Innere Tangenten an zwei Kreise – Konstruktion
Eine innere Tangente ist eine Gerade, die zwei Kreise berührt und dazwischen verläuft. Hier lernst du, wie du sie konstruierst: Verbinde die Mittelpunkte der Kreise, zeichne Hilfskreise und verschiebe Hilfslinien, um die Tangenten zu finden. Spannend? Entdecke mehr über die Konstruktion von inneren Tangenten!

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Innere Tangenten an zwei Kreise – Konstruktion

Äußere Tangenten an zwei Kreisen – Konstruktion
Innere Tangenten an zwei Kreise – Konstruktion Übung
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Gib wieder, wie man den Mittelpunkt der Verbindungsstrecke zweier Kreismittelpunkte bestimmt.
TippsDie Mittelsenkrechte schneidet eine Verbindungsstrecke zweier Punkte genau in der Mitte der beiden Punkte.
Jede Stelle der Mittelsenkrechten hat von den beiden Kreismittelpunkten den gleichen Abstand. Durch die Schnittpunkte der beiden Kreisbogensegmente mit gleichem Radius erhältst du zwei Punkte, die von beiden Kreismittelpunkten den gleichen Abstand haben.
LösungDen Mittelpunkt der Verbindungsstrecke zweier Kreismittelpunkte kannst du so bestimmen:
Verbinde zunächst die Kreismittelpunkte zu einer Strecke.
- Du willst den Mittelpunkt der Verbindungsstrecke zweier Kreismittelpunkte bestimmen. Dazu musst du sie zuerst zeichnen.
- Durch die Schnittpunkte der beiden Kreisbogensegmente mit gleichem Radius erhältst du zwei Punkte, die von beiden Kreismittelpunkten den gleichen Abstand haben.
Diese Gerade heißt Mittelsenkrechte.
- Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten hat zu den beiden Kreismittelpunkten jeweils denselben Abstand. Mit den beiden Schnittpunkten kannst du eine Gerade zeichnen, die dies erfüllt.
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Beschreibe, wie man eine innere Tangente an zwei Kreisen konstruiert.
TippsDer Radius des zweiten Hilfskreises ist größer als die Radien der beiden einzelnen Kreise.
Stehen zwei Geraden im Winkel $\alpha$ zueinander und führt man eine Parallelverschiebung einer der beiden Geraden durch, bleibt dieser Winkel $\alpha$ erhalten.
LösungHast du den Mittelpunkt der Verbindungslinie zweier Kreismittelpunkte gegeben, kannst du so die inneren Tangenten konstruieren:
„Zuerst zeichnest du einen Hilfskreis um den Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der beiden Kreismittelpunkte.“
- Mit diesem Hilfskreis kannst du den Satz des Thales anwenden. Dieser besagt, dass jedes Dreieck, das sich aus den Eckpunkten des Durchmessers eines Kreises und einem dritten Eckpunkt auf dem Kreisrand zusammensetzt, einen rechten Winkel in diesem dritten Eckpunkt besitzt.
„Dann zeichnest du Hilfsgeraden durch die Schnittpunkte der Hilfskreise und den Mittelpunkt des kleinen Kreises.“
- Da die Schnittpunkte der beiden Hilfskreise auf dem Thaleskreis liegen, haben die gezeichneten Geraden einen rechten Winkel zum verlängerten Radius des großen Hilfskreises.
- Durch die Parallelverschiebung bleibt der rechte Winkel erhalten. Die beiden Geraden liegen also jeweils im rechten Winkel zum Radius der beiden Kreise und berühren die Kreise in genau einem Punkt. Das sind die Bedingungen für Tangenten.
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Erkläre die verschiedenen Schritte beim Konstruieren von inneren Tangenten.
TippsSo konstruierst du die Mittelsenkrechte zwischen den beiden Kreismittelpunkten.
Die rot markierte Linie ist die Mittellinie des Geodreiecks.
LösungSo kannst du jeden Konstruktionsschritt durchführen:
- Konstruktion einer Mittelsenkrechten zwischen zwei Punkten.
- Zeichnen eines Hilfskreises um den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten.
- Konstruktion des Radius für einen Hilfskreis, der so groß ist wie der Radius des kleinen und der Radius des großen Kreises zusammen.
- Parallelverschiebung der Geraden.
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Erkläre, warum die Konstruktion funktioniert.
TippsDer Satz des Thales handelt von rechten Winkeln in Halbkreisen.
Ist $A$ der Mittelpunkt des großen Kreises, entspricht die Strecke $\overline{AC}$ dem Radius dieses Kreises.
LösungDu kannst die Konstruktion folgendermaßen begründen:
„Bei der Konstruktion betrachtet man einen Halbkreis. Die Endpunkte des Durchmessers $A$ und $B$ und ein beliebiger Punkt $C$ auf dem Halbkreis bilden ein Dreieck. Der Satz des Thales besagt, dass beim Punkt $C$ ein rechter Winkel liegt.“
- In der Grafik wird der Durchmesser durch die Punkte $A$ und $B$ begrenzt. Am Eckpunkt $C$ liegt ein rechter Winkel.
- Die Erkenntnisse des Thaleskreises kannst du jetzt auf die Konstruktion der Tangenten anwenden. Hier macht man sich den rechten Winkel im Eckpunkt $C$ zunutze. An diesem Winkel liegen der Radius des großen Kreises und die Hilfsgerade an.
- Da die Hilfsgerade genau um die Länge des kleinen Radius entlang des großen Radius parallelverschoben wird, landet sie gleichzeitig auf beiden Kreisrändern.
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Bestimme die korrekten Aussagen zu Tangenten.
TippsDas ist eine Tangente an einem Kreis.
Zwei parallele Geraden bilden immer die gleichen Winkel zu einer dritten Geraden, die beide Geraden schneidet. Zum Beispiel gilt hier:
$\alpha_1=\alpha_2$.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Schneiden sich zwei Kreise in genau einem Punkt, kannst du auch hier zwei innere Tangenten bestimmen.“
- Hier kannst du nur eine innere Tangente bestimmen. Das ist die Gerade, die senkrecht zu beiden Radien und durch den Schnittpunkt der beiden Kreislinien verläuft.
- Bei sich überschneidenden Kreisen kannst du keine innere Tangente bestimmen.
- Eine Parallelverschiebung erhält die Winkelbeziehungen der verschobenen Geraden.
„Bevor du innere Tangenten konstruieren kannst, musst du zuerst eine Mittelsenkrechte zwischen den Kreismittelpunkten bestimmen.“
- Da du für die Konstruktion der Tangenten einen Kreis um den Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der Kreismittelpunkte zeichnen musst, musst du diesen Mittelpunkt zuerst mithilfe der Mittelsenkrechten bestimmen.
- Das sind die Bedingungen für eine Tangente an einen Kreis.
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Bestimme die korrekten Aussagen zu inneren Tangenten.
TippsDa Tangenten Geraden sind, haben sie überall die gleiche Steigung. Gehst du auf einer Geraden einen Schritt nach rechts (auf der $x$-Achse), dann bewegt sich die Gerade immer um einen konstanten Schritt nach oben oder unten (auf der $y$-Achse). Die hier gezeichneten Tangenten erfüllen dasselbe Prinzip.
So sehen die konstruierten inneren Tangenten an zwei unterschiedlich großen Kreisen aus.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Sind die Kreise unterschiedlich groß, ist der Schnittpunkt der inneren Tangenten immer näher am größeren Kreis.“
- Weil Tangenten Geraden sind, haben sie überall die gleiche Steigung. Gehst du auf einer Geraden einen Schritt nach rechts (auf der $x$-Achse), dann bewegt sich die Gerade immer um einen konstanten Schritt nach oben oder unten (auf der $y$-Achse). Die hier gezeichneten Tangenten erfüllen dasselbe Prinzip. Der Rand des kleinen Kreises ist jedoch weniger weit von der Verbindungslinie der Kreismittelpunkte (in der Skizze die $x$-Achse) entfernt, als der Rand des großen Kreises. Deshalb muss der Schnittpunkt näher am kleinen Kreis liegen.
- Hier existieren keine Tangenten, da die beiden Bedingungen für Tangenten nicht erfüllt werden können.
„Sind die Kreise gleich groß, schneiden sich die inneren Tangenten im Mittelpunkt der Verbindungslinie der beiden Kreismittelpunkte.“
- Auch hier haben die Tangenten überall die gleiche Steigung. Allerdings sind die beiden Kreisränder gleich weit von der Verbindungslinie der Kreismittelpunkte (in der Skizze die $x$-Achse) entfernt. Also müssen sie den gleichen Weg auf der $y$-Achse zurücklegen. Damit schneiden sich die Tangenten im Mittelpunkt der Verbindungslinie der Kreismittelpunkte.
- Die oberen und unteren Ränder der beiden Kreise sind immer gleich weit von der Verbindungslinie der Kreismittelpunkte entfernt. Da die beiden Geraden betragsmäßig die gleiche Steigung haben, müssen sie sich in der Mitte, also auf der Verbindungslinie der Kreismittelpunkte treffen.
- Unabhängig von der Größe der Kreise ist die Zeichnung achsensymmetrisch mit der Verbindungslinie der Kreismittelpunkte als Symmetrieachse. Sind die beiden Kreise gleich groß, kommt eine Symmetrieachse hinzu, die senkrecht zu dieser Verbindungslinie steht und durch den Schnittpunkt der Tangenten verläuft.
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