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Integration durch Partialbruchzerlegung

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Die Autor*innen
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Annejahn089
Integration durch Partialbruchzerlegung
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Integration durch Partialbruchzerlegung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Integration durch Partialbruchzerlegung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie die gebrochen rationale Funktion in Partialbrüche zerlegt werden kann.

    Tipps

    Du kannst Brüche nur dann addieren, wenn sie einen gemeinsamen Nenner haben. Gegebenenfalls musst du erweitern, das bedeutet: Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl oder dem gleichen Term multiplizieren.

    Zwei ganzrationale Funktionen vom gleichen Grad stimmen nur dann überein, wenn alle Koeffizienten der einzelnen Potenzen identisch sind.

    Du kannst auch wieder zur Probe rückwärts rechnen.

    Lösung

    Nachdem die Nennernullstellen bestimmt sind, wird der Nenner faktorisiert.

    Als nächster Schritt in der Partialbruchzerlegung wird die gebrochen rationale Funktion als Summe / Differenz zweier Brüche geschrieben. Da die Zähler noch nicht bekannt sind, verwendet man $A$ und $B$:

    $\frac{x+1}{(x-1)(x-3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-3}$.

    Die beiden Brüche werden so erweitert, dass sie den gemeinsamen Nenner $(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$ haben:

    $\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-3}=\frac{A(x-3)}{(x-1)(x-3)}+\frac{B(x-1)}{(x-3)(x-1)}=\frac{Ax-3A+Bx-B}{x^2-4x+1}$.

    Bei der Gleichung

    $\frac{x+1}{x^2-4x+1}=\frac{Ax-3A+Bx-B}{x^2-4x+1}$

    stimmen die Nenner überein. Nun müssen $A$ und $B$ so bestimmt werden, dass auch die Zähler übereinstimmen. Hierfür werden die Terme sortiert und $x$ ausgeklammert:

    $Ax-3A+Bx-B=Ax+Bx-3A-B=(A+B)x-3A-B$.

    Damit die Zähler überein stimmen, führt man einen Koeffizientenvergleich durch. Das bedeutet, die Koeffizienten vor den einzelnen Potenzen in den ganzrationalen Termen $x+1$ und $(A+B)x-3A-B$ müssen gleich sein. Dies führt zu dem Gleichungssystem:

    1. $A+B=1$
    2. $-3A-B=1$
    Wenn man diese Gleichungen addiert, erhält man $-2A=2$. Division durch $-2$ führt zu $A=-1$. Setzt man dieses $A$ in der ersten Gleichung ein, kommt man zu $-1+B=1$. Addition von $1$ resultiert in $B=2$.

    Damit ist die Partialbruchzerlegung fertig. Es ist

    $f(x)=\frac{x+1}{x^2-4x+3}=-\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x-3}$.

  • Gib eine Stammfunktion der gebrochen rationalen Funktion an.

    Tipps

    Verwende die logarithmische Integration

    $\int~\left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)~dx=\ln|f(x)|+c$.

    Wenn in einem Bruch im Zähler die Ableitung des Nenners steht, dann ist durch den natürlich Logarithmus der Nennerfunktion im Betrag eine Stammfunktion des Bruches gegeben.

    Achte auf die Betragsstriche: Die Logarithmusfunktion ist für negative Argumente nicht definiert.

    Du kannst den Faktor aus der Integration herausziehen.

    Lösung

    Durch die Partialbruchzerlegung der gebrochen rationalen Funktion $f(x)$ ist alles vorbereitet, um diese zu integrieren.

    Hierfür wird die logarithmische Integration

    $\int~\left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)~dx=\ln|f(x)|+c$

    verwendet.

    Es ist $f(x)=-\frac{1}{x-1}+2\frac{1}{x-3}$.

    Bei beiden Brüchen ist die Ableitung des Nenners $1$. Diese steht jeweils im Zähler. Damit ist

    $\int~f(x)~dx=-\ln|x-1|+3\ln|x-3|+c$

    eine Stammfunktion von $f(x)$.

  • Stelle den Nenner der gebrochen rationalen Funktion in faktorisierter Form dar.

    Tipps

    Der Term oberhalb des Bruchstrichs ist der Zähler $z(x)$ und der unterhalb der Nenner $n(x)$.

    Löse die Gleichung $x^2-1=0$.

    Du kannst, musst aber nicht, die p-q-Formel verwenden.

    Achte darauf, dass es beim Ziehen der Quadratwurzel auch eine negative Lösung gibt.

    Für die Faktorisierung kannst du auch die 3. binomische Formel verwenden

    $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

    Lösung

    Zunächst müssen die Nennernullstellen bestimmt werden:

    $\begin{array}{rclll} x^2-1&=&0&|&+1\\ x^2&=&1&|&\sqrt{~~}\\ x&=&\pm1 \end{array}$

    Damit sind die beiden Nullstellen $x=-1$ oder $x=1$ gefunden.

    Nun kann der Nenner faktorisiert werden zu

    $x^2-1=(x+1)(x-1)$.

    Übrigens: Hierfür hätte man auch die 3. binomische Formel verwenden können.

  • Leite eine Partialbruchzerlegung der gebrochen rationalen Funktion her und gib damit eine Stammfunktion dieser Funktion an.

    Tipps

    Bringe die Brüche auf den gemeinsamen Nenner $x^2-1$ und addiere dann zu

    $f(x)=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}=\frac{A(x-1)+B(x+1)}{x^2-1}$.

    Ganz allgemein kannst du bei linearem Nenner wie folgt integrieren:

    $\int~\left(\frac k{mx+n}\right)~dx=\frac km\ln|mx+n|+c$.

    Leite zur Kontrolle die Stammfunktion nochmal ab. Verwende dabei

    $(\ln|mx+n|)'=\frac{m}{mx+n}$.

    Anmerkung: Ich verzichte hier auf den Nachweis ... so von wegen Beträge und so...

    Lösung

    Die beiden Brüche

    $\frac{3x-1}{x^2-1}$ sowie $\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}$

    sollen übereinstimmen. Die beiden Brüche (rechts) werden addiert zu

    $\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}=\frac{A(x-1)+B(x+1)}{x^2-1}$.

    Die Nenner stimmen bereits überein. Also müssen auch die Zähler überein stimmen. Es ist

    $A(x-1)+B(x+1)=Ax-A+Bx-B=(A+B)x-A+B$.

    Damit muss das folgende Gleichungssystem gelöst werden

    1. $A+B=3$ sowie
    2. $-A+B=-1$
    Die beiden Gleichungen werden addiert zu $2B=2$. Division durch $2$ führt zu $B=1$. Dieses $B$ wird in der ersten Gleichung eingesetzt: $A+1=3$. Nun wird $1$ subtrahiert zu $A=2$. Damit ist die Partialbruchzerlegung von $f(x)$ fertig:

    $f(x)=\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-1}$.

    Mit dieser Zerlegung kann unter Zuhilfenahme der logarithmischen Integration

    $\int~\left(\frac k{mx+n}\right)~dx=\frac km\ln|mx+n|+c$

    eine Stammfunktion angeben werden:

    $\int~f(x)~dx=2\ln|x+1|+\ln|x-1|+c$.

  • Berechne die Nullstellen des Nenners und gib dessen Faktorisierung an.

    Tipps

    Verwende die p-q-Formel zur Bestimmung von $x^2+px+q=0$:

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Wenn du die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion kennst, kannst du diese faktorisieren.

    Schau dir hierzu folgendes Beispiel an: Die Funktion $f(x)=x^2+4x-5$ hat die Nullstellen $x=1$ oder $x=-5$. Damit ist

    $f(x)=(x+5)(x-1)$.

    In den Faktoren steht $x$ minus die Nullstelle.

    Der Nenner hat zwei Nullstellen.

    Lösung

    Ziel der Partialbruchzerlegung ist es, diese gebrochen rationale Funktion in die Summe / Differenz zweier Brüche zu zerlegen, bei denen jeweils der Nenner linear in $x$ ist.

    Hierfür müssen zunächst einmal die Nennernullstellen bestimmt werden. Mit Hilfe der p-q-Formel ($p=-4$ und $q=3$) erhält man

    $\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac {-4}2\pm\sqrt{\left(\frac {-4}2\right)^2-3}\\ &=&2\pm\sqrt{1}\\ x_1&=&2+1=3\\ x_2&=&2-1=1 \end{array}$

    Mit Hilfe dieser Nullstellen lässt sich der Nenner faktorisieren zu

    $n(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$.

  • Bestimme eine Stammfunktion der gebrochen rationalen Funktion.

    Tipps

    Wenn du die Brüche addierst, erhältst du im Zähler $(A+B)x-3A$.

    Es ist $A=3$ und $B=-2$.

    Achte auf das Vorzeichen.

    Verwende

    $\int~\left(\frac{1}{x+b}\right)~dx=\ln|x+b|+c$.

    Lösung

    Hier ist bereits die Partialbruchzerlegung der Funktion $f(x)$ zu sehen. Diese erhält man wie folgt:

    1. Nullstellenbestimmung des Nenners $x^2-3x=x(x-3)=0$, also $x=0$ oder $x=3$.
    2. Damit ist $f(x)=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-3}=\frac{(A+B)x-3A}{x^2-3x}$.
    3. Also ist $-3A=-9$ und somit $A=3$.
    4. $3+B=1$. Subtraktion von $3$ führt zu $B=-2$.
    Mit dieser Partialbruchzerlegung kann eine Stammfunktion von $f(x)$ angegeben werden:

    $\int~f(x)~dx=3\ln|x|-2\ln|x-3|+c$.

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