Flächeninhaltsfunktion für Normalparabeln

Flächeninhaltsfunktion für Normalparabeln Übung

• Beschreibe die Streifenmethode nach Archimedes.

  Tipps

  Du kannst jede Fläche durch geometrische Figuren recht genau darstellen.

  Das bedeutet, dass du auch den Flächeninhalt einer krummen Fläche bis auf Ungenauigkeiten mit rechteckigen Flächen bestimmen kannst.

  Lösung

  Wenn eine Fläche nicht durch eine Gerade begrenzt ist, lässt sich der Flächeninhalt nicht direkt durch geometrische Figuren, rechtwinklige Dreiecke oder Rechtecke, berechnen.

  Eine solche Fläche wird näherungsweise berechnet.

  Ein Verfahren hierfür geht auf Archimedes von Syrakus zurück. Archimedes war ein griechischer Mathematiker. Er lebte ca. 300 Jahre vor Christi Geburt.

  Das Flächenstück, welches nach oben durch eine krumme Linie begrenzt wird, wird von oben und von unten durch Summen von Rechteckflächen angenähert. Durch immer feinere Rechtecke kann der Flächeninhalt berechnet werden. Hierfür wird ein Grenzwert gebildet. Dieses Verfahren wird als Streifenmethode nach Archimedes bezeichnet.

  Es gibt auch andere Methoden, solchen Flächen zu berechnen. Zum Beispiel mit den Möndchen des Hippokrates.

• Bestimme die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)$ für die Funktion $f(x)=x^2$.

  Tipps

  Wenn du die Flächeninhaltsfunktion ableitest, erhältst du wieder $f(x)$.

  Zu $f(x)=mx$ ist die Stammfunktion gegeben durch

  $A_0(x)=\frac12~x~f(x)=\frac12 x^2$.

  Es sind zwei Lösungen richtig.

  Lösung

  Mithilfe der Streifenmethode nach Archimedes kann man die Flächeninhaltsfunktion zu $f(x)=x^2$ bestimmen. Diese ist

  $A_0(x)=\frac13x^3$.

  Dies kann durch Ableiten überprüft werden:

  $A'_0(x)=\left(\frac13x^3\right)'=\frac13\cdot 3x^2=x^2=f(x)$.

  Ähnlich wie bei linearen Funktionen kann auch bei quadratischen Funktionen $f(x)=x^2$ die Flächeninhaltsfunktion bestimmt werden:

  • Wenn $f(x)=mx$ linear ist, wird die Flächeninhaltsfunktion folgendermaßen gebildet: $A_0(x)=\frac12~x~f(x)$.
  • Wenn $f(x)=x^2$ eine Normalparabel beschreibt, gehen wir folgendermaßen vor: $A_0(x)=\frac13~x~f(x)=\frac13~x\cdot x^2=\frac13x^3$.

• Ermittle die jeweilige Flächeninhaltsfunktion.

  Tipps

  Beachte: Es gilt $A'_0(x)=f(x)$.

  Für $f(x)=x^2$ ist $A_0(x)=\frac13x^3$.

  Ganz allgemein ist zu $ax^2+b$ die Flächeninhaltsfunktion gegeben durch

  $A_0(x)=\frac a3x^3+bx$.

  Lösung

  Zur Berechnung von Flächenstücken, die von Funktionsgraphen und der x-Achse über einem gegebenen Intervall eingeschlossen werden, benötigt man die Flächeninhaltsfunktion.

  Das Bestimmen der Flächeninhaltsfunktion ist somit ein wesentlicher Teil der Flächenberechnung.

  Ob eine Flächeninhaltsfunktion korrekt ist, kann durch Ableiten überprüft werden: $A'_0(x)=f(x)$, wobei $f(x)$ die Randfunktion ist.

  Es gelten die Flächeninhaltsfunktionen

  • zu einer Konstanten $f(x)=c$: $A_0(x)=cx$
  • zu der linearen Funktion $f(x)=x$: $A_0(x)=\frac12x^2$
  • zu der quadratischen Funktion $f(x)=x^2$: $A_0(x)=\frac13x^3$

  Bestimmen wir nun die einzelnen Flächeninhaltsfunktionen:

  • Zu $f(x)=3x^2$ lautet die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac33 x^3=x^3$.
  • Die Flächeninhaltsfunktion zu $f(x)=3x^2+4$ lautet $A_0(x)=\frac33 x^3+4x=x^3+4x$.
  • $f(x)=x^2+2x$ hat die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac13 x^3+\frac22 x^2=\frac13 x^3+x^2$.
  • Zu $f(x)=6x^2+2$ lautet die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac63 x^3+2x=2 x^3+2x$.

• Berechne den Flächeninhalt, den die Parabel mit der x-Achse einschließt.

  Tipps

  Die Flächeninhaltsfunktion zu $f(x)=x^2$ ist gegeben durch

  $A_0(x)=\frac13x^3$.

  Wenn du die Flächeninhaltsfunktion bestimmst, kannst du sie zur Überprüfung ableiten. Denn es gilt

  $A'_0(x)=f(x)$.

  Setze die gegebenen Werte für $x$ in die Stammfunktion (nicht in die Funktion!) ein.

  Lösung

  Die Stammfunktion zu $f(x)=\frac14x^2$ kann wie folgt bestimmt werden:

  $A_0(x)=\frac13 ~x~f(x)=\frac13~x~\frac14x^2=\frac1{12}x^3$.

  Damit können verschiedene Flächeninhalte berechnet werden:

  • $A_0(4)=\frac1{12}4^3=\frac{16}4$
  • $A_0(6)=\frac1{12}6^3=18$
  • $A_0(12)=\frac1{12}12^3=144$

• Gib den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Flächeninhaltsfunktion an.

  Tipps

  Die Flächeninhaltsfunktion zu $f(x)=5$ ist $A_0(x)=5x$.

  Die Flächeninhaltsfunktion zu $f(x)=4x$ ist $A_0(x)=2x^2$.

  Die Flächeninhaltsfunktion zu $f(x)=x^2$ ist $A_0(x)=\frac13x^3$.

  Lösung

  Was ist die Flächeninhaltsfunktion?

  Die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)$ beschreibt den Flächeninhalt, der von dem Graphen der Funktion $f(x)$ sowie der x-Achse über dem Intervall von $0$ bis $x$ ($\ge 0$) eingeschlossen wird.

  Es gilt allgemein für Flächeninhaltsfunktionen

  $A'_0(x)=f(x)$.

  Damit kann die Richtigkeit einer Flächeninhaltsfunktion nachgewiesen werden.

• Erkläre, wie der Flächeninhalt berechnet werden kann.

  Tipps

  Leite zur Kontrolle die Flächeninhaltsfunktion ab.

  Beachte, dass bei der Flächeninhaltsfunktion der Exponent einer Potenz um $1$ größer wird.

  Beachte die Reihenfolge bei der Differenz zur Berechnung des markierten Flächeninhaltes. Mache dir dies mit einer Skizze klar.

  Die hellere Fläche soll berechnet werden.

  Lösung

  Zu $f(x)=\frac14x^2-x+3$ ist die Flächeninhaltsfunktion gegeben durch

  $A_0(x)=\frac{1}{12}x^3-\frac12x^2+3x$.

  Die markierte Fläche ist gegeben durch $A=A_0(4)-A_0(1)$.

  • $A_0(4)=\frac1{12}4^3-\frac124^2+3\cdot 4=\frac{28}3$ FE
  • $A_0(1)=\frac1{12}1^3-\frac121^2+3\cdot 1=\frac{31}{12}$ FE

  Damit ist $A=\frac{28}3-\frac{31}{12}=\frac{112}{12}-\frac{31}{12}=\frac{27}{4}$.