Integration durch Partialbruchzerlegung – Beispiel

Integration durch Partialbruchzerlegung – Beispiel Übung

• Bestimme die Polstellen $x_1$ und $x_2$ der angegebenen Funktion.

  Tipps

  Polstellen sind Nullstellen des Nenners einer gebrochenrationalen Funktion.

  Löse die Gleichung $x^2 + 2x = 0$.

  Wir klammern zunächst $x$ aus.

  Beachte: Wir wissen, dass ein Produkt gleich null ist, wenn einer der Faktoren null ist.

  Lösung

  Bei Polstellen handelt es sich um senkrechte Asymptoten und somit Definitionslücken der Funktion. Um sie zu bestimmen, muss man den Nenner mit null gleichsetzen:

  $x^2 + 2x = 0$

  Wir klammern zunächst $x$ aus:

  $x(x+2)=0$

  Wir wissen, dass ein Produkt gleich null ist, wenn einer der Faktoren Null ist. Damit ergibt sich für $x+2=0$:

  $x_1=-2$

  und für $x=0$:

  $x_2=0$.

• Vereinfache den Term durch Partialbruchzerlegung.

  Tipps

  Diese Brüche werden jeweils mit dem Nenner des anderen erweitert und dann addiert.

  Wende das Distributivgesetz an:

  Der fertig umgeformte Term sieht so aus.

  Lösung

  Zu Beginn wird der Bruch in zwei Brüche aufgeteilt. Die Zähler dieser neuen Brüche gilt es im Verlauf dieser Rechnung zu ermitteln. Ihre Nenner sind die Linearfaktoren, die bei der Nullstellenbestimmung für das Nennerpolynom ermittelt wurden:

  $f(x)=\frac{A}{x} + \frac{B}{x+2}$

  Mit $A$ und $B$ kennzeichnen wir die noch unbekannten Zähler. Jetzt möchten wir die beiden Brüche zunächst wieder zusammenführen. Dazu erweitern wir sie mit dem Nenner des jeweils anderen und addieren sie miteinander.

  $f(x)=\frac{A\cdot (x+2) + B\cdot x}{x(x+2)}$

  Als Nächstes lösen wir die Klammern auf. Da $A$ und $B$ dadurch jeweils ein $x$ erhalten, Klammern wir dieses direkt wieder aus:

  $f(x)=\frac{(A+B)x+2A}{x^2+2x}$

  Nun gilt es die Werte für $A$ und $B$ so zu ermitteln, dass sie den Werten des Ausgangsterms entsprechen. Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

  $\begin{align} A + B &= 5 \\ 2\cdot A &= 4 \end{align}$

  Wenn wir die untere Zeile nach $A$ auflösen, erhalten wir $A=2$.

  Setzen wir dies in die obere Zeile ein, so ergibt sich $B=3$.

  Wir können unsere Funktion also so schreiben:

  $f(x)=\frac{2}{x} + \frac{3}{x+2}$.

• Berechne die Polstellen $x_1$ und $x_2$ der angegebenen Funktion.

  Tipps

  Nimm den Nenner der Funktion und setze ihn gleich Null.

  Die p-q-Formel für die quadratische Funktion $x^2+p\cdot x+q=0$ lautet:

  Lösung

  Um die Polstellen (Definitionslücken) einer gebrochen rationalen Funktion zu bestimmen, müssen wir ihren Nenner mit null gleichsetzen:

  $5x^2 - 15x + 10= 0$

  Um weiterrechnen zu können, muss das $x^2$ alleine stehen, daher teilen wir die gesamte Gleichung zunächst durch $5$:

  $x^2 - 3x + 2 =0$

  Nun können wir die p-q-Formel anwenden. Wir setzen $p=-3$ und $q=2$. Beachte, dass die Vorzeichen unbedingt übernommen werden müssen. Nun setzen wir unsere Werte in die Formel ein:

  $x_{1,2}=-\frac{-3}{2} \pm \sqrt{\begin{pmatrix} \frac{-3}{2}\end{pmatrix}^2 -2}$.

  Damit erhalten wir:

  $x_{1,2}=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{3}{2} \pm \frac{1}{2}$

  Somit sind unsere Polstellen bei

  $x_1=1$ und $x_2=2$.

• Wende die Partialbruchzerlegung auf die angegebene Funktion an.

  Tipps

  Diese Brüche werden jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs erweitert und dann addiert.

  So muss das Gleichungssystem aussehen:

  Lösung

  Der Funktionsterm wurde bereits durch das Ermitteln der Polstellen in diese Form gebracht:

  $f(x)=\frac{A}{x} + \frac{B}{x+5}$

  Nun erweitern wir die Brüche mit dem Nenner des jeweils anderen Bruchs, um die Brüche zusammenzuführen:

  $f(x)=\frac{A(x+5) + Bx}{x(x+5)}$

  Nun klammern wir aus und erhalten:

  $f(x)=\frac{(A+B)x +5A}{x^2 +5x}$

  Die Variablen $A+B$ müssen nun den Wert $6$ der Ausgangsfunktion annehmen, der Ausdruck $5A$ muss zu $-2$ werden. Damit erhalten wir dieses Gleichungssystem:

  $\begin{align} A +B &=6 \\ 5A &=-2 \end{align}$

  Durch Auflösen der zweiten Zeile erhalten wir:

  $A= -\frac{2}{5}$

  Setzen wir dies in die erste Zeile ein, erhalten wir:

  $B= 6\frac{2}{5}$

  Dies sind unsere gesuchten Zähler des umgeformten Funktionsterms. Er hat nun diese Form:

  $\large{f(x)=-\frac{\frac{2}{5}}{x} + \frac{6\frac{2}{5}}{x+5}}$

• Gib die Stammfunktion an.

  Tipps

  Es gilt allgemein:

  Eine Beispielrechnung:

  Lösung

  Im Allgemeinen sieht die Stammfunktion von $f(x) =\frac{1}{x-b}$ folgendermaßen durchgeführt:

  $\begin{align} F(x) &=ln |x-b| + c \end{align}$

  Der Nenner wird in den Betrag gesetzt und dann wird noch der natürliche Logarithmus angewendet. Hinten ergänzt wurde noch die Integrationskonstante $c$.

  Dadurch erhalten wir für $f(x)=\frac{2}{x} + \frac{3}{x+2}$ folgende Stammfunktion:

  $F(x)= 2\cdot ln|x| + 3\cdot ln |x+2| + c$

  Beachte, dass die Zähler jeweils vor die Logarithmen geschrieben werden.

• Bestimme das Integral für die angegebene Funktion.

  Tipps

  Bestimme zunächst die Nullstellen des Nenners, führe die Partialbruchzerlegung durch und ermittle im Anschluss das folgende Integral:

  $\int\limits_1^3 f(x)~dx$

  Die Nullstellen liegen bei $x_1=0$ und $x_2=4$. Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung lautet also:

  $f(x)=\frac{A}{x} + \frac{B}{x-4}$

  Nach der Partialbruchzerlegung hat der Funktionsterm diese Form:

  Eine Stammfunktion von $f$ sieht dann folgendermaßen aus:

  Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt:

  $\int\limits_1^3 f(x)~dx =\left[ F(x)\right]_1^3$.

  Lösung

  Sammeln wir zunächst die Werte, die gegeben sind. Wir kennen die Funktionsgleichung $f(x)=\frac{2x+3}{x^2-4x}$ und sollen das Integral von $f$ im Intervall $[1;3]$ berechnen.

  Beginnen wir zunächst mit dem Bestimmen der Polstellen. Dadurch erhalten wir die Linearfaktoren, die wir für die Partialbruchzerlegung benötigen.

  Dazu setzen wir den Nenner des Bruchs gleich null:

  $x^2 - 4x =0$

  Wir klammern ein $x$ aus und erhalten:

  $x(x-4)=0$

  Die Polstellen liegen damit bei $x_1=0$ und $x_2=4$.

  Damit machen wir den folgenden Ansatz:

  $f(x)=\frac{A}{x} + \frac{B}{x-4}$

  Jetzt muss man die unbekannten Zähler $A$ und $B$ bestimmen.

  Dazu führen wir den Bruch zunächst zusammen, indem wir die Brüche mit dem jeweils anderen Nenner erweitern und sie danach addieren:

  $f(x)=\frac{A(x-4) + Bx}{x(x-4)}$

  Nun klammern wir aus; danach sieht der Term so aus:

  $f(x)=\frac{(A+B)x -4A}{x^2-4x}$

  Mit einem Koeffizientenvergleich stellen wir ein Gleichungssystem auf, aus dem die Werte für $A$ und $B$ hervorgehen:

  $\begin{align} A +B &= 2 \\ -4A&=3 \end{align}$

  Wenn wir zuerst die untere Gleichung lösen, erhalten wir

  $A=-\frac{3}{4}$.

  Das setzen wir nun in die obere Gleichung ein und erhalten

  $B=2\frac{3}{4}$.

  Die Partialbruchzerlegung ergibt nun also:

  $f(x)=\frac{-\frac{3}{4}}{x} + \frac{2\frac{3}{4}}{x-4}$

  Das ist nun die Form, die wir zum Aufleiten benötigen. Allgemein leitet man Brüche der Form $\frac{a}{x+b}$ so auf, dass der Zähler vor einen Logarithmus geschrieben wird und der Betrag des Nenners in den Logarithmus rutscht.

  Die Stammfunktion sieht danach so aus:

  $F(x)= -\frac{3}{4}\cdot ln |x| + 2\frac{3}{4} \cdot ln |x-4| + c$

  Jetzt können wir beginnen, das gesuchte Integral zu bestimmen. Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt:

  $\int\limits_1^3 f(x)~dx =\left[ F(x)\right]_1^3$.

  Setzen wir die obere Grenze und untere Grenze ein, so erhalten wir:

  $(-\frac{3}{4}\cdot ln |3| + 2\frac{3}{4} \cdot ln |3-4|)-(-\frac{3}{4}\cdot ln |1| + 2\frac{3}{4} \cdot ln |1-4|)$

  Das können wir weiter vereinfachen zu:

  $=(-\frac{3}{4}\cdot ln (3) + 2\frac{3}{4} \cdot ln (1)) - (-\frac{3}{4}\cdot ln (1) + 2\frac{3}{4} \cdot ln (3))$

  $=-0,82396 - 3,02118$

  $=-3,84514$

  $\approx -3,85$.