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Tangente an einen Kreis konstruieren 05:26 min

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Transkript Tangente an einen Kreis konstruieren

Pauline hat ihren absoluten Traumberuf gefunden: Im getunten Firmenshuttle steuert sie von einem Planeten zum nächsten und muss zwischendurch nur kurz ihre Päckchen abwerfen. Aber heute hat ihr Navi den Geist aufgegeben - deshalb plant sie ihre Routen diesmal mit Zirkel und Lineal! Sie wird so Tangenten an einem Kreis konstruieren! Schauen wir uns mal an, was eine Tangente an einem Kreis eigentlich ist! Zu einem gegebenen Kreis ist eine Tangente eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt berührt. Der wird deshalb gerne als Berührpunkt B bezeichnet, während die Tangente mit klein t bezeichnet wird. Die Tangente eines Kreises hat außerdem eine besondere Eigenschaft: Wenn wir den Radius r vom Mittelpunkt zum Berührpunkt verbinden, dann stellen wir fest, dass zwischen der Tangente und dem Radius ein rechter Winkel liegt. Und das ist immer so - egal durch welchen Berührpunkt die Tangente verläuft. Und wie sieht es mit dieser Geraden aus? Ist sie eine Tangente? Sie berührt unseren Kreis in keinem einzigen Punkt. Sie wird deshalb Passante genannt. - Und diese? Nein, das ist auch keine Tangente! Denn sie hat gleich zwei Berührpunkte - oder in diesem Fall besser gesagt Schnittpunkte mit dem Kreis. Man nennt sie Sekante. Denk immer dran: nur Geraden mit genau einem Berührpunkt mit dem Kreis sind Tangenten! - so wie diese hier! Gut - jetzt können wir Pauline helfen! Hier ist der erste Planet, den sie beliefern möchte und zwar an diesem Punkt. Den Planeten stellen wir vereinfacht als Kreis um seinen Mittelpunkt M dar. Und den Zustellort markieren wir als Punkt B auf dem Kreisrand. Wir wollen jetzt die geradlinige Flugroute durch den Punkt B, also die Tangente durch einen Berührpunkt konstruieren. Dafür zeichnen wir uns den Radius r ein und verlängern ihn zu einer Geraden. Mithilfe eines Zirkels fällen wir nun im Punkt B ein Lot. Dafür markieren wir auf mit dem Zirkel zwei Schnittstellen im gleichen Abstand zu B auf der Geraden. Um diese zeichnen wir jeweils zwei Kreissegmente mit dem gleichen Radius und durch deren Schnittpunkte verläuft das Lot. Diese neue Gerade steht nun senkrecht auf dem Radius und berührt den Kreis in genau einem Punkt, nämlich B. Also ist dies unsere gesuchte Tangente! Großartig! Pauline hat die Flugroute perfekt getroffen, tangiert die Oberfläche nur knapp im Berührpunkt lässt ein hübsches Päckchen da und fliegt schon weiter zum nächsten Planeten! Bei diesem darf Pauline die Bestellung einfach überall auf dem Planeten abwerfen. Schnell überlegt sie sich die bequemste Flugroute. Paulines momentanen Standpunkt markieren wir als Punkt P - diesmal wollen wir also die Tangenten durch einen Punkt außerhalb des Kreises konstruieren. Wieder verbinden wir den Mittelpunkt mit dem Punkt P, zeichnen also einen verlängerten Radius. Mithilfe unseres Zirkels konstruieren wir nun darauf die Mittelsenkrechte. Dafür ziehen wir um P zwei Kreissegmente und mit dem gleichen Radius auch um M. Mittels der Geraden durch die Schnittpunkte erhalten wir nämlich den Mittelpunkt der Strecke zwischen M und P. Um diesen neuen Punkt zeichnen wir einen Hilfskreis, der durch M und P verläuft. Dieser Hilfskreis schneidet den ursprünglichen Kreis in zwei Punkten: wir nennen sie B_1 und B_2. Wir zeichnen durch B_1 und unseren Punkt P eine Gerade und genauso durch B_2 und P. Diese beiden Geraden sind nämlich genau die gesuchten Tangenten t_1 und t_2 durch den Punkt P. Der Vollständigkeit halber ergänzen wir uns noch die beiden Radien. Aber warum funktioniert das eigentlich? Schauen wir uns einmal diesen Halbkreis hier an: Diese Geradenabschnitte hier bilden ein Dreieck - und nach dem Satz des Thales liegt dann hier ein rechter Winkel. Auf der anderen Seite klappt es natürlich genauso. Und somit steht fest, dass wir hier wirklich zwei Tangenten konstruiert haben! Fassen wir noch einmal zusammen: Bei der Konstruktion von Tangenten an einem Kreis unterscheidest du zwischen zwei Fällen: Der erste ist die eindeutige Tangente durch einen Berührpunkt des Kreises! Hier verlängerst du den Radius über den Berührpunkt hinaus und fällst darauf ein Lot im Berührpunkt. Fertig ist deine Tangente! Im Fall, dass deine Tangente durch einen Punkt ausßerhalb des Kreises verlaufen soll ist der Anfang ähnlich. Du verlängerst wieder den Radius des Kreises - diesmal genau bis zu deinem Punkt. Nun bestimmst du mittels Mittelsenkrechten den Mittelpunkt dieser Strecke- fällst also auch wieder ein Lot. Ein Hilfskreis um diesen Mittelpunkt, der durch M verläuft liefert dir zwei Schnittpunkte mit dem dir gegebenen Kreis. Die Gerade durch diese Punkte und die Gerade durch diese Punkte sind dann deine gesuchten Tangenten! Pauline wundert sich nach dem Abliefern schon ein bisschen, warum ihr kein genauer Zustellort gegeben wurde und was sind das eigentlich für Geräusche? Whah! Das ist ja Gerade nochmal gut gegangen.

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