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Integration durch Partialbruchzerlegung 13:23 min

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Transkript Integration durch Partialbruchzerlegung

Hallo! Ich bin Anne. Und ich erkläre dir heute, wie man mit Hilfe der Partialbruchzerlegung eine Funktion integrieren kann. Dazu erkläre ich dir kurz, wann man eine Partialbruchzerlegung macht und welche Schritte man durchführen muss, um eine Funktion mit Hilfe der Partialbruchzerlegung zu integrieren. In diesem Video geht es um gebrochen rationale Funktionen. Und von diesen kennt man erst mal keine Stammfunktion. Die Integration durch Partialbruchzerlegung kann man immer dann anwenden, wenn der Grad der Nennerfunktion echt größer ist, als der Grad der Zählerfunktion. Und deswegen sieht auch unser Beispiel so aus: Wir berechnen das Integral von (x+1)/(x2 - 4x + 3) dx. Hier ist der Grad der Nennerfunktion 2 und der Grad der Zählerfunktion 1, also 2 ist echt größer als 1. Wenn das nicht der Fall ist, also der Grad der Nennerfunktion gleich oder kleiner ist als der Grad der Zählerfunktion, dann macht man erst eine Polynomdivision und macht dann für den Rest noch mal diese Integration durch Partialbruchzerlegung. Wir haben jetzt also eine gebrochen rationale Funktion gegeben, wo der Grad der Nennerfunktion echt größer ist als der Grad der Zählerfunktion und diesen Quotienten kann man jetzt auch nicht weiter kürzen. Wir wollen uns erst mal angucken wie diese Funktion aussieht. Und solche gebrochen rationalen Funktionen haben immer solche senkrechten Asymptoten und zwar genau an ihren Polstellen. Polstellen sind die Nullstellen des Nenners. Und das ist jetzt auch der erste Schritt, den wir machen müssen, nämlich wir berechnen die Nullstellen des Nenners. Wir nennen diesen Nenner mal n(x) und das ist ja x2 - 4x + 3 und den setzen wir 0, um die Nullstellen zu berechnen. Und man kann jetzt mit der pq-Formel rausfinden, dass die erste Nullstelle 1 ist und die zweite Nullstelle 3. Und jetzt kann man diesen Nenner auch als Produkt schreiben. Und so ein Faktor sieht dann so aus, das ist mal x minus und dann die Nullstelle also 1 mal x minus die zweite Nullstelle. Und diese Faktoren nennt man auch Linearfaktoren. Die Idee bei der Partialbruchzerlegung ist jetzt, dass wir diesen Quotienten umschreiben in eine Summe und die Summanden dieser Summe sind dann jeweils Brüche und in dem Nenner der Brüche steht jeweils ein Linearfaktor. Das heißt, der zweite Schritt ist jetzt die Partialbruchzerlegung. Wir schreiben jetzt unsere Funktion (x+1)/(x2 - 4x + 3) um in A durch diesen ersten Linearfaktor x-1 plus B durch diesen zweiten Linearfaktor. A und B sind jetzt beliebige reelle Zahlen, also die müssen wir jetzt bestimmen, wie die aussehen. Und das Gute jetzt daran ist, wenn wir die rausgefunden haben, dann kennen wir die Stammfunktion von diesem Ausdruck. So, wir wollen jetzt also diesen Ausdruck so umformen, dass wir wieder diese Form haben, diese linke Form und damit dann A und B berechnen. Wie macht man das? Man bildet erst mal den gemeinsamen Nenner und der ist natürlich (x-1)×(x-3). Jetzt müssen wir diesen ersten Bruch mit (x-3) erweitern, also A×(x-3) plus und diesen zweiten müssen wir mit (x-1) erweitern, also B×(x-1). Jetzt multiplizieren wir den Zähler aus. Und dann kommen wir auf Ax - 3A + Bx - B. Ja, den Nenner kann man jetzt so schreiben oder auch so, weil es ist ja gleich, x2 - 4x + 3. So und jetzt möchte ich die gleiche Struktur haben wie am Anfang und da haben wir, dass wir erst diesen x-Wert haben und dann eine Zahl. Das heißt, wir müssen das hier noch sortieren. Der x-Wert steht hier einmal drinnen in dem Ax und einmal in dem Bx. Und der Rest sind dann die Zahlen, also -3A und -B. Dann klammere ich noch das x aus, aus diesem Ax+Bx. Das heißt, wir haben (A+B)×x und dann die Zahlen -3A - B. Und der Nenner bleibt gleich. Und jetzt machen wir einen Koeffizientenvergleich. Das bedeutet, wir haben jetzt genau diese Struktur im Zähler erzeugt wie am Anfang. Wir haben erst diesen x-Wert und vor diesem x steht ja eine 1. Hier steht ja eigentlich 1×x. Das bedeutet, A+B muss 1 ergeben. Und diese restlichen Zahlen müssen diese 1 ergeben. Also -3A - B muss auch 1 ergeben. Und jetzt haben wir zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, einmal A + B = 1 und einmal -3A - B = 1. Wir haben also zwei Gleichungen. Und das hier ist jetzt ein Gleichungssystem, was wir lösen müssen. Und jetzt sieht man schön, dass wenn man beide Gleichungen addiert, dass B rausfällt, deswegen machen wir das mal. I plus II. 1 - 3A = -2A, B fällt raus, 1+1 = 2. Jetzt muss ich teilen durch -2 und dann komme ich auf A = -1. Jetzt setze ich das A in die erste Gleichung ein, also -1, weil da steht A, plus B ist gleich 1. Jetzt stelle ich nach B um, also addiere 1 und dann ist B = 2. Ja und jetzt setze ich hier ein. Also wir haben jetzt (x+1)/(x2 - 4x + 3) in diese Form gebracht. A hatten wir berechnet mit -1, also -1/(x - 1). B ist 1, also 2/(x - 3). Und von diesem Ausdruck können wir jetzt die Stammfunktion berechnen. Und wie das geht zeige ich euch gleich. Ja, wir haben jetzt berechnet, dass man diese gebrochen rationale Funktion auch als Summe schreiben kann und jetzt wollen wir die Stammfunktion von dieser Funktion berechnen, also das Integral und nach dx. Das können wir jetzt auch für diesen umgeformten Teil machen. Das bedeutet, wir brauchen jetzt so eine Stammfunktion von so einem Term 1/(x - b) dx. Und b ist jetzt eine beliebige reelle Zahl. Wie macht man das? Das kann man einmal durch Integration durch Substitution machen oder durch logarithmische Integration. Wir machen es jetzt mal durch Substitution. Und das macht man so, dass man substituiert z = x - b. Da wir ja auch dx dann durch dz ersetzen müssen, müssen wir jetzt ableiten. Also das ist dz/dx = 1. Und jetzt formen wir noch mal um, das bedeutet dz = dx. Das bedeutet, wir können das hier ersetzen mit 1/z, da z = x - b ist und dx = dz, also steht hier 1/z dz. Davon kennen wir die Stammfunktion, das ist nämlich der natürliche Logarithmus vom Betrag von z plus eine Integrationskonstante c (ln|z| + c). Und jetzt substituieren wir zurück, also ersetzen z wieder durch x-b, also ist das der natürliche Logarithmus vom Betrag von x-b+c (ln|x - b| + c). Ja das können wir jetzt hier einsetzen oder anwenden. Die Zahl, also -1, kann man ja vorholen vor das Integral. Das bedeutet, wir haben jetzt für diesen ersten Summanden die Stammfunktion minus natürlicher Logarithmus vom Betrag von x-1 (-ln|x - 1|), dann die 2 holen wir auch wieder vor, plus 2 natürlicher Logarithmus von dem Betrag von x-3 plus Integrationskonstante c (2ln|x - 3| + c) . Zum Schluss möchte ich noch mal zusammenfassen was du heute gelernt hast. Wir haben uns die Integration durch Partialbruchzerlegung angeschaut. Die kann man immer dann anwenden, wenn der Grad der Nennerfunktion echt größer ist als der Grad der Zählerfunktion. Man macht die drei Schritte. Man berechnet erst die Nullstellen des Nenners, dann macht man die Paritalbruchzerlegung, indem man diese gebrochen rationale Funktion in eine Summe aufteilt. Das haben wir berechnet durch Koeffizientenvergleich. Und zum Schluss haben wir dann die Stammfunktion von dieser neuen Form berechnet mit Hilfe der Integration durch Substitution. Ja, ich hoffe, du hast alles verstanden und hattest auch ein bisschen Spaß dabei. Bis zum nächsten Video, deine Anna.

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