Flächeninhaltsfunktion für lineare Funktionen

Flächeninhaltsfunktion für lineare Funktionen Übung

• Beschreibe, was eine Flächeninhaltsfunktion ist.

  Tipps

  Der hier zu sehende Flächeninhalt beträgt $1200$ FE.

  Bei dem Intervall $I=[a;b]$ ist

  • $a$ die untere und
  • $b$ die obere Intervallgrenze.

  Die Fläche wird durch den Graphen der Funktion sowie die x-Achse begrenzt.

  Lösung

  Was ist die Flächeninhaltsfunktion?

  Die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)$ beschreibt den Flächeninhalt, der von dem Graphen einer Funktion $f(x)$, der Randfunktion, sowie der x-Achse über dem Intervall von $0$ bis $x$ ($\ge 0$) eingeschlossen wird.

  Der Index $0$ zeigt an, dass die untere Intervallgrenze $0$ ist. Die obere Intervallgrenze ist $x$. In dem obigen Bild ist dies $3$.

  Ganz allgemein gilt für die Flächeninhaltsfunktion

  $A'_0(x)=f(x)$.

• Gib die jeweilige Flächeninhaltsfunktion an.

  Tipps

  Wenn du die Flächeninhaltsfunktion wieder ableitest, erhältst du die Ausgangsfunktion.

  Sei $f(x)=mx$. Dann ist $A_0(x)=\frac m2x^2$.

  Du kannst bei beiden Flächenberechnung eine Kontrolle durchführen, indem du bekannte Formeln für rechtwinklige Dreiecke oder Rechtecke verwendest.

  Lösung

  Der oben zu sehende Graph setzt sich aus einem linearen Teil und einem konstanten (auch linear) zusammen.

  Der Gesamtflächeninhalt ergibt sich als Summe einer Dreiecksfläche (unter der roten Geraden) und einer Rechteckfläche (unter der grünen Geraden).

  Die Dreiecksfläche ist begrenzt durch die Funktion $g(x)=200x$. Die zugehörige Flächeninhaltsfunktion ist $A_0(x)=\frac{200}2x^2=100x^2$.

  Damit ist der Flächeninhalt - bis $x=2$ - gegeben durch $A=A_0(2)=100\cdot 2^2=400$ FE.

  Wenn man die konstante Funktion $f(x)=400$ von $0$ bis $3$ betrachtet, erhält man mit Hilfe der Flächeninhaltsfunktion den Flächeninhalt des Rechtecks unter der grünen Geraden.

  Es ist $A_0(x)=400x$ die zugehörige Flächeninhaltsfunktion.

  Der Flächeninhalt ist dann gegeben durch $A=A_0(3)=400\cdot 3=1200$ FE.

  Der gesuchte Flächeninhalt ist somit $A=400+1200=1600$ FE.

• Ermittle die jeweilige Flächeninhaltsfunktion.

  Tipps

  Leite zur Prüfung der Flächeninhaltsfunktion diese ab.

  Beispiel: $f(x)=x$ hat die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac12x^2$.

  Es ist $A'_0(x)=\left(\frac12x^2\right)'=\frac12\cdot 2x=x=f(x)$.

  Beachte, dass die Flächeninhaltsfunktion einer Summe die Summe der einzelnen Flächeninhaltsfunktionen ist.

  Die Flächeninhaltsfunktion zu $f(x)=mx+b$ ist gegeben durch

  $A_0(x)=\frac m2x^2+bx$.

  Lösung

  Man benötigt die Flächeninhaltsfunktion, um Flächeninhalte zu berechnen. Dabei werden die Flächen von einem Funktionsgraphen sowie der x-Achse über dem Intervall $I=[0;x]$ eingeschlossen.

  Die Flächeninhaltsfunktion einer linearen Funktion $f(x)=mx$ ist gegeben durch $A_0(x)=\frac m2 x^2$.

  Wenn die Funktion nicht durch den Koordinatenursprung verläuft - dies ist der Fall für $g(x)=mx+b$ -, dann kann man die Flächeninhaltsfunktion wie folgt angeben:

  $A_0(x)=\frac m2x^2+bx$.

  Die jeweilige Flächeninhaltsfunktion kann durch Ableiten überprüft werden.

  • Für $f(x)=4x$ erhalten wir $A_0(x)=\frac42 x^2=2x^2$.
  • Für $f(x)=4x+1$ ist die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac42 x^2+x=2x^2+x$.
  • $f(x)=\frac 12 x$ erzeugt die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac{\frac12}2x^2=\frac14x^2$.
  • Für $f(x)=6x+2$ erhalten wir die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac62 x^2+2x=3 x^2+2x$.

• Berechne den Flächeninhalt unter der Funktion $f(x)$.

  Tipps

  Ganz allgemein ist zu $f(x)=mx+b$ die Flächeninhaltsfunktion gegeben durch

  $A_0(x)=\frac m2x^2+bx$.

  Du kannst den Flächeninhalt durch Zählen der Kästchen ungefähr bestimmen.

  Der Flächeninhalt ist größer als $8$ FE aber kleiner als $12$ FE.

  Lösung

  Hier ist der gesuchte Flächeninhalt $A_0(4)$ zu sehen.

  Um diesen zu berechnen, muss

  • zunächst die Flächeninhaltsfunktion bestimmt und
  • dann die obere Intervallgrenze in der Flächeninhaltsfunktion eingesetzt werden.

  Berechnen wir zunächst die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)$ zu $f(x)=\frac13x+2$.

  Diese ist gegeben durch $A_0(x)=\frac{\frac13}2~x^2+2x=\frac16x^2+2x$.

  Dies kann durch Ableiten überprüft werden:

  $A_0'(x)=\frac16\cdot 2x+2=\frac13x+2$ $~~~~~$✓

  Zuletzt muss noch die obere Intervallgrenze in diese Funktion eingesetzt werden und man erhält den gesuchten Flächeninhalt

  $A=A_0(4)=\frac16 4^2+2\cdot 4=\frac83+8=\frac{32}3$.

  Dieses Ergebnis kann auch durch Zählen der Kästchen in der Zeichnung nachvollzogen werden.

• Benenne die einzelnen Schritte zur Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion für eine lineare Funktion $f(x)=mx$.

  Tipps

  Die Flächeninhaltsfunktion von $3x$ ist

  $A_0(x)=3\cdot x\cdot x\cdot \frac12$.

  Der Faktor vor der Variablen $x$ wird als Koeffizient bezeichnet.

  Schau dir das Beispiel $f(x)=3x$ genau an!

  Lösung

  Man kann sich das Herleiten der Flächeninhaltsfunktion einer Funktion $f(x)=mx$ wie folgt merken:

  • Der Koeffizient $m$ wird behalten.
  • Auch die Variable $x$ wird behalten.
  • Der Faktor $x$ wird zugefügt.
  • Das Ergebnis wird mit $\frac12$ multipliziert.

  Insgesamt erhält man also die Flächeninhaltsfunktion

  $A_0(x)=m\cdot x\cdot x\cdot \frac12=\frac m2 x^2$.

• Verwende die Flächeninhaltsfunktion, um den Flächeninhalt zu berechnen.

  Tipps

  Zu $f(x)=mx+b$ ist die Flächeninhaltsfunktion gegeben durch

  $A_0(x)=\frac m2x^2+bx$.

  Du kannst die jeweiligen Flächeninhalte durch Zählen der Kästchen überprüfen.

  Die Brüche haben jeweils den Nenner $4$.

  Lösung

  In diesem Bild ist zu sehen, wie ein Flächenstück berechnet werden kann, welches nicht den unteren Intervallrand $0$ hat. Auch hier kann die Flächeninhaltsfunktion verwendet werden. Diese ist zu $f(x)=\frac12x+1$ gegeben durch

  $A_0(x)=\frac14x^2+x$.

  Nun werden

  • $A_0(2)=\frac14\cdot 2^2+2=1+2=3$ FE sowie
  • $A_0(5)=\frac14\cdot 5^2+5=\frac{25}4+5=\frac{45}4$ FE

  berechnet.

  Der gesuchte Flächeninhalt ergibt sich als Differenz dieser Flächeninhalte:

  $A=\frac{45}4-3=\frac{45}4-\frac{12}4=\frac{33}4=8,25$ FE.