Flächeninhaltsfunktion – Flächenberechnungen

Flächeninhaltsfunktion – Flächenberechnungen Übung

• Beschreibe, was eine Flächeninhaltsfunktion ist.

  Tipps

  Die rot markierte Fläche ist gegeben durch $A_0(2)$.

  Die Flächeninhaltsfunktion zu $f(x)=x$ ist gegeben durch $A_0(x)=\frac12 x^2$.

  Der Index, also die tiefgestellte Zahl, gibt bei Flächeninhaltsfunktionen häufig die untere Intervallgrenze an.

  Lösung

  Was ist die Flächeninhaltsfunktion?

  Die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)$ beschreibt den Flächeninhalt, der von dem Graphen der Funktion $f(x)$ sowie der x-Achse über dem Intervall von $0$ bis $x$ ($\ge 0$) eingeschlossen wird.

  Beispielhaft ist dies hier zu sehen für eine Parabel. Die rot markierte Fläche wird von der Parabel, der sogenannten Randfunktion, und der x-Achse über dem Intervall $I=[0;2]$ eingeschlossen. Diese Fläche hat den Inhalt $A_0(2)$. Dabei ist $2$ die obere Intervallgrenze.

  Es gilt allgemein für Flächeninhaltsfunktionen

  $A'_0(x)=f(x)$.

• Bestimme mit Hilfe der Flächeninhaltsfunktion den Flächeninhalt.

  Tipps

  Du kannst die Flächeninhaltsfunktion durch Ableiten überprüfen.

  Es muss gelten $A'_0(x)=f(x)$.

  Sei zum Beispiel $f(x)=3x$, dann ist $A_0(x)=\frac32 x^2$, denn

  $\left(\frac32x^2\right)'=3x$ $~~~~~$✓

  Du kannst den Flächeninhalt durch Zählen der Kästchen überprüfen.

  Lösung

  Hier ist der gesuchte Flächeninhalt zu sehen.

  Wie kann dieser berechnet werden?

  Zunächst benötigt man hierfür die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)$ zu $n(x)=\frac13x+4$.

  Für eine lineare Funktion$f(x)=mx$, welche durch den Koordinatenursprung verläuft, ist die Flächeninhaltsfunktion gegeben durch

  $A_0(x)=\frac12~x~ f(x)=\frac m2 x^2$.

  Da der Graph zu $n(x)$ nicht durch den Koordinatenursprung verläuft, muss noch der Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Höhe $h=4$ addiert werden. Dieser Flächeninhalt ist gegeben durch $4x$.

  Nun kann die Flächeninhaltsfunktion zu $n(x)$ bestimmt werden.

  Diese ist $A_0(x)=\frac{\frac13}2 x^2+4x=\frac16x^2+4x$.

  Es ist sinnvoll zu überprüfen, ob die Flächeninhaltsfunktion korrekt ist. Hierfür wird diese abgeleitet und es muss $n(x)$ herauskommen:

  $A_0'(x)=\frac16\cdot 2x+4=\frac13x+4$ $~~~~~$✓

  Zuletzt muss noch die obere Intervallgrenze in diese Funktion eingesetzt werden und man erhält den gesuchten Flächeninhalt

  $A=A_0(4)=\frac16 4^2+4\cdot 4=\frac83+16=\frac{56}3$.

  Dieses Ergebnis kann auch durch Zählen der Kästchen in der Zeichnung nachvollzogen werden.

• Ermittle die jeweilige Flächeninhaltsfunktion.

  Tipps

  Beachte: Es gilt $A'_0(x)=f(x)$.

  Für $f(x)=mx$ ist $A_0(x)=\frac m2x^2$.

  Für $f(x)=x^2$ ist $A_0(x)=\frac13x^3$.

  Lösung

  Die Flächeninhaltsfunktion wird benötigt - wie der Name bereits vermuten lässt -, um Flächeninhalte zu berechnen. Dabei werden die Flächen von einem Funktionsgraphen sowie der x-Achse über dem Intervall $I=[0;x]$ eingeschlossen.

  Das Bestimmen der Flächeninhaltsfunktion ist somit ein wesentlicher Teil der Flächenberechnung.

  Ob eine Flächeninhaltsfunktion korrekt ist, kann durch Ableiten überprüft werden: $A'_0(x)=f(x)$, wobei $f(x)$ die Randfunktion ist.

  Im Folgenden wird verwendet:

  • Sei $a(x)=c$, dann ist die zugehörige Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=cx$.
  • Für $b(x)=mx$ ist $A_0(x)=\frac m2 x^2$.
  • Für $c(x)=x^2$ ist $A_0(x)=\frac13x^2$.

  Betrachten wir nun die folgenden Funktionen und deren Flächeninhaltsfunktionen:

  • Für $f(x)=5x$ ist $A_0(x)=\frac52 x^2$.
  • Für $f(x)=5x+2$ ist $A_0(x)=\frac52 x^2+2x$.
  • Für $f(x)=5x^2$ ist $A_0(x)=5\frac13 x^3=\frac53 x^3$.
  • Für $f(x)=5x^2+2x$ ist $A_0(x)=5\frac13 x^3+\frac22x^2=\frac53 x^3+x^2$.

• Prüfe, wie der Parameter $a$ gewählt werden muss, damit der Flächeninhalt $9$ FE beträgt.

  Tipps

  Wenn du eine Flächeninhaltsfunktion zu $f(x)$ gefunden hast, dann kannst du diese durch Ableiten überprüfen:

  $A'_0(x)=f(x)$.

  Du erhältst durch Einsetzen des gegebenen Flächeninhaltes und der Intervallobergrenze eine Gleichung, welche du nach $a$ auflösen kannst.

  Beachte: Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt $3a$.

  Lösung

  Zunächst muss für einen beliebigen Parameter $a$ der Flächeninhalt berechnet werden. Es ist $A=A_0(3)$. Das bedeutet, dass die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)$ zu $f(x)=\frac13x+a$ bestimmt werden muss.

  Die Flächeninhaltsfunktion lautet

  $A_0(x)=\frac{\frac13}2 x^2+ax=\frac16x^2+ax$.

  Nun muss die obere Intervallgrenze, $x=3$, in diese Funktion eingesetzt werden und man erhält

  $A=A_0(3)=\frac16 3^2+a\cdot 3=\frac32+3a$.

  Da der Flächeninhalt $9$ FE vorgegeben ist und der Parameter $a$ gesucht, erhält man die folgende Gleichung:

  $\frac32+3a=9$.

  Zunächst wird $\frac32$ subtrahiert zu

  $3a=\frac{15}2$

  und dann durch $3$ dividiert zu

  $a=\frac52=2,5$.

• Benenne das Verfahren, mit dem die Flächeninhaltsfunktion einer quadratische Funktion näherungsweise bestimmt wird.

  Tipps

  Bei dem Verfahren wird ein Flächenstück, welches nicht durch eine Gerade begrenzt wird, durch Rechtecke immer feiner berechnet.

  Wenn du immer feinere Rechtecke zeichnest, sehen diese wie Streifen aus.

  Archimedes von Syrakus war ein griechischer Mathematiker. Er lebte ca. 300 Jahre vor Christi Geburt.

  Lösung

  Wenn eine Fläche nicht durch eine Gerade begrenzt ist, lässt sich der Flächeninhalt nicht direkt durch geometrische Figuren, rechtwinklige Dreiecke oder Rechtecke, berechnen.

  Eine solche krumm begrenzte Fläche wird näherungsweise berechnet. Hierfür wird das tatsächlich gesuchte Flächenstück von oben und von unten durch Rechteckflächen angenähert. Durch immer feinere Rechtecke kann der Flächeninhalt berechnet werden. Hierfür wird ein Grenzwert gebildet.

  Dieses Verfahren wird als Streifenmethode nach Archimedes bezeichnet.

  Archimedes von Syrakus war ein griechischer Mathematiker. Er lebte ca. 300 Jahre vor Christi Geburt.

  Es gibt auch andere Methoden, solchen Flächen zu berechnen: zum Beispiel mit den Möndchen des Hippokrates.

• Berechne die blaue Fläche über dem Intervall $I=[0;8]$..

  Tipps

  Beachte, dass bei der Flächeninhaltsfunktion der Exponent immer um $1$ höher ist als bei der Funktion.

  Der Flächeninhalt ist bei bekannter Flächeninhaltsfunktion gegeben durch $A_0(b)$, wobei $b$ die obere Intervallgrenze ist.

  Die untere Intervallgrenze ist $0$.

  Du könntest den Flächeninhalt unter der Geraden auch so berechnen:

  • Die Fläche ist ein rechtwinkliges Dreieck.
  • Der Flächeninhalt ist das Produkt der Katheten geteilt durch $2$.

  Lösung

  Hier ist ein Flächenstück zu sehen, welches von zwei Funktionsgraphen eingeschlossen wird. Auch dieses Flächenstück lässt sich mit Hilfe der Flächeninhaltsfunktion berechnen.

  Man berechnet die Fläche, welche die obere Gerade mit der x-Achse über dem Intervall $I=[0;8]$ einschließt, und zieht davon diejenige ab, welche von der unteren Parabel mit der x-Achse über dem gleichen Intervall eingeschlossen wird.

  Es müssen also zu beiden Funktionen die Flächeninhaltsfunktionen bestimmt werden und damit die Flächeninhalte berechnet werden.

  Zunächst wollen wir den Flächeninhalt unter der Funktion $f(x)=\frac12x$ berechnen:

  • $A_0(x)=\frac{\frac12}2x^2=\frac14x^2$
  • $A=A_0(8)=\frac148^2=\frac1464=16$ FE

  Dann berechnen wir den Flächeninhalt unter der Funktion $g(x)=\frac1{16}x^2$:

  • $A_0(x)=\frac1{48}x^3$
  • $A_0(8)=\frac1{48}8^3=\frac{32}3$ FE

  Nun können diese Flächeninhalte subtrahiert werden:

  $16-\frac{32}3=\frac{48}3-\frac{32}3=\frac{16}3$.

  Dies ist der gesuchte Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche.