Äußere Tangenten an zwei Kreisen – Konstruktion 06:13 min
Transkript Äußere Tangenten an zwei Kreisen – Konstruktion
Floki und seine Rattenbande haben eine neue Nahrungsquelle entdeckt. Das Beste daran: jeden Tag landen neue Leckerbissen auf dem Menü. Diesen nie versiegenden Quell an Essen anzuzapfen erscheint allen ratsam. Leider befindet sich die Höhle auf der anderen Seite des Müllbergs und der Weg drumherum oder drüber ist beschwerlich und weit. Da kommt Floki ins Spiel! Als oberster Ratteningenieur soll er einen Tunnel quer durch den Müllberg planen. Das Problem an der Sache: der Berg ist durchsetzt von zwei kreisrunden Rohren. Um den schnellsten Tunnelweg entlang der Hindernisse zu planen, muss Floki äußere Tangenten an zwei Kreisen konstruieren! Laut Flokis Ingenieurratgebern gibt es drei wichtige Lagebeziehungen von zwei Kreisen: Die Kreise können ganz getrennt voneinander liegen. Sie können sich in genau einem Punkt berühren. Oder sie können sich teilweise überlagern, so wie hier. In allen diesen Fällen lassen sich verschiedene äußere Tangenten konstruieren. Die heißen so, weil sie wie eine Außenwand an beiden Kreise entlanglaufen. Das sieht konkret entweder so, so oder so aus! Es gibt übrigens auch innere Tangenten — die braucht Floki hier aber nicht. In unserem Fall liegen die beiden Kreise voneinander getrennt vor. Floki will also solche äußeren Tangenten konstruieren. Zuerst zeichnen wir die beiden Kreise auf ein Blatt Papier. Dabei markieren wir die Kreismittelpunkte und verbinden sie miteinander. Als nächstes konstruieren wir den Mittelpunkt dieser Verbindungsstrecke und zwar mithilfe der Mittelsenkrechten. Vielleicht hast du sowas ja schon einmal gemacht? Dafür stechen wir mit dem Zirkel erstmal in einen der Kreismittelpunkte und stellen einen Radius ein, der größer ist als die Hälfte der Verbindungsstrecke. Dann zeichnen wir zwei Kreisbogensegmente — in etwa so. Ohne den Radius zu verändern, zeichnen wir jetzt vom anderen Kreismittelpunkt aus, zwei weitere Kreisbogensegmente — so. Die Kreisbögen sollen sich in zwei Punkten schneiden. Wenn du dabei noch nicht so geübt bist, kannst du statt der Kreisbogensegmente auch ganze Hilfskreise zeichnen. Die beiden Schnittpunkte verbinden wir noch mit dem Lineal dann ist dieser neue Schnittpunkt mit der Verbindungslinie der Mittelpunkt zwischen den beiden Kreismittelpunkten. Wir nennen ihn M. Um M zeichnen wir einen Hilfskreis, der durch die beiden ursprünglichen Kreismittelpunkte verläuft. Innerhalb des größeren Kreises konstruieren wir jetzt noch einen Hilfskreis. Der Radius dieses Hilfskreises soll genau "den Radius des größeren Kreises, minus den Radius des kleineren Kreises", betragen! Dafür gehen wir von einem Punkt des größeren Kreises aus am besten von diesem hier. Jetzt stellen wir den Zirkel auf den Radius des kleinen Kreises ein und tragen den kleinen Radius vom großen Radius ab. Die Markierung schneidet dann HIER die Verbindungslinie. Nun können wir den gewünschten Hilfskreis zeichnen: wir stechen den Zirkel in den Mittelpunkt des großen Kreises ein, stellen den Radius auf den gerade konstruierten Schnittpunkt ein und fertig. Wir markieren anschließend die beiden Schnittpunkte beider Hilfskreise und verbinden diese jeweils mit dem Kreismittelpunkt des kleinen Kreises zu jeweils einer Hilfsgeraden. Vom Kreismittelpunkt des großen Kreises aus, zeichnen wir außerdem jeweils einen Strahl, der durch den Schnittpunkt verläuft. Die neuen Schnittpunkte HIER markieren wir uns nun und machen zuerst eine Parallelverschiebung dieser Hilfsgeraden, bis zum markierten Punkt. Das Gleiche machen wir auch mit der anderen Hilfsgeraden. Die so verschobenen Geraden berühren den großen und den kleinen Kreis je genau ein Mal. Damit sind sie genau die gesuchten Tangenten! Und diese vier gefundenen Punkte sind die zugehörigen Berührpunkte der Tangenten! Hui, das war ganz schön viel Arbeit. Während die Ratten anfangen zu buddeln, überlegt sich Floki nochmal genau, wieso diese Konstruktion eigentlich funktioniert. Wir wissen, dass Tangenten immer senkrecht auf dem Radius des Kreises stehen müssen. Kennst du vielleicht einen berühmten Satz mit rechten Winkeln? Unser Hilfskreis hier erlaubt uns, den Satz des Thales bezüglich dieses Dreiecks zu benutzen! Der Satz besagt nämlich, dass dies hier ein rechter Winkel sein muss! Also mussten wir nur noch den richtigen Punkt auf dem Thaleskreis finden und weil wir erstmal nur durch den Mittelpunkt des kleinen Kreises eine Hilfsgerade zeichnen konnten, mussten wir den Radius des kleinen Kreises nehmen um durch Verschiebung der Hilfsgeraden zur Tangente zu gelangen. Dafür haben wir mit Übertragung des kleinen Radius den Hilfskreis konstruiert. Mit der Hilfe konnten wir diesen Punkt auf dem Thaleskreis verwenden. Der rechte Winkel — hat sich bei der Parallelverschiebung natürlich nicht verändert! Also, nochmal in Kurzform: Zuerst verbindest du die Mittelpunkte der Kreise. Dann ermittelst du die Mitte dieser Verbindungsstrecke mithilfe der Mittelsenkrechten und zeichnest einen Hilfskreis, der durch die Kreismittelpunkte verläuft. In dem größeren Kreis zeichnest du einen weiteren Hilfskreis, dessen Radius gleich dem des größeren minus den des kleineren Kreises ist. Wo sich die Hilfskreise schneiden, zeichnest du Hilfsgeraden durch den Mittelpunkt des kleinen Kreises ein. Die verschiebst du noch parallel zum Rand des großen Kreises und voilà — das sind die Tangenten! Na, inzwischen müssten die Ratten ihre Tunnel doch gegraben haben? Sie haben sich sogar schon reichlich Futter zwischen die Rippen geschoben. Aber leider passt jetzt ihr Bauchradius nicht mehr zu dem des Tunnels. Hm. Floki wittert seine Chance. Auch der weiteste Weg ist kurz genug, wenn alle anderen nicht vorankommen. Lass es dir schmecken, Floki!
Videobeschreibung
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, äußere Tangenten an zwei Kreisen zu konstruieren.
Zunächst lernst du Lagebeziehungen von Kreisen und das dazugehörige Aussehen der Tangenten kennen. Anschließend lernst du Tangenten zu konstruieren, indem du zuerst eine Mittelsenkrechte konstruierst, 2 Hilfskreise und Hilfsgeraden zeichnest und dann mittels Parallelverschiebung die Tangente einzeichnest. Abschließend lernst du zu erkennen, warum die Konstruktion so überhaupt möglich war und welche Gesetze du dafür anwenden musst.
Lerne, wie du Tangen konstruierst, indem du Floki hilfst, einen Tunnel zu planen
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Tangente, Kreis, Konstruktion, Mittelsenkrechte, Hilfskreis, Geraden, Schnittpunkte, Kreisbogen, Mittelpunkt, Strahl, Parallelverschiebung, senkrecht, rechter Winkel, Satz des Thales.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie man Mittelsenkrechten konstruiert und was der Satz des Thales aussagt.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, Tangenten an Kreisen, die sich schneiden oder berühren, konstruieren zu lernen.
Die Tutoren:
Äußere Tangenten an zwei Kreisen – Konstruktion
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Äußere Tangenten an zwei Kreisen – Konstruktion Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Äußere Tangenten an zwei Kreisen – Konstruktion kannst du es wiederholen und üben.
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Gib wieder, wie man den Mittelpunkt der Verbindungslinie zweier Kreismittelpunkte findet.
Tipps
Die Mittelsenkrechte schneidet eine Verbindungslinie zweier Punkte genau in der Mitte der beiden Punkte.
Alle Punkte auf einem Kreis haben den gleichen Abstand vom Kreismittelpunkt. Schneiden sich also die beiden Kreisbogensegmente mit gleichem Radius, hat der Schnittpunkt den gleichen Abstand von beiden Kreismittelpunkten.
Lösung
Für Konstruktion des Mittelpunkts der Verbindungslinie zweier Kreismittelpunkte musst du die Mittelsenkrechte dieser Verbindungslinie bestimmen. Das geht wie folgt:
- Zuerst verbindet man die Kreismittelpunkte mit einer Linie.
- Dann zeichnet man um jeden der beiden Kreismittelpunkte ein Kreisbogensegment mit dem gleichen Radius. Dieser Radius muss größer sein als die Hälfte der Verbindungsstrecke.
- Die Kreisbogensegmente schneiden sich in zwei Punkten. Durch diese zeichnet man eine Gerade.
- Diese Gerade ist die Mittelsenkrechte.
- Dort, wo sich die Mittelsenkrechte und die Verbindungslinie der Kreismittelpunkte schneiden, ist der Mittelpunkt der Verbindungslinie der beiden Kreismittelpunkte.
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Beschreibe, wie man eine Tangente konstruiert.
Tipps
Um die Tangenten zu konstruieren, musst du zwei Hilfskreise zeichnen.
Durch die zwei Punkte, in denen sich die Hilfskreise schneiden, werden zwei Geraden gezogen.
Lösung
Um mit dem Mittelpunkt der Verbindungslinie der Kreismittelpunkte eine Tangente an die beiden Kreise zu konstruieren, gehst du folgendermaßen vor:
- Zuerst zeichnet man einen Hilfskreis um den Mittelpunkt $M$ der Verbindungslinie der beiden Kreismittelpunkte.
- Danach zeichnet man einen weiteren Hilfskreis in den größeren Kreis. Der Radius dieses Hilfskreises beträgt die Differenz zwischen dem größeren und dem kleineren Radius der beiden Kreise.
- Jetzt zeichnet man Geraden durch die Schnittpunkte der beiden Hilfskreise und den Mittelpunkt des kleinen Kreises.
- Diese beiden Geraden werden durch eine Parallelverschiebung auf die Kreisränder verschoben. Die resultierenden Geraden sind die Tangenten an den beiden Kreisen.
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Erkläre, wie man eine Tangente an zwei Kreisen konstruiert.
Tipps
Als Erstes zeichnet man den Hilfskreis, der die Anwendung des Satzes des Thales ermöglicht.
Um einen Schnittpunkt der Hilfskreise zu bestimmen, muss man diese zuerst gezeichnet haben.
In diesem Bild siehst du die fertige Konstruktion. Dabei sind die gegebenen Kreise schwarz gefärbt.
Lösung
Die Konstruktion der Tangente vom Mittelpunkt der Verbindung der Kreismittelpunkte funktioniert folgendermaßen:
- Ist der Mittelpunkt der Verbindung der beiden Kreismittelpunkte gegeben, zeichnet man zuerst einen Hilfskreis um diesen Mittelpunkt, auf dem die beiden Kreismittelpunkte liegen.
- In den größeren der gegebenen Kreise wird nun ein zweiter, kleinerer Hilfskreis eingezeichnet. Dafür geht er vom Rand des größeren Kreises aus und trägt den Radius des kleinen Kreises vom Radius des großen Kreises ab.
- Dann zeichnet er den kleinen Hilfskreis mit dem gerade konstruierten Differenzradius um den Mittelpunkt des großen Kreises.
- Nun konstruiert er zwei Hilfsgeraden, indem er die Schnittpunkte der zwei Hilfskreise mit dem Mittelpunkt des kleinen Kreises verbindet.
- Für die Parallelverschiebung der Hilfsgeraden zeichnet man jeweils einen Strahl, der vom Mittelpunkt des großen Kreises durch den Schnittpunkt der Hilfskreise geht.
- Diese Strahlen schneiden den großen Kreis in jeweils einem Punkt. Bis zu diesem Punkt werden die Geraden parallelverschoben. So erhält man die gesuchten Tangenten.
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Erkläre die verschiedenen Schritte beim Konstruieren von Tangenten an zwei Kreisen.
Tipps
Um eine Mittelsenkrechte zu konstruieren, muss man zuerst zwei Kreise zeichnen.
Um eine Parallelverschiebung durchzuführen, muss man wissen, wie weit man die Gerade verschiebt.
Den Differenzradius kannst du bestimmen, indem du den Zirkel auf den Radius des kleinen Kreises einstellst und vom Rand des großen Kreises diese Distanz abträgst.
Lösung
Die Erklärung zu jedem Konstruktionsschritt sind:
Konstruktion einer Mittelsenkrechten zwischen zwei Punkten:
Zeichne sich schneidende Kreisbogen mit gleichem Radius um die Punkte und verbinde die Schnittpunkte durch eine Gerade.
Zeichnen eines Hilfskreises um den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten:
Zeichne einen Kreis um den Mittelpunkt mit dem Abstand zwischen Mittelpunkt und einem der Punkte als Radius.
Konstruktion eines Hilfskreises mit einem Radius, der die Differenz zwischen dem größeren und dem kleineren Radius der beiden Kreise beträgt:
Zeichne einen kleinen Hilfskreis um den Mittelpunkt des großen Kreises, indem du den kleinen Radius vom großen Radius abträgst.
Konstruktion des Punkts, zu dem die Geraden parallelverschoben werden.
Zeichne Strahle durch den Mittelpunkt des großen Kreises und die Schnittpunkte der Hilfskreise. Diese Strahle schneiden den großen Kreis.
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Bestimme die korrekten Aussagen zu Tangenten an zwei Kreisen.
Tipps
Der Satz des Thales ermöglicht Aussagen zu Dreiecken auf einem Halbkreis.
Zwei parallele Geraden bilden jeweils den gleichen Winkel mit einer beliebigen anderen Geraden, die die beiden Parallelen schneidet. Hier gilt unter anderem:
$\beta_1=\beta_2$
So konstruierst du eine Mittelsenkrechte zwischen zwei Punkten.
Lösung
Diese Aussagen sind wahr:
- Um Tangenten an zwei Kreisen zu konstruieren, muss man zunächst eine Mittelsenkrechte der Verbindung der beiden Kreismittelpunkte konstruieren.
- Zur Konstruktion einer Mittelsenkrechten der Verbindung zweier Punkte zeichnet man sich schneidende Kreissegmente mit gleichem Radius um die beiden Punkte.
- Man kann auch Tangenten an zwei sich schneidenden Kreisen konstruieren.
Diese Aussagen sind falsch:
- Bei der Konstruktion von Tangenten an zwei Kreisen macht man sich den Satz des Pythagoras zunutze.
- Steht eine Gerade senkrecht zum Radius eines Kreises und man führt eine Parallelverschiebung der Geraden durch, dann steht diese verschobene Gerade nicht mehr senkrecht zum Radius des Kreises.
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Erkläre, warum dieses Vorgehen der Konstruktion funktioniert.
Tipps
Der Satz des Thales macht Aussagen über rechtwinklige Dreiecke in Halbkreisen.
Eine Tangente an einem Kreis steht immer senkrecht zum Radius des Kreises.
Lösung
Das Vorgehen für die Konstruktion einer Tangenten an zwei Kreisen begründet sich wie folgt:
- Man betrachtet man einen Halbkreis. Aus den Endpunkten des Durchmessers $A$ und $B$ und einem beliebigen weiteren Punkt auf dem Halbkreis $C$, kann man ein Dreieck bilden. Der Satz des Thales besagt, dass dieses Dreieck bei $C$ immer einen rechten Winkel haben muss.
- Genau das macht man sich bei der Konstruktion von Tangenten an zwei Kreisen zunutze. Auf den ersten Hilfskreis wird der Satz des Thales angewandt.
- Mit dem Schnittpunkt der beiden Hilfskreise findet man einen Punkt, der auf dem Thaleskreis liegt. Mit diesem Punkt $C$ und den Mittelpunkten der beiden Kreise $A$ und $B$ kann man also ein rechtwinkliges Dreieck bilden. In diesem Dreieck liegt die Verbindung zwischen $B$ und $C$ im rechten Winkel zum Radius des großen Kreises. Das ist wichtig, da man eine Tangente konstruieren möchte und diese immer im rechten Winkel zum Radius der Kreise stehen muss.
- Die Gerade durch $B$ und $C$ muss jetzt nur noch um den Radius des kleinen Kreises nach außen verschoben werden. Dann erfüllt sie beide Bedingungen für Tangenten. Sie liegt senkrecht auf den Radien der beiden gegebenen Kreise und berührt die Kreise in jeweils genau einem Punkt.
