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Integration durch Partialbruchzerlegung

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Annejahn089
Integration durch Partialbruchzerlegung
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Integration durch Partialbruchzerlegung

Hallo! In diesem Video lernst du, wie du mit Hilfe der Partialbruchzerlegung eine Funktion integrieren kannst. Anfangs erkläre ich dir, für welche Funktionen man eine Partialbruchzerlegung machen muss, bevor man sie integrieren kann. Der Weg zur Stammfunktion erfolgt in drei Schritten, die ich dir ausführlich erklären werde: Nullstellen der Nennerfuntkion berechnen, Partialbruchzerlegung mit Koeffizientenvergleich und die Stammfuntkion mit Hilfe des natürlichen Logarithmus bilden. Viel Spaß beim Lernen!

Transkript Integration durch Partialbruchzerlegung

Hallo! Ich bin Anne. Und ich erkläre dir heute, wie man mit Hilfe der Partialbruchzerlegung eine Funktion integrieren kann. Dazu erkläre ich dir kurz, wann man eine Partialbruchzerlegung macht und welche Schritte man durchführen muss, um eine Funktion mit Hilfe der Partialbruchzerlegung zu integrieren. In diesem Video geht es um gebrochen rationale Funktionen. Und von diesen kennt man erst mal keine Stammfunktion. Die Integration durch Partialbruchzerlegung kann man immer dann anwenden, wenn der Grad der Nennerfunktion echt größer ist, als der Grad der Zählerfunktion. Und deswegen sieht auch unser Beispiel so aus: Wir berechnen das Integral von (x+1)/(x2 - 4x + 3) dx. Hier ist der Grad der Nennerfunktion 2 und der Grad der Zählerfunktion 1, also 2 ist echt größer als 1. Wenn das nicht der Fall ist, also der Grad der Nennerfunktion gleich oder kleiner ist als der Grad der Zählerfunktion, dann macht man erst eine Polynomdivision und macht dann für den Rest noch mal diese Integration durch Partialbruchzerlegung. Wir haben jetzt also eine gebrochen rationale Funktion gegeben, wo der Grad der Nennerfunktion echt größer ist als der Grad der Zählerfunktion und diesen Quotienten kann man jetzt auch nicht weiter kürzen. Wir wollen uns erst mal angucken wie diese Funktion aussieht. Und solche gebrochen rationalen Funktionen haben immer solche senkrechten Asymptoten und zwar genau an ihren Polstellen. Polstellen sind die Nullstellen des Nenners. Und das ist jetzt auch der erste Schritt, den wir machen müssen, nämlich wir berechnen die Nullstellen des Nenners. Wir nennen diesen Nenner mal n(x) und das ist ja x2 - 4x + 3 und den setzen wir 0, um die Nullstellen zu berechnen. Und man kann jetzt mit der pq-Formel rausfinden, dass die erste Nullstelle 1 ist und die zweite Nullstelle 3. Und jetzt kann man diesen Nenner auch als Produkt schreiben. Und so ein Faktor sieht dann so aus, das ist mal x minus und dann die Nullstelle also 1 mal x minus die zweite Nullstelle. Und diese Faktoren nennt man auch Linearfaktoren. Die Idee bei der Partialbruchzerlegung ist jetzt, dass wir diesen Quotienten umschreiben in eine Summe und die Summanden dieser Summe sind dann jeweils Brüche und in dem Nenner der Brüche steht jeweils ein Linearfaktor. Das heißt, der zweite Schritt ist jetzt die Partialbruchzerlegung. Wir schreiben jetzt unsere Funktion (x+1)/(x2 - 4x + 3) um in A durch diesen ersten Linearfaktor x-1 plus B durch diesen zweiten Linearfaktor. A und B sind jetzt beliebige reelle Zahlen, also die müssen wir jetzt bestimmen, wie die aussehen. Und das Gute jetzt daran ist, wenn wir die rausgefunden haben, dann kennen wir die Stammfunktion von diesem Ausdruck. So, wir wollen jetzt also diesen Ausdruck so umformen, dass wir wieder diese Form haben, diese linke Form und damit dann A und B berechnen. Wie macht man das? Man bildet erst mal den gemeinsamen Nenner und der ist natürlich (x-1)×(x-3). Jetzt müssen wir diesen ersten Bruch mit (x-3) erweitern, also A×(x-3) plus und diesen zweiten müssen wir mit (x-1) erweitern, also B×(x-1). Jetzt multiplizieren wir den Zähler aus. Und dann kommen wir auf Ax - 3A + Bx - B. Ja, den Nenner kann man jetzt so schreiben oder auch so, weil es ist ja gleich, x2 - 4x + 3. So und jetzt möchte ich die gleiche Struktur haben wie am Anfang und da haben wir, dass wir erst diesen x-Wert haben und dann eine Zahl. Das heißt, wir müssen das hier noch sortieren. Der x-Wert steht hier einmal drinnen in dem Ax und einmal in dem Bx. Und der Rest sind dann die Zahlen, also -3A und -B. Dann klammere ich noch das x aus, aus diesem Ax+Bx. Das heißt, wir haben (A+B)×x und dann die Zahlen -3A - B. Und der Nenner bleibt gleich. Und jetzt machen wir einen Koeffizientenvergleich. Das bedeutet, wir haben jetzt genau diese Struktur im Zähler erzeugt wie am Anfang. Wir haben erst diesen x-Wert und vor diesem x steht ja eine 1. Hier steht ja eigentlich 1×x. Das bedeutet, A+B muss 1 ergeben. Und diese restlichen Zahlen müssen diese 1 ergeben. Also -3A - B muss auch 1 ergeben. Und jetzt haben wir zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, einmal A + B = 1 und einmal -3A - B = 1. Wir haben also zwei Gleichungen. Und das hier ist jetzt ein Gleichungssystem, was wir lösen müssen. Und jetzt sieht man schön, dass wenn man beide Gleichungen addiert, dass B rausfällt, deswegen machen wir das mal. I plus II. 1 - 3A = -2A, B fällt raus, 1+1 = 2. Jetzt muss ich teilen durch -2 und dann komme ich auf A = -1. Jetzt setze ich das A in die erste Gleichung ein, also -1, weil da steht A, plus B ist gleich 1. Jetzt stelle ich nach B um, also addiere 1 und dann ist B = 2. Ja und jetzt setze ich hier ein. Also wir haben jetzt (x+1)/(x2 - 4x + 3) in diese Form gebracht. A hatten wir berechnet mit -1, also -1/(x - 1). B ist 1, also 2/(x - 3). Und von diesem Ausdruck können wir jetzt die Stammfunktion berechnen. Und wie das geht zeige ich euch gleich. Ja, wir haben jetzt berechnet, dass man diese gebrochen rationale Funktion auch als Summe schreiben kann und jetzt wollen wir die Stammfunktion von dieser Funktion berechnen, also das Integral und nach dx. Das können wir jetzt auch für diesen umgeformten Teil machen. Das bedeutet, wir brauchen jetzt so eine Stammfunktion von so einem Term 1/(x - b) dx. Und b ist jetzt eine beliebige reelle Zahl. Wie macht man das? Das kann man einmal durch Integration durch Substitution machen oder durch logarithmische Integration. Wir machen es jetzt mal durch Substitution. Und das macht man so, dass man substituiert z = x - b. Da wir ja auch dx dann durch dz ersetzen müssen, müssen wir jetzt ableiten. Also das ist dz/dx = 1. Und jetzt formen wir noch mal um, das bedeutet dz = dx. Das bedeutet, wir können das hier ersetzen mit 1/z, da z = x - b ist und dx = dz, also steht hier 1/z dz. Davon kennen wir die Stammfunktion, das ist nämlich der natürliche Logarithmus vom Betrag von z plus eine Integrationskonstante c (ln|z| + c). Und jetzt substituieren wir zurück, also ersetzen z wieder durch x-b, also ist das der natürliche Logarithmus vom Betrag von x-b+c (ln|x - b| + c). Ja das können wir jetzt hier einsetzen oder anwenden. Die Zahl, also -1, kann man ja vorholen vor das Integral. Das bedeutet, wir haben jetzt für diesen ersten Summanden die Stammfunktion minus natürlicher Logarithmus vom Betrag von x-1 (-ln|x - 1|), dann die 2 holen wir auch wieder vor, plus 2 natürlicher Logarithmus von dem Betrag von x-3 plus Integrationskonstante c (2ln|x - 3| + c) . Zum Schluss möchte ich noch mal zusammenfassen was du heute gelernt hast. Wir haben uns die Integration durch Partialbruchzerlegung angeschaut. Die kann man immer dann anwenden, wenn der Grad der Nennerfunktion echt größer ist als der Grad der Zählerfunktion. Man macht die drei Schritte. Man berechnet erst die Nullstellen des Nenners, dann macht man die Paritalbruchzerlegung, indem man diese gebrochen rationale Funktion in eine Summe aufteilt. Das haben wir berechnet durch Koeffizientenvergleich. Und zum Schluss haben wir dann die Stammfunktion von dieser neuen Form berechnet mit Hilfe der Integration durch Substitution. Ja, ich hoffe, du hast alles verstanden und hattest auch ein bisschen Spaß dabei. Bis zum nächsten Video, deine Anna.

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Integration durch Partialbruchzerlegung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Integration durch Partialbruchzerlegung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie die gebrochen rationale Funktion in Partialbrüche zerlegt werden kann.

    Tipps

    Du kannst Brüche nur dann addieren, wenn sie einen gemeinsamen Nenner haben. Gegebenenfalls musst du erweitern, das bedeutet: Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl oder dem gleichen Term multiplizieren.

    Zwei ganzrationale Funktionen vom gleichen Grad stimmen nur dann überein, wenn alle Koeffizienten der einzelnen Potenzen identisch sind.

    Du kannst auch wieder zur Probe rückwärts rechnen.

    Lösung

    Nachdem die Nennernullstellen bestimmt sind, wird der Nenner faktorisiert.

    Als nächster Schritt in der Partialbruchzerlegung wird die gebrochen rationale Funktion als Summe / Differenz zweier Brüche geschrieben. Da die Zähler noch nicht bekannt sind, verwendet man $A$ und $B$:

    $\frac{x+1}{(x-1)(x-3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-3}$.

    Die beiden Brüche werden so erweitert, dass sie den gemeinsamen Nenner $(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$ haben:

    $\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-3}=\frac{A(x-3)}{(x-1)(x-3)}+\frac{B(x-1)}{(x-3)(x-1)}=\frac{Ax-3A+Bx-B}{x^2-4x+1}$.

    Bei der Gleichung

    $\frac{x+1}{x^2-4x+1}=\frac{Ax-3A+Bx-B}{x^2-4x+1}$

    stimmen die Nenner überein. Nun müssen $A$ und $B$ so bestimmt werden, dass auch die Zähler übereinstimmen. Hierfür werden die Terme sortiert und $x$ ausgeklammert:

    $Ax-3A+Bx-B=Ax+Bx-3A-B=(A+B)x-3A-B$.

    Damit die Zähler überein stimmen, führt man einen Koeffizientenvergleich durch. Das bedeutet, die Koeffizienten vor den einzelnen Potenzen in den ganzrationalen Termen $x+1$ und $(A+B)x-3A-B$ müssen gleich sein. Dies führt zu dem Gleichungssystem:

    1. $A+B=1$
    2. $-3A-B=1$
    Wenn man diese Gleichungen addiert, erhält man $-2A=2$. Division durch $-2$ führt zu $A=-1$. Setzt man dieses $A$ in der ersten Gleichung ein, kommt man zu $-1+B=1$. Addition von $1$ resultiert in $B=2$.

    Damit ist die Partialbruchzerlegung fertig. Es ist

    $f(x)=\frac{x+1}{x^2-4x+3}=-\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x-3}$.

  • Gib eine Stammfunktion der gebrochen rationalen Funktion an.

    Tipps

    Verwende die logarithmische Integration

    $\int~\left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)~dx=\ln|f(x)|+c$.

    Wenn in einem Bruch im Zähler die Ableitung des Nenners steht, dann ist durch den natürlich Logarithmus der Nennerfunktion im Betrag eine Stammfunktion des Bruches gegeben.

    Achte auf die Betragsstriche: Die Logarithmusfunktion ist für negative Argumente nicht definiert.

    Du kannst den Faktor aus der Integration herausziehen.

    Lösung

    Durch die Partialbruchzerlegung der gebrochen rationalen Funktion $f(x)$ ist alles vorbereitet, um diese zu integrieren.

    Hierfür wird die logarithmische Integration

    $\int~\left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)~dx=\ln|f(x)|+c$

    verwendet.

    Es ist $f(x)=-\frac{1}{x-1}+2\frac{1}{x-3}$.

    Bei beiden Brüchen ist die Ableitung des Nenners $1$. Diese steht jeweils im Zähler. Damit ist

    $\int~f(x)~dx=-\ln|x-1|+3\ln|x-3|+c$

    eine Stammfunktion von $f(x)$.

  • Stelle den Nenner der gebrochen rationalen Funktion in faktorisierter Form dar.

    Tipps

    Der Term oberhalb des Bruchstrichs ist der Zähler $z(x)$ und der unterhalb der Nenner $n(x)$.

    Löse die Gleichung $x^2-1=0$.

    Du kannst, musst aber nicht, die p-q-Formel verwenden.

    Achte darauf, dass es beim Ziehen der Quadratwurzel auch eine negative Lösung gibt.

    Für die Faktorisierung kannst du auch die 3. binomische Formel verwenden

    $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

    Lösung

    Zunächst müssen die Nennernullstellen bestimmt werden:

    $\begin{array}{rclll} x^2-1&=&0&|&+1\\ x^2&=&1&|&\sqrt{~~}\\ x&=&\pm1 \end{array}$

    Damit sind die beiden Nullstellen $x=-1$ oder $x=1$ gefunden.

    Nun kann der Nenner faktorisiert werden zu

    $x^2-1=(x+1)(x-1)$.

    Übrigens: Hierfür hätte man auch die 3. binomische Formel verwenden können.

  • Leite eine Partialbruchzerlegung der gebrochen rationalen Funktion her und gib damit eine Stammfunktion dieser Funktion an.

    Tipps

    Bringe die Brüche auf den gemeinsamen Nenner $x^2-1$ und addiere dann zu

    $f(x)=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}=\frac{A(x-1)+B(x+1)}{x^2-1}$.

    Ganz allgemein kannst du bei linearem Nenner wie folgt integrieren:

    $\int~\left(\frac k{mx+n}\right)~dx=\frac km\ln|mx+n|+c$.

    Leite zur Kontrolle die Stammfunktion nochmal ab. Verwende dabei

    $(\ln|mx+n|)'=\frac{m}{mx+n}$.

    Anmerkung: Ich verzichte hier auf den Nachweis ... so von wegen Beträge und so...

    Lösung

    Die beiden Brüche

    $\frac{3x-1}{x^2-1}$ sowie $\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}$

    sollen übereinstimmen. Die beiden Brüche (rechts) werden addiert zu

    $\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}=\frac{A(x-1)+B(x+1)}{x^2-1}$.

    Die Nenner stimmen bereits überein. Also müssen auch die Zähler überein stimmen. Es ist

    $A(x-1)+B(x+1)=Ax-A+Bx-B=(A+B)x-A+B$.

    Damit muss das folgende Gleichungssystem gelöst werden

    1. $A+B=3$ sowie
    2. $-A+B=-1$
    Die beiden Gleichungen werden addiert zu $2B=2$. Division durch $2$ führt zu $B=1$. Dieses $B$ wird in der ersten Gleichung eingesetzt: $A+1=3$. Nun wird $1$ subtrahiert zu $A=2$. Damit ist die Partialbruchzerlegung von $f(x)$ fertig:

    $f(x)=\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-1}$.

    Mit dieser Zerlegung kann unter Zuhilfenahme der logarithmischen Integration

    $\int~\left(\frac k{mx+n}\right)~dx=\frac km\ln|mx+n|+c$

    eine Stammfunktion angeben werden:

    $\int~f(x)~dx=2\ln|x+1|+\ln|x-1|+c$.

  • Berechne die Nullstellen des Nenners und gib dessen Faktorisierung an.

    Tipps

    Verwende die p-q-Formel zur Bestimmung von $x^2+px+q=0$:

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Wenn du die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion kennst, kannst du diese faktorisieren.

    Schau dir hierzu folgendes Beispiel an: Die Funktion $f(x)=x^2+4x-5$ hat die Nullstellen $x=1$ oder $x=-5$. Damit ist

    $f(x)=(x+5)(x-1)$.

    In den Faktoren steht $x$ minus die Nullstelle.

    Der Nenner hat zwei Nullstellen.

    Lösung

    Ziel der Partialbruchzerlegung ist es, diese gebrochen rationale Funktion in die Summe / Differenz zweier Brüche zu zerlegen, bei denen jeweils der Nenner linear in $x$ ist.

    Hierfür müssen zunächst einmal die Nennernullstellen bestimmt werden. Mit Hilfe der p-q-Formel ($p=-4$ und $q=3$) erhält man

    $\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac {-4}2\pm\sqrt{\left(\frac {-4}2\right)^2-3}\\ &=&2\pm\sqrt{1}\\ x_1&=&2+1=3\\ x_2&=&2-1=1 \end{array}$

    Mit Hilfe dieser Nullstellen lässt sich der Nenner faktorisieren zu

    $n(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$.

  • Bestimme eine Stammfunktion der gebrochen rationalen Funktion.

    Tipps

    Wenn du die Brüche addierst, erhältst du im Zähler $(A+B)x-3A$.

    Es ist $A=3$ und $B=-2$.

    Achte auf das Vorzeichen.

    Verwende

    $\int~\left(\frac{1}{x+b}\right)~dx=\ln|x+b|+c$.

    Lösung

    Hier ist bereits die Partialbruchzerlegung der Funktion $f(x)$ zu sehen. Diese erhält man wie folgt:

    1. Nullstellenbestimmung des Nenners $x^2-3x=x(x-3)=0$, also $x=0$ oder $x=3$.
    2. Damit ist $f(x)=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-3}=\frac{(A+B)x-3A}{x^2-3x}$.
    3. Also ist $-3A=-9$ und somit $A=3$.
    4. $3+B=1$. Subtraktion von $3$ führt zu $B=-2$.
    Mit dieser Partialbruchzerlegung kann eine Stammfunktion von $f(x)$ angegeben werden:

    $\int~f(x)~dx=3\ln|x|-2\ln|x-3|+c$.

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