30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Tangente an einen Kreis konstruieren 05:26 min

Textversion des Videos

Transkript Tangente an einen Kreis konstruieren

Pauline hat ihren absoluten Traumberuf gefunden: Im getunten Firmenshuttle steuert sie von einem Planeten zum nächsten und muss zwischendurch nur kurz ihre Päckchen abwerfen. Aber heute hat ihr Navi den Geist aufgegeben - deshalb plant sie ihre Routen diesmal mit Zirkel und Lineal! Sie wird so Tangenten an einem Kreis konstruieren! Schauen wir uns mal an, was eine Tangente an einem Kreis eigentlich ist! Zu einem gegebenen Kreis ist eine Tangente eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt berührt. Der wird deshalb gerne als Berührpunkt B bezeichnet, während die Tangente mit klein t bezeichnet wird. Die Tangente eines Kreises hat außerdem eine besondere Eigenschaft: Wenn wir den Radius r vom Mittelpunkt zum Berührpunkt verbinden, dann stellen wir fest, dass zwischen der Tangente und dem Radius ein rechter Winkel liegt. Und das ist immer so - egal durch welchen Berührpunkt die Tangente verläuft. Und wie sieht es mit dieser Geraden aus? Ist sie eine Tangente? Sie berührt unseren Kreis in keinem einzigen Punkt. Sie wird deshalb Passante genannt. - Und diese? Nein, das ist auch keine Tangente! Denn sie hat gleich zwei Berührpunkte - oder in diesem Fall besser gesagt Schnittpunkte mit dem Kreis. Man nennt sie Sekante. Denk immer dran: nur Geraden mit genau einem Berührpunkt mit dem Kreis sind Tangenten! - so wie diese hier! Gut - jetzt können wir Pauline helfen! Hier ist der erste Planet, den sie beliefern möchte und zwar an diesem Punkt. Den Planeten stellen wir vereinfacht als Kreis um seinen Mittelpunkt M dar. Und den Zustellort markieren wir als Punkt B auf dem Kreisrand. Wir wollen jetzt die geradlinige Flugroute durch den Punkt B, also die Tangente durch einen Berührpunkt konstruieren. Dafür zeichnen wir uns den Radius r ein und verlängern ihn zu einer Geraden. Mithilfe eines Zirkels fällen wir nun im Punkt B ein Lot. Dafür markieren wir auf mit dem Zirkel zwei Schnittstellen im gleichen Abstand zu B auf der Geraden. Um diese zeichnen wir jeweils zwei Kreissegmente mit dem gleichen Radius und durch deren Schnittpunkte verläuft das Lot. Diese neue Gerade steht nun senkrecht auf dem Radius und berührt den Kreis in genau einem Punkt, nämlich B. Also ist dies unsere gesuchte Tangente! Großartig! Pauline hat die Flugroute perfekt getroffen, tangiert die Oberfläche nur knapp im Berührpunkt lässt ein hübsches Päckchen da und fliegt schon weiter zum nächsten Planeten! Bei diesem darf Pauline die Bestellung einfach überall auf dem Planeten abwerfen. Schnell überlegt sie sich die bequemste Flugroute. Paulines momentanen Standpunkt markieren wir als Punkt P - diesmal wollen wir also die Tangenten durch einen Punkt außerhalb des Kreises konstruieren. Wieder verbinden wir den Mittelpunkt mit dem Punkt P, zeichnen also einen verlängerten Radius. Mithilfe unseres Zirkels konstruieren wir nun darauf die Mittelsenkrechte. Dafür ziehen wir um P zwei Kreissegmente und mit dem gleichen Radius auch um M. Mittels der Geraden durch die Schnittpunkte erhalten wir nämlich den Mittelpunkt der Strecke zwischen M und P. Um diesen neuen Punkt zeichnen wir einen Hilfskreis, der durch M und P verläuft. Dieser Hilfskreis schneidet den ursprünglichen Kreis in zwei Punkten: wir nennen sie B_1 und B_2. Wir zeichnen durch B_1 und unseren Punkt P eine Gerade und genauso durch B_2 und P. Diese beiden Geraden sind nämlich genau die gesuchten Tangenten t_1 und t_2 durch den Punkt P. Der Vollständigkeit halber ergänzen wir uns noch die beiden Radien. Aber warum funktioniert das eigentlich? Schauen wir uns einmal diesen Halbkreis hier an: Diese Geradenabschnitte hier bilden ein Dreieck - und nach dem Satz des Thales liegt dann hier ein rechter Winkel. Auf der anderen Seite klappt es natürlich genauso. Und somit steht fest, dass wir hier wirklich zwei Tangenten konstruiert haben! Fassen wir noch einmal zusammen: Bei der Konstruktion von Tangenten an einem Kreis unterscheidest du zwischen zwei Fällen: Der erste ist die eindeutige Tangente durch einen Berührpunkt des Kreises! Hier verlängerst du den Radius über den Berührpunkt hinaus und fällst darauf ein Lot im Berührpunkt. Fertig ist deine Tangente! Im Fall, dass deine Tangente durch einen Punkt ausßerhalb des Kreises verlaufen soll ist der Anfang ähnlich. Du verlängerst wieder den Radius des Kreises - diesmal genau bis zu deinem Punkt. Nun bestimmst du mittels Mittelsenkrechten den Mittelpunkt dieser Strecke- fällst also auch wieder ein Lot. Ein Hilfskreis um diesen Mittelpunkt, der durch M verläuft liefert dir zwei Schnittpunkte mit dem dir gegebenen Kreis. Die Gerade durch diese Punkte und die Gerade durch diese Punkte sind dann deine gesuchten Tangenten! Pauline wundert sich nach dem Abliefern schon ein bisschen, warum ihr kein genauer Zustellort gegeben wurde und was sind das eigentlich für Geräusche? Whah! Das ist ja Gerade nochmal gut gegangen.

4 Kommentare
  1. Hat mir geholfen! Jetzt bin ich für die nächste Mathestunde gut vorbereitet!

    Von Ela R, vor 30 Tagen
  2. Cool

    Von Lianakatze, vor etwa einem Monat
  3. Nice

    Von Wdewizard, vor 6 Monaten
  4. Ich fand das Video sehr sehr hilfsbereit .

    Von Finn G., vor 10 Monaten

Tangente an einen Kreis konstruieren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Tangente an einen Kreis konstruieren kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zu Tangenten an einem Kreis.

    Tipps

    Das ist die Zeichnung einer Tangente an einem Kreis.

    Das französische Wort „passer“ bedeutet „vorbeigehen“. Das Wort „Passante“ hat den gleichen Ursprung.

    Lösung

    Diese Aussagen sind wahr:

    • „Zwischen dem Radius und der Tangente eines Kreises liegt immer ein rechter Winkel.“ Das ist eine der Bedingungen für eine Tangente an einem Kreis.
    • „Eine Passante an einem Kreis berührt den Kreis nicht.“ Eine Passante ist per Definition eine Gerade, die den Kreis nicht berührt.

    Diese Aussagen sind falsch:

    • „Eine Tangente an einem Kreis berührt den Kreis in genau zwei Punkten.“ Eine der Bedingungen für eine Tangente an einem Kreis ist, dass sie den Kreis in genau einem Punkt berührt.
    • „Eine Sekante an einem Kreis berührt den Kreis in genau einem Punkt.“ Eine Sekante schneidet den Kreis in zwei Punkten.
    • „Jede Tangente ist auch eine Sekante.“ Eine Sekante schneidet einen Kreis in zwei Punkten. Eine Tangente berührt den Kreis an genau einem Punkt.
  • Bestimme die Eigenschaften der Geraden an einem Kreis.

    Tipps

    Sekanten und Passanten können in beliebiger Richtung zum Radius des Kreises stehen.

    Lösung

    Die erste Gerade heißt Tangente.

    • Sie berührt den Kreis in einem Punkt
    • Sie liegt im rechten Winkel zum Radius des Kreises.
    Die zweite Gerade heißt Passante.
    • Sie schneidet den Kreis nie.
    Die dritte Gerade heißt Sekante.
    • Sie schneidet den Kreis in zwei beliebigen Punkten.

  • Gib wieder, wie man Tangenten an einem Kreis konstruiert.

    Tipps

    Die Tangente soll im rechten Winkel zum Radius des Kreises stehen. Deshalb muss zuerst der Radius eingezeichnet werden.

    Um die Tangente zu konstruieren, muss man zwei Punkte auf dem verlängerten Radius finden, die den gleichen Abstand vom Berührpunkt haben.

    Die Tangente ist dann die Mittelsenkrechte zwischen den Punkten auf dem verlängerten Radius.

    Lösung

    Eine Tangente an einem Kreis kannst du wie folgt konstruieren:

    • Zuerst verlängerst du den Radius des Kreises durch den Punkt, an dem die Tangente anliegen soll.
    • Dann findest du zwei Punkte auf dem verlängerten Radius, die den gleichen Abstand vom Berührpunkt haben. Dazu zeichnest du zwei Kreissegmente mit gleichem Radius um den Berührpunkt, die den verlängerten Radius des ursprünglichen Kreises schneiden.
    • Die Tangente ist dann die Mittelsenkrechte zwischen den Punkten auf dem verlängerten Radius. Diese Mittelsenkrechte bildest du, indem du mit dem Zirkel jeweils zwei sich schneidende Kreissegmente um die zwei gefundenen Punkte auf dem verlängerten Radius zeichnest.
    • Durch die Schnittpunkte der beiden Kreissegmente zeichnest du eine Gerade. Das ist die Tangente an diesem Kreis.

  • Erschließe die Begründung der Konstruktion der Tangenten.

    Tipps

    Des Satz des Thales macht Aussagen über rechtwinklige Dreiecke in Halbkreisen.

    Lösung

    • Der Satz des Thales besagt, dass man aus den Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises und einem beliebigen weiteren Punkt $C$ auf diesem Halbkreis ein Dreieck bilden kann und dieses Dreieck bei $C$ immer einen rechten Winkel haben muss.
    • Bei der Konstruktion einer Tangenten an einen Punkt außerhalb des Kreises benutzt man den Satz des Thales. Man konstruiert einen Halbkreis mit den Punkten $P$ und $M$ als Endpunkte des Durchmessers.
    • In diesen Halbkreis kann man jetzt ein Dreieck aus den Punkten $P$ und $M$ und einem beliebigen weiteren Punkt auf dem konstruierten Halbkreis bilden. Man wählt den Schnittpunkt $B$ des Halbkreises mit dem ursprünglichen Kreis, da hier die Tangente anliegen soll.
    • Die Strecke von $P$ zu $B$ des gewählten Dreiecks erfüllt jetzt zwei wichtige Bedingungen:
    • Sie berührt den ursprünglichen Kreis in genau einem Punkt.
    • Sie liegt im rechten Winkel zum Radius des ursprünglichen Kreises.
    Das sind genau die beiden Bedingungen für die Konstruktion einer Tangente. Hier wurde ein Satz der Mathematik geschickt angewandt, sodass man das gewünschte Ergebnis erhält.

  • Erkläre, wie man Tangenten an einen Kreis durch einen Punkt außerhalb des Kreises konstruiert.

    Tipps

    Um eine Mittelsenkrechte zwischen zwei Punkten zu bestimmen, zeichnet man jeweils zwei sich schneidende Kreissegmente um die beiden Punkte. Die Gerade durch die Schnittpunkte der Kreissegmente ist die Mittelsenkrechte.

    Ein Kreis, der nur als Mittel zum Zweck gezeichnet wird, nennt man Hilfskreis.

    Lösung

    Die Konstruktion einer Tangenten an einem Punkt außerhalb eines Kreises funktioniert folgendermaßen:

    • Zuerst verlängert man den Radius durch den Punkt $P$. Dazu zeichnet man eine Gerade durch den Kreismittelpunkt $M$ und den Punkt $P$.
    Diese Gerade ist das erste Hilfsmittel auf dem Weg zur Konstruktion unserer Tangenten.

    • Danach konstruiert man eine Mittelsenkrechte zwischen den Punkten $P$ und $M$. Dazu zeichnet man mit dem Zirkel jeweils zwei sich schneidende Kreissegmente um die beiden Punkte und verbindet die Schnittpunkte.
    Im nächsten Schritt müssen wir den Mittelpunkt der Punkte $P$ und $M$ bestimmen. Dazu benötigen wir die Mittelsenkrechte der beiden Punkte. Diese erhalten wir durch das Verbinden der Schnittpunkte der Kreissegmente.

    • Im Anschluss wird der Mittelpunkt der Strecke zwischen $P$ und $M$ markiert. Danach zeichnet man einen Hilfskreis um diesen Mittelpunkt, der durch die Punkte $P$ und $M$ verläuft.
    Mit diesem Hilfskreis können wir jetzt die Tangente bestimmen. Warum das funktioniert, kannst du mit dem Satz des Thales nachvollziehen.

    • Zuletzt zeichnet man Geraden durch den Punkt $P$ und die Schnittpunkte des ursprünglichen Kreises mit dem Hilfskreis. Das sind die Tangenten an dem Punkt $P$ außerhalb des Kreises.
    Nach dem Satz des Thales erfüllen die so gezeichneten Geraden genau zwei Bedingungen. Sie berühren den Kreis in genau einem Punkt und stehen im rechten Winkel zum Radius. Das sind genau die Bedingungen für Tangenten.

  • Erkläre, wie man eine Tangente an einem Kreis konstruiert.

    Tipps

    So sieht die Konstruktion direkt vor dem Einzeichnen der Tangente aus.

    Lösung

    Die Schritte für die Konstruktion einer Tangente an einem Kreis sind wie folgt:

    • Zuerst verlängert man den Radius des Kreises durch den Punkt, an dem die Tangente anliegen soll.
    Der verlängerte Radius ist die erste Hilfe auf dem Weg zur Konstruktion einer Tangenten.

    • Dann findet man zwei Punkte auf dem verlängerten Radius, die den gleichen Abstand vom Berührpunkt haben.
    Um die Tangente zu Bestimmen, verwendet man das Verfahren zum Bestimmen einer Mittelsenkrechten. Damit man die richtige Mittelsenkrechte bestimmt, sucht man zwei Punkte, die den gleichen Abstand vom gewünschten Berührpunkt haben.

    • Im Anschluss zeichnet man mit dem Zirkel jeweils zwei sich schneidende Kreissegmente um die zwei gefundenen Punkte auf dem verlängerten Radius.
    • Verbindet man die Schnittpunkte der Kreissegmente durch eine Gerade, dann hat man die Mittelsenkrechte dieser beiden Punkte gefunden.

    Nachdem man die richtigen Punkte gefunden hat, wendet man das Verfahren zum Bestimmen einer Mittelsenkrechten an.

    • Diese Mittelsenkrechte ist die gesuchte Tangente.
    Da der Kreisrand genau in der Mitte zwischen den zuvor bestimmten Punkten liegt und die Mittelsenkrechte zudem senkrecht auf dem Radius steht, ist dies eine Tangente an dem Berührpunkt.