der drei Zahlen bestimmen. Schließlich bestimmst du von diesem kleinsten gemeinsamen Vielfachen sowie der verbleibenden Zahl das kleinste gemeinsame Vielfache.

    Dabei ist es egal, mit welchen beiden Zahlen du startest. Hier siehst du die Lösung, wenn du mit $12$ und $15$ startest:

    • $V_{12}=\{12;24;36;48;60;72;84;96;108;120; ...\}$
    • $V_{15}=\{15;30;45;60;745;90;...\}$
    • Also gilt $\text{kgV}(12;15)=60$.
    Auf die gleiche Art und Weise kannst du die kleinsten gemeinsamen Vielfachen bestimmen, wenn du mit anderen Startzahlen arbeitest:

    • $\text{kgV}(12;25)=300$;
    • $\text{kgV}(15;25)=75$.
    Wir machen mit dem $\text{kgV}(12;15)=60$ weiter. Es muss noch das $\text{kgV}$ von $60$ und $25$ bestimmt werden.

    Hierfür verwenden wir die Primfaktorzerlegung.

    $\begin{array}{rccccccccccc} 60&=&2&\cdot&2&\cdot& 3&\cdot& 5\\ 25&=&&&&&&&5&\cdot &5\\\\ \text{kgV}(60;25)&=&2&\cdot&2&\cdot&3&\cdot&5&\cdot& 5\\ &=&300 \end{array}$

    Das kleinste gemeinsame Vielfache von $12, 15$ und $25$ ist also $300$.

  • Gib das kleinste gemeinsame Vielfache von $4$ und $15$ an.

    Tipps

    Hier siehst du ein Beispiel für die Primfaktorzerlegung einer Zahl:

    $24=2\cdot 12=2\cdot 2\cdot 6=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3$.

    Die Primfaktorzerlegung von $16$ ist gegeben durch:

    $16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$.

    Damit ist $\text{kgV}(24;16)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 2=48$.

    Beide Zahlen haben den Primfaktor $2$ dreimal gemeinsam.

    Lösung

    Du kannst das kleinste gemeinsame Vielfache durch Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen finden. Hier siehst du die Primfaktorzerlegung für $4$ und $15$:

    • $4=2\cdot 2$ und
    • $15=3\cdot 5$.
    Schreibe nun die beiden Zahlen so untereinander, dass gemeinsame Primfaktoren direkt untereinander stehen. In diesem Beispiel gibt es keine gemeinsamen Primfaktoren.

    $\begin{array}{rccccccccc} 4&=&2&\cdot&2\\ 15&=&&&&&3&\cdot&5\\\\ \text{kgV}(4;15)&=&2&\cdot&2&\cdot&3&\cdot&5\\ &=&60 \end{array}$

  • Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache von vier Zahlen.

    Tipps

    Verwende die Primfaktorzerlegung, da diese besonders schnell funktioniert.

    Ein Beispiel für die Primfaktorzerlegung siehst du hier:

    $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3$.

    Die Primfaktorzerlegung machst du für jede der vier Zahlen. Anschließend schreibst du die Primfaktoren so untereinander, dass immer gleiche Faktoren untereinander stehen.

    Schaue dir dafür folgendes Beispiel an:

    $\begin{array}{rccccccc} 18 & = & 2 & \cdot & 3 & \cdot & 3 \\ 4 & = & 2 & & & & & \cdot & 2 \end{array}$

    Im nächsten Schritt bildest du das Produkt, indem du die Zahlen aus der Primfaktorzerlegung „herunter ziehst“. Wenn Faktoren übereinander stehen, werden sie nur einmal betrachtet.

    Auf das Beispiel bezogen ergibt sich:

    $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 = 36$.

    Das kleinste gemeinsame Vielfache von $18$ und $4$ ist also $36$.

    Die in der Aufgabe vorkommenden Primfaktoren sind $2$, $3$, $5$ und $11$.

    Lösung

    Du kannst auch in diesem Beispiel jedes der genannten Verfahren verwenden. Die Primfaktorzerlegung bietet sich bei mehreren Zahlen wegen der Übersichtlichkeit und Schnelligkeit an.

    • Du zerlegst also jede der Zahlen in ihre Primfaktoren.
    • Schreibe dann die Zerlegungen so untereinander, dass gemeinsame Primfaktoren direkt untereinander stehen.
    • Zuletzt multiplizierst du die Primfaktoren.
    Dies kannst du hier sehen:

    $\begin{array}{rccccccccccccccc} 8&=&2&\cdot&2&\cdot& 2\\ 12&=&&&2&\cdot &2&\cdot &3\\ 15&=&&&&&&&3&\cdot &5\\ 33&=&&&&&&&3&&&\cdot &11\\\\ \text{kgV}(60;25)&=&2&\cdot&2&\cdot&2&\cdot& 3&\cdot &5&\cdot &11\\ &=&1320 \end{array}$

    Dies ist das gesuchte kleinste gemeinsame Vielfache.

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