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Flächeninhaltsfunktion für lineare Funktionen

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Die Autor/-innen
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Lillian 1
Flächeninhaltsfunktion für lineare Funktionen
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Flächeninhaltsfunktion für lineare Funktionen

Wie berechnet man eigentlich die Fläche, die von einer lineraren Funktion, der x-Achse, der Intervallgrenze 0 und einer weiteren Intervallgrenze einschlossen wird? Und was hat das mit der Flächeninhaltsfunktion zu tun? Die Antworten auf diese Fragen erfährst in diesem Video. Anhand von linearen Funktionen werden dir wichtige Begriffe wie "Randfunktion" oder "Flächeninhaltsfunktion" erklärt. Schrittweise lernst einen Weg zur Berechnung von Flächen, die durch lineare Funktionen begrenzt werden, kennen. Verschiedene Beispiele verdeutlichen dir dabei die Vorgehensweise. Viel Spaß!

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. viel Erkenntnisse

    Von Tanja Blumberg Schule, vor 3 Monaten
  2. @Antje B.: Auf die Funktionsgleichung von g(x) kommst du, indem du die Funktionsgleichung mit Hilfe des gegebenen Graphen abliest. Es handelt sich um eine lineare Funktion, weshalb die allgemeine Funktionsgleichung linearer Funktionen genutzt wird:
    f(x)=y=mx+b
    m ist dabei die Steigung und b der y-Achsenabschnitt (oder auch: die Schnittstelle mit der y-Achse).
    Da der y-Achse im Koordinatenursprung geschnitten wird, ist b=0.
    Die Funktion hat also die Form: y=mx+0 oder kurz: y=mx
    Um die Steigung zu ermitteln kannst du das Steigungsdreieck oder die Steigungsformel nutzen. Die Steigungsformel lautet:
    m=(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)
    Nun benötigst du zwei Punkte des Graphen (die du ablesen kannst), hier zum Beispiel: P(x_1|y_1)=P(0|0) und Q(x_2|y_2)=Q(2|400).
    Setzt du diese Punkte in die Steigungsformel ein, erhältst du:
    m=(400 - 0)/(2 - 0)=200
    Die gesuchte Funktionsgleichung lautet also:
    g(x)=200x
    Schau dir dazu nochmal das folgende Video an:
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/lineare-funktionen-aus-graph-bestimmen-1
    Ich hoffe ich konnte deine Frage beantworten.

    Von Thomas Scholz, vor etwa 4 Jahren
  3. Ich blicke irgendwie nicht genau wieso g(x)=200x sind.. Wie genau kommt man auf die 200?

    Von Antje B., vor etwa 4 Jahren

Flächeninhaltsfunktion für lineare Funktionen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Flächeninhaltsfunktion für lineare Funktionen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was eine Flächeninhaltsfunktion ist.

    Tipps

    Der hier zu sehende Flächeninhalt beträgt $1200$ FE.

    Bei dem Intervall $I=[a;b]$ ist

    • $a$ die untere und
    • $b$ die obere Intervallgrenze.

    Die Fläche wird durch den Graphen der Funktion sowie die x-Achse begrenzt.

    Lösung

    Was ist die Flächeninhaltsfunktion?

    Die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)$ beschreibt den Flächeninhalt, der von dem Graphen einer Funktion $f(x)$, der Randfunktion, sowie der x-Achse über dem Intervall von $0$ bis $x$ ($\ge 0$) eingeschlossen wird.

    Der Index $0$ zeigt an, dass die untere Intervallgrenze $0$ ist. Die obere Intervallgrenze ist $x$. In dem obigen Bild ist dies $3$.

    Ganz allgemein gilt für die Flächeninhaltsfunktion

    $A'_0(x)=f(x)$.

  • Gib die jeweilige Flächeninhaltsfunktion an.

    Tipps

    Wenn du die Flächeninhaltsfunktion wieder ableitest, erhältst du die Ausgangsfunktion.

    Sei $f(x)=mx$. Dann ist $A_0(x)=\frac m2x^2$.

    Du kannst bei beiden Flächenberechnung eine Kontrolle durchführen, indem du bekannte Formeln für rechtwinklige Dreiecke oder Rechtecke verwendest.

    Lösung

    Der oben zu sehende Graph setzt sich aus einem linearen Teil und einem konstanten (auch linear) zusammen.

    Der Gesamtflächeninhalt ergibt sich als Summe einer Dreiecksfläche (unter der roten Geraden) und einer Rechteckfläche (unter der grünen Geraden).

    Die Dreiecksfläche ist begrenzt durch die Funktion $g(x)=200x$. Die zugehörige Flächeninhaltsfunktion ist $A_0(x)=\frac{200}2x^2=100x^2$.

    Damit ist der Flächeninhalt - bis $x=2$ - gegeben durch $A=A_0(2)=100\cdot 2^2=400$ FE.

    Wenn man die konstante Funktion $f(x)=400$ von $0$ bis $3$ betrachtet, erhält man mit Hilfe der Flächeninhaltsfunktion den Flächeninhalt des Rechtecks unter der grünen Geraden.

    Es ist $A_0(x)=400x$ die zugehörige Flächeninhaltsfunktion.

    Der Flächeninhalt ist dann gegeben durch $A=A_0(3)=400\cdot 3=1200$ FE.

    Der gesuchte Flächeninhalt ist somit $A=400+1200=1600$ FE.

  • Ermittle die jeweilige Flächeninhaltsfunktion.

    Tipps

    Leite zur Prüfung der Flächeninhaltsfunktion diese ab.

    Beispiel: $f(x)=x$ hat die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac12x^2$.

    Es ist $A'_0(x)=\left(\frac12x^2\right)'=\frac12\cdot 2x=x=f(x)$.

    Beachte, dass die Flächeninhaltsfunktion einer Summe die Summe der einzelnen Flächeninhaltsfunktionen ist.

    Die Flächeninhaltsfunktion zu $f(x)=mx+b$ ist gegeben durch

    $A_0(x)=\frac m2x^2+bx$.

    Lösung

    Man benötigt die Flächeninhaltsfunktion, um Flächeninhalte zu berechnen. Dabei werden die Flächen von einem Funktionsgraphen sowie der x-Achse über dem Intervall $I=[0;x]$ eingeschlossen.

    Die Flächeninhaltsfunktion einer linearen Funktion $f(x)=mx$ ist gegeben durch $A_0(x)=\frac m2 x^2$.

    Wenn die Funktion nicht durch den Koordinatenursprung verläuft - dies ist der Fall für $g(x)=mx+b$ -, dann kann man die Flächeninhaltsfunktion wie folgt angeben:

    $A_0(x)=\frac m2x^2+bx$.

    Die jeweilige Flächeninhaltsfunktion kann durch Ableiten überprüft werden.

    • Für $f(x)=4x$ erhalten wir $A_0(x)=\frac42 x^2=2x^2$.
    • Für $f(x)=4x+1$ ist die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac42 x^2+x=2x^2+x$.
    • $f(x)=\frac 12 x$ erzeugt die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac{\frac12}2x^2=\frac14x^2$.
    • Für $f(x)=6x+2$ erhalten wir die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac62 x^2+2x=3 x^2+2x$.
  • Berechne den Flächeninhalt unter der Funktion $f(x)$.

    Tipps

    Ganz allgemein ist zu $f(x)=mx+b$ die Flächeninhaltsfunktion gegeben durch

    $A_0(x)=\frac m2x^2+bx$.

    Du kannst den Flächeninhalt durch Zählen der Kästchen ungefähr bestimmen.

    Der Flächeninhalt ist größer als $8$ FE aber kleiner als $12$ FE.

    Lösung

    Hier ist der gesuchte Flächeninhalt $A_0(4)$ zu sehen.

    Um diesen zu berechnen, muss

    • zunächst die Flächeninhaltsfunktion bestimmt und
    • dann die obere Intervallgrenze in der Flächeninhaltsfunktion eingesetzt werden.
    Berechnen wir zunächst die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)$ zu $f(x)=\frac13x+2$.

    Diese ist gegeben durch $A_0(x)=\frac{\frac13}2~x^2+2x=\frac16x^2+2x$.

    Dies kann durch Ableiten überprüft werden:

    $A_0'(x)=\frac16\cdot 2x+2=\frac13x+2$ $~~~~~$✓

    Zuletzt muss noch die obere Intervallgrenze in diese Funktion eingesetzt werden und man erhält den gesuchten Flächeninhalt

    $A=A_0(4)=\frac16 4^2+2\cdot 4=\frac83+8=\frac{32}3$.

    Dieses Ergebnis kann auch durch Zählen der Kästchen in der Zeichnung nachvollzogen werden.

  • Benenne die einzelnen Schritte zur Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion für eine lineare Funktion $f(x)=mx$.

    Tipps

    Die Flächeninhaltsfunktion von $3x$ ist

    $A_0(x)=3\cdot x\cdot x\cdot \frac12$.

    Der Faktor vor der Variablen $x$ wird als Koeffizient bezeichnet.

    Schau dir das Beispiel $f(x)=3x$ genau an!

    Lösung

    Man kann sich das Herleiten der Flächeninhaltsfunktion einer Funktion $f(x)=mx$ wie folgt merken:

    • Der Koeffizient $m$ wird behalten.
    • Auch die Variable $x$ wird behalten.
    • Der Faktor $x$ wird zugefügt.
    • Das Ergebnis wird mit $\frac12$ multipliziert.
    Insgesamt erhält man also die Flächeninhaltsfunktion

    $A_0(x)=m\cdot x\cdot x\cdot \frac12=\frac m2 x^2$.

  • Verwende die Flächeninhaltsfunktion, um den Flächeninhalt zu berechnen.

    Tipps

    Zu $f(x)=mx+b$ ist die Flächeninhaltsfunktion gegeben durch

    $A_0(x)=\frac m2x^2+bx$.

    Du kannst die jeweiligen Flächeninhalte durch Zählen der Kästchen überprüfen.

    Die Brüche haben jeweils den Nenner $4$.

    Lösung

    In diesem Bild ist zu sehen, wie ein Flächenstück berechnet werden kann, welches nicht den unteren Intervallrand $0$ hat. Auch hier kann die Flächeninhaltsfunktion verwendet werden. Diese ist zu $f(x)=\frac12x+1$ gegeben durch

    $A_0(x)=\frac14x^2+x$.

    Nun werden

    • $A_0(2)=\frac14\cdot 2^2+2=1+2=3$ FE sowie
    • $A_0(5)=\frac14\cdot 5^2+5=\frac{25}4+5=\frac{45}4$ FE
    berechnet.

    Der gesuchte Flächeninhalt ergibt sich als Differenz dieser Flächeninhalte:

    $A=\frac{45}4-3=\frac{45}4-\frac{12}4=\frac{33}4=8,25$ FE.

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