30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Erwartungswert – Erklärung

Bewertung

Ø 4.1 / 26 Bewertungen

Die Autor*innen
Avatar
Martin Wabnik
Erwartungswert – Erklärung
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Erwartungswert – Erklärung

Der Erwartungswert eines Zufallsversuchs ist die Summe der Produkte aus den Ergebnissen des Zufallsversuchs und deren Wahrscheinlichkeiten. Weil diese Beschreibung möglicherweise etwas unhandlich ist, sehen wir uns in diesem Video an, wie wir den Erwartungswert direkt verstehen können: Sind die Ergebnisse eines Zufallsversuchs Zahlen, dann können wir diese Ergebnisse auf der Zahlengerade anordnen. Wenn wir die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse als Gewichte an die Zahlengerade anhängen, können wir mit einem Blick sehen, was der Erwartungswert in diesem Modell ist: der Schwerpunkt. Was ein Schwerpunkt ist, kennen wir aus unserer Alltagserfahrung: Wenn wir z.B. einen Spaten mit einer Hand tragen, fassen wir diesen am Schwerpunkt an. Wir können nur dann auf einem Bein stehen, wenn sich der Schwerpunkt unseres Körpers über der Auftrittsfläche des Standfußes befindet. Beim Hochsprung versuchen wir durch geeignete Bewegungen den Schwerpunkt unseres Körpers möglichst tief über die Latte zu bewegen. (Die Hochsprungolympieasiegerin Ulrike Meyfarth bewegte - das belegen die Bilder ihrer Sprünge - ihren Körperschwerpunkt sogar unter der Latte hindruch, ohne die Latte zu reißen.)

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. warum sagen sie wir rechnen mit dem taschenrechner und schmeißen ihn dann weg

    Von Liam Nay, vor etwa einem Jahr
  2. Danke sie haben mir echt doll geholfen

    Von Samdavidhh, vor mehr als einem Jahr

Erwartungswert – Erklärung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Erwartungswert – Erklärung kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zum Erwartungswert.

    Tipps

    Stelle dir die Zahlen $10$, $10$ und $30$, die auf den Zylindern stehen, wie Gewichte vor.

    Der Erwartungswert entspricht dem Schwerpunkt des Stabes.

    Lösung

    Wir betrachten einen Zufallsversuch mit den Ergebnissen $e_1$, $e_2$ und $e_3$. Jedem dieser Ergebnisse wird eine Zahl zugeordnet: $e_1\rightarrow 3$, $e_2\rightarrow 9$ und $e_3\rightarrow 1$.

    Eine solche Zuordnung wird als Zufallsgröße oder Zufallsvariable $X$ bezeichnet.

    Wenn bei einem Zufallsversuch die Ergebnisse selbst Zahlen sind (zum Beispiel beim Werfen eines Würfels), müssen den Ergebnissen nicht unbedingt ein weiteres Mal Zahlen zugeordnet werden.

    Jedes der obigen Ergebnisse hat eine Wahrscheinlichkeit:

    • $P(e_1)=\frac{10}{50}$,
    • $P(e_2)=\frac{30}{50}$ und
    • $P(e_3)=\frac{10}{50}$.
    Wenn man jede Zahl, die einem Ergebnis zugeordnet ist, mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit multipliziert und diese Produkte addiert, erhält man den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$.

    Du kannst dir dies so vorstellen: Jedes Ergebnis, hier dargestellt als Gewicht, wird an einem Stab aufgehängt. Wo kannst du den Stab so auf deinem Finger balancieren, dass dieser Stab im Gleichgewicht ist? Dieser „Schwerpunkt“ des Stabes entspricht dann dem Erwartungswert.

  • Berechne den Erwartungswert $E(X)$.

    Tipps

    Die Summe der Zahlen auf den Zylindern ist $50$.

    Teile also jede Zahl auf einem Zylinder durch $50$, so erhältst du die zugehörige Wahrscheinlichkeit.

    Der jeweilige Wert der Zufallsgröße (Das sind $x_1$, $x_2$ oder $x_3$) wird mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit multipliziert.

    Die so erhaltenen Produkte werden addiert.

    Der Erwartungswert liegt zwischen dem kleinsten und dem größten Wert der Zufallsvariable.

    Lösung

    Der Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ wird mit Hilfe dieser Formel

    $E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+x_3\cdot P(X=x_3)$

    berechnet.

    Wir bestimmen zunächst die Wahrscheinlichkeiten.

    • $P(X=x_1)=\frac{10}{50}=0,2$
    • $P(X=x_2)=\frac{30}{50}=0,6$
    • $P(X=x_3)=\frac{10}{50}=0,2$

    Nun wird jede dieser Wahrscheinlichkeiten mit dem entsprechenden Wert der Zufallsgröße multipliziert.

    • $x_1\cdot P(X=x_1)=3\cdot \frac{10}{50}=\frac{30}{50}$
    • $x_2\cdot P(X=x_2)=9\cdot \frac{30}{50}=\frac{270}{50}$
    • $x_3\cdot P(X=x_3)=1\cdot \frac{10}{50}=\frac{10}{50}$
    Zuletzt addierst du diese Produkte und erhältst den Erwartungswert.

    $E(X)=\frac{30}{50}+\frac{270}{50}+\frac{10}{50}=\frac{310}{50}=6,2$

  • Ermittle den Erwartungswert $E(X)$.

    Tipps

    Beachte, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten $1$ ergeben muss.

    Verwende diese Definition des Erwartungswertes:

    $E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+x_3\cdot P(X=x_3)+x_4\cdot P(X=x_4)$.

    Der Erwartungswert ist größer als $6$.

    Lösung

    Es kommt mit $e_4$ ein weiteres Ergebnis hinzu. Die Zufallsvariable ordnet ihm den Wert $x_4=6$ zu. Die Wahrscheinlichkeit ist $P(e_4)=P(X=x_4)=\frac{50}{100}=0,5$.

    Die anderen Wahrscheinlichkeiten sind:

    • $P(e_1)=P(X=x_1)=\frac{10}{100}=0,1$,
    • $P(e_2)=P(X=x_2)=\frac{30}{100}=0,3$ und
    • $P(e_3)=P(X=x_3)=\frac{10}{100}=0,1$.
    Nun kannst du die Definition des Erwartungswertes verwenden.

    $E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+x_3\cdot P(X=x_3)+x_4\cdot P(X=x_4)$

    Der Erwartungswert ist dementsprechend:

    $E(X)=3\cdot 0,1+9\cdot 0,3+1\cdot 0,1+6\cdot 0,5=0,3+2,7+0,1+3=6,1$.

  • Bestimme den erwarteten Gewinn für Paul.

    Tipps

    Das Glücksrad hat sieben gleich große Felder.

    Zähle alle Felder, die sowohl rot als auch mit einer ungeraden Zahl beschriftet sind. Dividiere diese Zahl durch $7$.

    Gehe bei den blauen Feldern mit gerader Zahl ebenso vor.

    Die erwartete Auszahlung kannst du mit der Formel für den Erwartungswert berechnen:

    $E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+x_3\cdot P(X=x_3)$.

    Glücksräder machen nicht glücklich.

    Lösung

    Paul berechnet zunächst einmal die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Auszahlungen:

    • $P(X=x_1)=\frac27$, da zwei rote Felder mit einer ungeraden Zahl beschriftet sind, und
    • $P(X=x_2)=\frac17$, da ein blaues Feld mit einer geraden Zahl beschriftet ist.
    • Somit bleiben noch vier Felder übrig, also ist $P(X=x_3)=\frac47$.
    Nun multipliziert er jede der Wahrscheinlichkeiten mit der entsprechenden Auszahlung:

    $E=3,50~€\cdot \frac27+14~€\cdot \frac17+0~€\cdot\frac47=1~€+2~€=3~€$.

    Um den zu erwartenden Gewinn zu berechnen, zieht er zuletzt den Einsatz pro Spiel ab und erhält $3~€-2~€=1~€$.

    Also gewinnt Paul pro Spiel $1~€$. Aber Vorsicht: Dies ist der zu erwartende Gewinn. Es kann alles auch anders ausgehen. Denn ... ein Glücksrad macht nicht glücklich.

    Wenn bei dem zu erwartenden Gewinn $0~€$ herauskommt, bezeichnet man ein Spiel übrigens als fair.

  • Beschreibe, was der Erwartungswert anschaulich ist.

    Tipps

    Der Median eines Datensatzes liegt genau in der Mitte des geordneten Datensatzes.

    Dieser wäre hier $3$.

    Das arithmetische Mittel berechnest du, indem du alle Datensätze addierst: $1+3+9=13$ und diese Summe durch die Anzahl der Datensätze dividierst:

    $\bar x=\frac{13}{3}=4,\bar3$

    Der Modus ist in diesem Beispiel nicht zu bestimmen. Er ist der am häufigsten auftretende Datensatz.

    Der kleinste Wert ist $1$ und der größte $9$.

    Lösung

    Wenn du den Stab, an welchem die Ergebnisse aufgehängt sind, genau bei $E(X)=6,2$ auf einen Finger legst, ist der Stab waagerecht und genau in der Balance.

    Das bedeutet, dass der Erwartungswert dem Schwerpunkt entspricht.

    Übrigens:

    • Der Median ist der mittlere Wert, also hier $3$.
    • Das arithmetische Mittel ist $\bar x=\frac{1+3+9}{3}=4,\bar 3$.
    • Der Modus ist der am häufigsten aufgetretene Wert.
    All diese Größen sind wie der Erwartungswert Lageparameter.

  • Leite die Auszahlung her, bei welcher das Spiel fair ist.

    Tipps

    Auf dem Glücksrad befinden sich sieben Felder. Damit ist

    • $P($rot$)=\frac47$ und
    • $P($blau$)=\frac37$.

    Du erhältst eine zu erwartende Auszahlung in Abhängigkeit von der Unbekannten $a$.

    Diese zu erwartende Auszahlung muss gleich dem Einsatz sein. Dies führt zu einer Gleichung, deren Lösung $a$ ist.

    Lösung

    Paul dreht dieses Glücksrad. Dafür muss er $2,50~€$ Einsatz bezahlen.

    Da sich auf dem Glücksrad sieben Felder befinden, ist

    • $P($rot$)=\frac47$ und
    • $P($blau$)=\frac37$.
    Nun kann Paul die zu erwartende Auszahlung in Abhängigkeit von $a$ berechnen, hierbei werden die Einheiten weggelassen:

    $\begin{array}{rcl} E(X)&=&a\cdot \frac47+(a+3,50)\cdot \frac37\\ &=&\frac{4a+3(a+3,50)}7\\ &=&\frac{7a+10,50}7\\ &=&a+1,50 \end{array}$

    Damit das Spiel fair ist, muss also $a~€+1,50~€=2,50~€$ gelten. Nun subtrahiert Paul auf beiden Seiten $1,50~€$ und erhält $a=1~€$.

    Also ist das Spiel fair, wenn für ein rotes Feld $1~€$ und für ein blaues Feld $4,50~€$ ausgezahlt werden.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

10.837

Lernvideos

44.369

Übungen

39.003

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden