Innere Tangenten an zwei Kreise – Konstruktion
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Grundlagen zum Thema Innere Tangenten an zwei Kreise – Konstruktion
Wie konstruiert man die innere Tangente an zwei Kreise?
Eine innere Tangente an zwei Kreise ist eine Gerade, die zwischen den beiden Kreisen verläuft und beide Kreise berührt. Wir wollen im Folgenden der Frage nachgehen, wie man die innere Tangente konstruiert. Dazu überlegen wir uns zunächst, welche Fälle auftreten können, und fragen uns jeweils: Wo berührt die innere Tangente die zwei Kreise?
Wir sehen, dass es abhängig von der Lage der Kreise zwei, eine oder auch keine innere Tangente gibt. Wie du die zwei Tangenten im ersten Fall konstruieren kannst, schauen wir uns nun genau an.
Innere Tangente an zwei Kreise konstruieren – einfach erklärt
Betrachten wir den ersten Fall mit zwei Kreisen, die sich nicht schneiden oder berühren.
Zuerst verbinden wir die Mittelpunkte der beiden Kreise und konstruieren den Mittelpunkt der Verbindungsstrecke mit einer Mittelsenkrechten.
Wir zeichnen nun zwei Hilfskreise. Der erste verläuft um den Mittelpunkt der Verbindungsstrecke und geht durch die beiden Mittelpunkte der Kreise. Der zweite verläuft um den Mittelpunkt des großen Kreises. Sein Radius ist die Summe der beiden Kreisradien.
Die beiden Hilfskreise schneiden sich in zwei Punkten. Wir zeichnen nun zwei Hilfsgeraden durch diese Schnittpunkte und den Mittelpunkt des kleinen Kreises.
Zuletzt verschieben wir die beiden Hilfsgeraden parallel in Richtung der Mittelpunkte der Kreise, bis sie die Kreise berühren.
Um zu zeigen, dass es sich bei den verschobenen Hilfsgeraden tatsächlich um die gesuchten inneren Tangenten handelt, nutzen wir den Satz des Thales:
Der erste Hilfskreis ist ein Thaleskreis über der Verbindungsstrecke der beiden Kreismittelpunkte. Daher ist das Dreieck, das die beiden Kreismittelpunkte mit dem Schnittpunkt der beiden Hilfskreise bilden, rechtwinklig. Durch Parallelverschiebung der Hilfsgeraden ändert sich dieser Winkel nicht. Das heißt, auch die verschobene Hilfsgerade bildet einen rechten Winkel mit dem Kreisradius.
Wir haben die inneren Tangenten zweier Kreise konstruiert.
Innere Tangenten konstruieren – Schritt für Schritt
Wir fassen noch einmal Schritt für Schritt zusammen, wie wir vorgehen, um die inneren Tangenten an zwei Kreise zu konstruieren:
- Verbinde die Mittelpunkte der beiden Kreise und ermittle den Mittelpunkt $M$ der Verbindungsstrecke.
- Zeichne einen Hilfskreis um $M$ durch die beiden Mittelpunkte der Kreise.
- Zeichne einen zweiten Hilfskreis um den Mittelpunkt des großen Kreises. Der Radius ist die Summe aus dem Radius des großen und dem Radius des kleinen Kreises.
- Zeichne zwei Hilfsgeraden, indem du den Mittelpunkt des kleinen Kreises mit den Schnittpunkten der beiden Hilfskreise verbindest.
- Verschiebe die Hilfsgeraden parallel nach innen, bis sie den großen Kreis berühren.
Die verschobenen Hilfsgeraden sind die inneren Tangenten an die beiden Kreise mit folgenden Eigenschaften:
- Sie berühren beide Kreise in genau einem Punkt.
- Sie stehen senkrecht auf dem Radius der beiden Kreise.
Konstruktion der inneren Tangenten zweier Kreise – Übungen
Jetzt weißt du, wie die inneren Tangenten an zwei Kreisen verlaufen können und wie du sie konstruieren kannst.
Zusätzlich zum Video findest du auf dieser Seite auch Übungen zur Konstruktion der inneren Tangenten.
Transkript Innere Tangenten an zwei Kreise – Konstruktion
Alles könnte so gemütlich und entspannt sein. Wenn Onkel Finn einem nicht immerzu das Ohr abkauen würde von damals, als er unser paradiesisches Zuhause gefunden hat. Dafür musste er einen giftig brodelnden Abwassersee überqueren! Doch in der Mitte des Sees ragten zwei Ungetüme von Mülltonnen hervor! Um einen Weg daran vorbei zu schaffen, musste er eine innere Tangente an zwei Kreisen konstruieren! Erst einmal sollten wir klären, wie innere Tangenten an Kreisen eigentlich aussehen. Zwei Kreise können weit voneinander entfernt liegen, sie können sich in genau einem Punkt berühren, aber sie können sich auch richtig überschneiden. Eine innere Tangente an zwei Kreisen läuft zwischen ihnen entlang und berührt beide Kreise in genau einem Punkt. Wenn sich die Kreise jedoch überschneiden, passt keine innere Tangente mehr zwischen ihnen hindurch. Berühren sich die Kreise, kann eine innere Tangente gezogen werden, genau durch den Berührpunkt der Kreise. Und liegt etwas Abstand zwischen den Kreisen kann sowohl von der einen Seite als auch von der anderen Seite jeweils eine innere Tangente mit je zwei Berührpunkten konstruiert werden. Und genau das haben wir jetzt vor. Für die Konstruktion beginnen wir mit den Kreismittelpunkten der Kreise und verbinden sie miteinander. Wir wollen nun den Mittelpunkt dieser Verbindungsstrecke bestimmen und benötigen dafür ihre Mittelsenkrechte. Ausgehend von einem Kreismittelpunkt und mit einem Radius, der größer als die Hälfte der Verbindungsstrecke ist, zeichnen wir mit dem Zirkel einen Kreisbogen. Mit genau demselben Radius zeichnen wir jetzt vom anderen Kreismittelpunkt aus. Noch einen Kreisbogen. Die Kreisbogen schneiden sich ober- und unterhalb der Verbindungsstrecke. Wenn wir die Schnittstellen jetzt mit dem Lineal verbinden, ist dies genau der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke. Um den herum zeichnen wir einen Hilfskreis, der durch die beiden Kreismittelpunkte verläuft. Vom großen Hauptkreis finden wir die Radiuslänge hier und vom kleinen Hauptkreis die Radiuslänge hier auf der Verbindungsstrecke. Mit dem Zirkel spannen wir EINEN der beiden Radien ein. Den anderen Radius verlängern wir nun um die eingespannte Länge. Vom Kreismittelpunkt aus haben wir jetzt einen zusammengesetzten, neuen Radius, mit dem wir einen neuen Hilfskreis zeichnen. Sein Radius ist so lang wie der große und der kleine Radius zusammen. Nun schauen wir auf die Schnittpunkte der beiden Hilfskreise und verbinden erst den einen mit dem Kreismittelpunkt des kleinen Hauptkreises zu einer Hilfsgeraden. Mit dem anderen Schnittpunkt machen wir genau dasselbe. Außerdem zeichnen wir vom Kreismittelpunkt des großen Hauptkreises durch den oberen Schnittpunkt einen Strahl. Und ebenso durch den unteren Schnittpunkt einen weiteren Strahl. Als Nächstes wollen eine Parallelverschiebung der Hilfsgeraden machen und zwar dem Strahl entgegen, bis der Strahl auf den Hauptkreis trifft. Somit erhalten wir diese Gerade und, indem wir die andere Hilfsgerade parallel verschieben, noch diese Gerade. Sowohl die Gerade berührt den großen und den kleinen Hauptkreis in genau einem Punkt, als auch die Gerade. Damit haben wir die inneren Tangenten der Kreise konstruiert und jeweils die beiden Berührpunkte gefunden! Aber - eine Tangente berührt den Kreis ja nicht nur in genau einem Punkt! Im Berührpunkt muss doch der Radius des Kreises senkrecht auf die Tangente stehen! Aber woher wissen wir denn eigentlich, dass hier rechte Winkel liegen? Die Tangente haben wir durch die Parallelverschiebung dieser Hilfsgeraden erhalten. Bezogen auf diese Streckenabschnitte und diesen Halbkreis dürfen wir den Satz des Thales anwenden! Demnach liegt hier schon einmal ein rechter Winkel. Der Abstand zwischen Tangente und Hilfsgerade ist so groß wie der Abstand zwischen den beiden Kreisen. Der Abstand ist wiederum der übertragene Radius des kleinen Hauptkreises und den finden wir auch am Berührpunkt wieder. Zusammengefasst sind diese beiden Strecken gleich lang. Deshalb und wegen der Parallelität können wir vom rechten Winkel aus dem Thaleskreis auf diesen rechten Winkel schließen. Außerdem führt uns der rechte Winkel im Thaleskreis - ebenfalls aufgrund der Parallelität - auch zu diesem rechten Winkel. Somit steht die Tangente in beiden Berührpunkten senkrecht zum Radius - genau so wollten wir das! Lass uns die Konstruktion der inneren Tangenten noch einmal im Schnelldurchlauf durchgehen. Zuerst verbindest du die Kreismittelpunkte. Mithilfe der Mittelsenkrechten bestimmst du die Mitte, damit du einen ersten Hilfskreis durch die Kreismittelpunkte zeichnen kannst. Danach zeichnest du einen zweiten Hilfskreis, dessen Radius gleich dem Radius des größeren plus den Radius des kleineren Kreises ist. Durch die beiden Schnittpunkte der beiden Hilfskreise und den Mittelpunkt des kleinen Kreises zeichnest du noch jeweils eine Hilfsgerade. Die verschiebst du anschließend parallel bis zum Rand des großen Kreises: fertig sind die inneren Tangenten! Und Onkel Finn, der nahm damals seinen allerletzten Pfeil, band ein starkes Seil daran und schoss den Pfeil gradlinig zwischen den beiden Ungetümen hindurch. Er balancierte in seine neue Heimat und schuf so die berühmte "Legende der Tangente"!
Innere Tangenten an zwei Kreise – Konstruktion Übung
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Gib wieder, wie man den Mittelpunkt der Verbindungsstrecke zweier Kreismittelpunkte bestimmt.
TippsDie Mittelsenkrechte schneidet eine Verbindungsstrecke zweier Punkte genau in der Mitte der beiden Punkte.
Jede Stelle der Mittelsenkrechten hat von den beiden Kreismittelpunkten den gleichen Abstand. Durch die Schnittpunkte der beiden Kreisbogensegmente mit gleichem Radius erhältst du zwei Punkte, die von beiden Kreismittelpunkten den gleichen Abstand haben.
LösungDen Mittelpunkt der Verbindungsstrecke zweier Kreismittelpunkte kannst du so bestimmen:
Verbinde zunächst die Kreismittelpunkte zu einer Strecke.
- Du willst den Mittelpunkt der Verbindungsstrecke zweier Kreismittelpunkte bestimmen. Dazu musst du sie zuerst zeichnen.
- Durch die Schnittpunkte der beiden Kreisbogensegmente mit gleichem Radius erhältst du zwei Punkte, die von beiden Kreismittelpunkten den gleichen Abstand haben.
Diese Gerade heißt Mittelsenkrechte.
- Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten hat zu den beiden Kreismittelpunkten jeweils denselben Abstand. Mit den beiden Schnittpunkten kannst du eine Gerade zeichnen, die dies erfüllt.
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Beschreibe, wie man eine innere Tangente an zwei Kreisen konstruiert.
TippsDer Radius des zweiten Hilfskreises ist größer als die Radien der beiden einzelnen Kreise.
Stehen zwei Geraden im Winkel $\alpha$ zueinander und führt man eine Parallelverschiebung einer der beiden Geraden durch, bleibt dieser Winkel $\alpha$ erhalten.
LösungHast du den Mittelpunkt der Verbindungslinie zweier Kreismittelpunkte gegeben, kannst du so die inneren Tangenten konstruieren:
„Zuerst zeichnest du einen Hilfskreis um den Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der beiden Kreismittelpunkte.“
- Mit diesem Hilfskreis kannst du den Satz des Thales anwenden. Dieser besagt, dass jedes Dreieck, das sich aus den Eckpunkten des Durchmessers eines Kreises und einem dritten Eckpunkt auf dem Kreisrand zusammensetzt, einen rechten Winkel in diesem dritten Eckpunkt besitzt.
„Dann zeichnest du Hilfsgeraden durch die Schnittpunkte der Hilfskreise und den Mittelpunkt des kleinen Kreises.“
- Da die Schnittpunkte der beiden Hilfskreise auf dem Thaleskreis liegen, haben die gezeichneten Geraden einen rechten Winkel zum verlängerten Radius des großen Hilfskreises.
- Durch die Parallelverschiebung bleibt der rechte Winkel erhalten. Die beiden Geraden liegen also jeweils im rechten Winkel zum Radius der beiden Kreise und berühren die Kreise in genau einem Punkt. Das sind die Bedingungen für Tangenten.
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Erkläre die verschiedenen Schritte beim Konstruieren von inneren Tangenten.
TippsSo konstruierst du die Mittelsenkrechte zwischen den beiden Kreismittelpunkten.
Die rot markierte Linie ist die Mittellinie des Geodreiecks.
LösungSo kannst du jeden Konstruktionsschritt durchführen:
- Konstruktion einer Mittelsenkrechten zwischen zwei Punkten.
- Zeichnen eines Hilfskreises um den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten.
- Konstruktion des Radius für einen Hilfskreis, der so groß ist wie der Radius des kleinen und der Radius des großen Kreises zusammen.
- Parallelverschiebung der Geraden.
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Erkläre, warum die Konstruktion funktioniert.
TippsDer Satz des Thales handelt von rechten Winkeln in Halbkreisen.
Ist $A$ der Mittelpunkt des großen Kreises, entspricht die Strecke $\overline{AC}$ dem Radius dieses Kreises.
LösungDu kannst die Konstruktion folgendermaßen begründen:
„Bei der Konstruktion betrachtet man einen Halbkreis. Die Endpunkte des Durchmessers $A$ und $B$ und ein beliebiger Punkt $C$ auf dem Halbkreis bilden ein Dreieck. Der Satz des Thales besagt, dass beim Punkt $C$ ein rechter Winkel liegt.“
- In der Grafik wird der Durchmesser durch die Punkte $A$ und $B$ begrenzt. Am Eckpunkt $C$ liegt ein rechter Winkel.
- Die Erkenntnisse des Thaleskreises kannst du jetzt auf die Konstruktion der Tangenten anwenden. Hier macht man sich den rechten Winkel im Eckpunkt $C$ zunutze. An diesem Winkel liegen der Radius des großen Kreises und die Hilfsgerade an.
- Da die Hilfsgerade genau um die Länge des kleinen Radius entlang des großen Radius parallelverschoben wird, landet sie gleichzeitig auf beiden Kreisrändern.
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Bestimme die korrekten Aussagen zu Tangenten.
TippsDas ist eine Tangente an einem Kreis.
Zwei parallele Geraden bilden immer die gleichen Winkel zu einer dritten Geraden, die beide Geraden schneidet. Zum Beispiel gilt hier:
$\alpha_1=\alpha_2$.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Schneiden sich zwei Kreise in genau einem Punkt, kannst du auch hier zwei innere Tangenten bestimmen.“
- Hier kannst du nur eine innere Tangente bestimmen. Das ist die Gerade, die senkrecht zu beiden Radien und durch den Schnittpunkt der beiden Kreislinien verläuft.
- Bei sich überschneidenden Kreisen kannst du keine innere Tangente bestimmen.
- Eine Parallelverschiebung erhält die Winkelbeziehungen der verschobenen Geraden.
„Bevor du innere Tangenten konstruieren kannst, musst du zuerst eine Mittelsenkrechte zwischen den Kreismittelpunkten bestimmen.“
- Da du für die Konstruktion der Tangenten einen Kreis um den Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der Kreismittelpunkte zeichnen musst, musst du diesen Mittelpunkt zuerst mithilfe der Mittelsenkrechten bestimmen.
- Das sind die Bedingungen für eine Tangente an einen Kreis.
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Bestimme die korrekten Aussagen zu inneren Tangenten.
TippsDa Tangenten Geraden sind, haben sie überall die gleiche Steigung. Gehst du auf einer Geraden einen Schritt nach rechts (auf der $x$-Achse), dann bewegt sich die Gerade immer um einen konstanten Schritt nach oben oder unten (auf der $y$-Achse). Die hier gezeichneten Tangenten erfüllen dasselbe Prinzip.
So sehen die konstruierten inneren Tangenten an zwei unterschiedlich großen Kreisen aus.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Sind die Kreise unterschiedlich groß, ist der Schnittpunkt der inneren Tangenten immer näher am größeren Kreis.“
- Weil Tangenten Geraden sind, haben sie überall die gleiche Steigung. Gehst du auf einer Geraden einen Schritt nach rechts (auf der $x$-Achse), dann bewegt sich die Gerade immer um einen konstanten Schritt nach oben oder unten (auf der $y$-Achse). Die hier gezeichneten Tangenten erfüllen dasselbe Prinzip. Der Rand des kleinen Kreises ist jedoch weniger weit von der Verbindungslinie der Kreismittelpunkte (in der Skizze die $x$-Achse) entfernt, als der Rand des großen Kreises. Deshalb muss der Schnittpunkt näher am kleinen Kreis liegen.
- Hier existieren keine Tangenten, da die beiden Bedingungen für Tangenten nicht erfüllt werden können.
„Sind die Kreise gleich groß, schneiden sich die inneren Tangenten im Mittelpunkt der Verbindungslinie der beiden Kreismittelpunkte.“
- Auch hier haben die Tangenten überall die gleiche Steigung. Allerdings sind die beiden Kreisränder gleich weit von der Verbindungslinie der Kreismittelpunkte (in der Skizze die $x$-Achse) entfernt. Also müssen sie den gleichen Weg auf der $y$-Achse zurücklegen. Damit schneiden sich die Tangenten im Mittelpunkt der Verbindungslinie der Kreismittelpunkte.
- Die oberen und unteren Ränder der beiden Kreise sind immer gleich weit von der Verbindungslinie der Kreismittelpunkte entfernt. Da die beiden Geraden betragsmäßig die gleiche Steigung haben, müssen sie sich in der Mitte, also auf der Verbindungslinie der Kreismittelpunkte treffen.
- Unabhängig von der Größe der Kreise ist die Zeichnung achsensymmetrisch mit der Verbindungslinie der Kreismittelpunkte als Symmetrieachse. Sind die beiden Kreise gleich groß, kommt eine Symmetrieachse hinzu, die senkrecht zu dieser Verbindungslinie steht und durch den Schnittpunkt der Tangenten verläuft.
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