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Erwartungswert - Definition 04:38 min

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Transkript Erwartungswert - Definition

Hallo. Wenn du weißt, was Zufallsversuche sind und auch weißt, was das arithmetische Mittel ist, dann können wir uns jetzt mal ansehen, was der Erwartungswert ist. Wir werden erst eine Vorstufe der Definition entwickeln und uns dann überlegen, was das Ganze soll und auch was es nicht soll. Ja, Sinn und Unsinn sind beim Erwartungswert oft dicht beieinander. Und am Ende machen wir noch die endgültige Definition. Wir haben einen Zufallsversuch mit den Ergebnissen a1, a2, a3 usw. bis an. Diese Ergebnisse sollen Zahlen sein. Und wir können diese Ergebnisse nun mit den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten multiplizieren. Also P(a1) ist die Wahrscheinlichkeit von a1. P(a2) ist die Wahrscheinlichkeit von a2 usw. und P(an). Wir können diese Produkte nun alle addieren. Und das, was wir hier stehen haben, ist der Erwartungswert des Zufallsversuchs. Nun wird um den Erwartungswert herum schon mal einiges behauptet, was, sagen wir mal, zumindest missverständlich ist. Also was ist tatsächlich der Fall? Stellen wir uns Folgendes vor: Wir haben einen Zufallsversuch und führen den immer wieder durch. Wir bilden immer wieder das arithmetische Mittel, das heißt wir addieren die bisherigen Ergebnisse und teilen durch die Anzahl der bisherigen Versuchsdurchführungen. Dann gilt: die Wahrscheinlichkeit, dass das arithmetische Mittel um einen bestimmten Betrag vom Erwartungswert abweicht, nimmt mit zunehmender Versuchswiederholung ab. Ja, einfacher kann man das nicht formulieren. Es wird schon mal behauptet, dass sich das arithmetische Mittel dem Erwartungswert annähern muss, wenn man einen Zufallsversuch häufig durchführt. Das ist aber falsch. Denn wenn sich das arithmetische Mittel dem Erwartungswert annähern müsste, hätten wir ja gar keinen Zufallsversuch. So, dann kommen wir jetzt zu dem Detail, was uns noch zur endgültigen Definition fehlt. Und zwar haben wir ja eingangs gesagt, dass wir Zufallsversuche betrachten, deren Ergebnisse Zahlen sind. Das ist aber oft nicht der Fall, zum Beispiel, wenn wir Kugeln ziehen, dann haben wir Kugeln als Ergebnisse und keine Zahlen. Oder wir haben schon mal Farben als Ergebnisse usw. Und deshalb gibt es Zufallsgrößen. Eine Zufallsgröße ordnet den Ergebnissen eines Zufalls Versuchszahlen zu. Es ist also eine Funktion. Und normalerweise werden auch Erwartungswerte von Zufallsgrößen gebildet. Der Erwartungswert E der Zufallsgröße X = erster Wert der Zufallsgröße, also x1 mal die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße X den Wert x1 annimmt plus zweiter Wert der Zufallsgröße, also x2 mal die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert x2 annimmt usw. bis xm. Wenn wir das mal mit der anderen Definition vergleichen, dann stellen wir fest, also hier steht n, hier steht m. Es wäre so, wie wir das hier besprochen haben, sinnvoll, zu sagen: okay a1 = x1, a2 = x2, dann wäre ab = xm. Aber im Allgemeinen muss das eben nicht der Fall sein. Und deshalb stehen hier unterschiedliche Indizes. Ja, das war es dazu. Wir haben also gesehen, was der Erwartungswert ist, mit und ohne Zufallsgröße. Und wir haben auch gesehen, was der Erwartungswert bedeutet, mit Sinn und ohne Unsinn. Damit haben wir schon mal ein paar Pflöcke eingeschlagen, um uns auf die richtige Richtung zu bringen, wenn wir den Erwartungswert verstehen wollen. Das war es dazu. Viel Spaß damit. Tschüss.

Erwartungswert - Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Erwartungswert - Definition kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe den Zusammenhang zwischen dem arithmetischen Mittel und dem Erwartungswert.

    Tipps

    Das empirische Gesetz der großen Zahlen besagt, dass bei häufiger Durchführung eines Zufallsexperimentes die relativen Häufigkeiten der einzelnen Ergebnisse sich immer mehr einem festen Wert annähern.

    Sowohl das arithmetische Mittel als auch der Erwartungswert sind Lageparameter.

    Lösung

    Die Wahrscheinlichkeit, dass das arithmetische Mittel um einen bestimmten Betrag vom Erwartungswert abweicht, nimmt mit zunehmender Versuchswiederholung ab.

    Was bedeutet dies?

    Schauen wir uns dies am Beispiel eines Würfelwurfs an.

    Ein Würfel wird $10$-mal geworfen und die Augenzahlen werden notiert. Dann werden die Augenzahlen addiert und die Summe durch die Zahl der Versuche dividiert. So erhältst du das arithmetische Mittel.

    Es sind zum Beispiel dreimal die $1$ und jeweils einmal die $2$, $4$ und $5$ und zweimal die $3$ und die $6$ gewürfelt worden. Es ergibt sich somit:

    $\bar x=\frac{3\cdot 1+2+2\cdot 3+4+5+2\cdot 6}{10}=\frac{32}{10}=3,2$.

    Nach dem empirischen Gesetz der großen Zahlen, werden sich die absoluten Häufigkeiten bei gleichen Werten einpendeln. Das bedeutet, dass das arithmetische Mittel dem Erwartungswert immer ähnlicher wird.

    Der Erwartungswert beim Würfelwurf wird so berechnet:

    $E=1\cdot \frac16+2\cdot \frac16+...+6\cdot \frac16=\frac{1+2+3+4+5+6}6=\frac{21}6=3,5$.

  • Definiere den Erwartungswert einer Zufallsgröße.

    Tipps

    Schaue dir dieses Glücksrad an. Die Ergebnismenge $\Omega$ sieht folgendermaßen aus:

    $\Omega=\{1;2;3;4;5\}$.

    Die Zufallsgröße $X$ könnte jeder ungeraden Zahl die $5$ zuordnen und jeder geraden Zahl die $10$.

    Wir bleiben bei diesem Beispiel:

    Die Wahrscheinlichkeit für eine ungerade Zahl beträgt $p=\frac35$ und die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl $p'=\frac25$.

    Dann ist

    $E(x)=5\cdot \frac35+10\cdot \frac25=7$.

    Der Erwartungswert liegt zwischen dem kleinsten und dem größten Wert, welchen $X$ annehmen kann.

    Lösung

    Was ist der Erwartungswert?

    Um zu verstehen, was ein Erwartungswert ist, schauen wir uns zunächst einen Zufallsversuch an.

    • Ein Zufallsversuch hat zwei oder mehr mögliche Ergebnisse, welche in der Ergebnismenge $\Omega=\{e_1,e_2,\dots,e_m\}$ zusammengefasst werden.
    • Die Zufallsgröße $X$ ordnet jedem dieser Ergebnisse eine Zahl $x_1$, ... $x_m$ zu:
    $X:\begin{array}{lcr} \Omega&\rightarrow&\mathbb{R}\\ e_i&\rightarrow&x_i \end{array}$

    Dann ergibt sich der Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ dadurch, dass man jeden Wert, den $X$ annehmen kann, also alle $x_i$ mit $i=1,\dots,m$, mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit $P(X=x_i)=P(e_i)$ multipliziert und schließlich die Produkte addiert:

    $E(x)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+...+x_m\cdot P(X=x_m)$

  • Beschrifte die Formel für den Erwartungswert.

    Tipps

    Wenn du den folgenden Zufallsversuch betrachtest, musst du dem jeweiligen Ergebnis einen Zahlenwert zuordnen:

    Es wird aus einer Urne mit fünf Kugeln ($1$ rote und $4$ grüne) einmal gezogen.

    Nun könnte der roten Kugel die Auszahlung $10~€$ und den grünen Kugeln jeweils die Auszahlung $2~€$ zugeordnet werden.

    Die Zufallsgröße ist eine Zuordnung: Sie ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu.

    Hier ist

    • $x_1=10~€$ die Ausprägung der Zufallsgröße, wenn eine rote Kugel gezogen wird, und
    • $x_2=2~€$ die Ausprägung der Zufallsgröße, wenn eine grüne Kugel gezogen wird.

    Der Erwartungswert bei obigem Zufallsversuch ist dann so zu berechnen:

    $10~€\cdot \frac15+2~€\cdot \frac45=\frac{18}5~€=3,6~€$

    Lösung

    Hier siehst du die Definition des Erwartungswertes $E$ einer Zufallsgröße $X$, also $E(X)$.

    Was ist eine Zufallsgröße? Eine Zufallsgröße ordnet jedem Ergebnis des Zufallsversuchs eine Zahl zu.

    • $x_1$, $x_2$ ..., $x_m$ sind Werte, welche die Zufallsgröße annehmen kann.
    • Wahrscheinlichkeiten werden mit dem Buchstaben $P$ aus dem Französischen „probabilité“ bezeichnet. Dieser Buchstabe wurde hierfür von Pierre-Simon Laplace, einem französischen Mathematiker des 18./19. Jahrhunderts, eingeführt.
    • Damit steht $P(X=x_i)$ für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ den Wert $x_i$, $i=1,\dots,m$, annimmt.
  • Ermittle, bei welcher Auszahlung das Spiel fair ist.

    Tipps

    Da sich fünf Kugeln in der Urne befinden, von denen drei grün und zwei rot sind, ergeben sich die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

    • $P($grün$)=\frac35$
    • $P($rot$)=\frac25$

    Multipliziere die Auszahlung, abhängig von der Unbekannten $b$, jeweils mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit. Addiere dann diese Produkte.

    Der Erwartungswert hängt von der Unbekannten $b$ ab.

    Lösung

    Paul zieht eine Kugel aus der hier zu sehenden Urne. Hierfür muss er $5$ Gummibärchen als Einsatz geben.

    Dabei können die folgenden Wahrscheinlichkeiten berechnet werden:

    • $P($grün$)=\frac35$
    • $P($rot$)=\frac25$
    Nun kannst du den Erwartungswert (die Maßeinheit sind Gummibärchen) berechnen:

    $\begin{array}{rcl} E(X)&=&b\cdot \frac35+(b+5)\cdot \frac25\\ &=&\frac{3b+2(b+5)}5\\ &=&\frac{5b+10}5\\ &=&b+2 \end{array}$

    Damit das Spiel fair ist, muss also gelten $b+2=5$. Subtrahiere auf beiden Seiten $2$, so erhältst du $b=3$.

    Das bedeutet, dass Paul beim Ziehen einer grünen Kugel $3$ Gummibärchen und beim Ziehen einer roten Kugel $3+5=8$ Gummibärchen bekommt. Nur dann ist das Spiel fair.

  • Berechne den Erwartungswert der Zufallsgröße.

    Tipps

    Da die Felder gleich groß sind, hat jedes Feld die Wahrscheinlichkeit $\frac15$.

    Verwende diese Formel zur Berechnung des Erwartungswertes:

    $E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+\dots+x_m\cdot P(X=x_m)$

    Dabei sind $x_1$, ..., $x_m$ die Werte, welche die Zufallsgröße annehmen kann, und $P(X=x_i)$, ..., $P(X=x_m)$ die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

    Da es zwei rote Felder gibt, ist die Wahrscheinlichkeit, ein rotes Feld zu drehen, gegeben durch:

    $p=\frac25=0,4$.

    Ebenso kannst du die Wahrscheinlichkeiten berechnen, ein grünes oder ein blaues Feld zu drehen.

    Lösung

    Mit dieser Formel wird der Erwartungswert ganz allgemein berechnet:

    $E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+\dots+x_m\cdot P(X=x_m)$.

    Um die Formel anwenden zu können, musst du zunächst die Wahrscheinlichkeiten bestimmen:

    • $P(X=x_1)=\frac25=0,4$, also dafür, dass ein rotes Feld gedreht wird
    • $P(X=x_2)=\frac25=0,4$ für ein grünes Feld
    • $P(X=x_3)=\frac15=0,2$ für ein blaues Feld
    Nun wird jede dieser Wahrscheinlichkeiten mit dem entsprechenden Wert der Zufallsgröße multipliziert:

    • $x_1\cdot P(X=x_1)=2\cdot 0,4=0,8$
    • $x_2\cdot P(X=x_2)=3\cdot 0,4=1,2$
    • $x_3\cdot P(X=x_3)=5\cdot 0,2=1$
    Zuletzt addierst du diese Produkte und erhältst so den Erwartungswert: $E(X)=0,8+1,2+1=3$.

  • Ermittle zu jedem Zufallsversuch den Erwartungswert.

    Tipps

    Summiere immer die ersten $n$ Zahlen. Für $n=2$ sähe dies so aus:

    $1+2=3$

    Dividiere dann diese Summe durch die Anzahl der Kugeln.

    Die Gauß'sche Summenformel für die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen lautet

    $\sum\limits_{i=1}^n~i=\frac{n(n+1)}2$.

    Lösung

    Schauen wir uns einmal an, wie der Erwartungswert bei zwei Kugeln berechnet werden kann.

    Es gilt $a_1=1$ und $a_2=2$. Für jedes dieser Ergebnisse ist die Wahrscheinlichkeit gleich groß, nämlich $\frac12$.

    Damit ist $E=1\cdot \frac12+2\cdot \frac12=\frac{1+2}2=\frac32=1,5$.

    Du musst das nicht für jede Anzahl durchrechnen. Schaue dir an, was passiert, wenn $n$ Kugeln in der Urne liegen. Dann ist

    $E=1\cdot \frac1n+2\cdot \frac1n+\dots+n\cdot \frac1n=\frac{1+\dots+n}{n}$.

    Du siehst, im Zähler steht die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen. Diese kann mit der Gauß'schen Summenformel berechnet werden:

    $\sum\limits_{i=1}^n~i=\frac{n(n+1)}2$.

    Zuletzt teilst du diese Summe durch $n$:

    $E=\frac{\frac{n(n+1)}2}{n}=\frac{n+1}2$.

    Somit erhältst du für

    • $n=2$ den Erwartungswert $E=\frac32=1,5$. Diesen haben wir ja bereits berechnet.
    • $n=3$ den Erwartungswert $E=\frac42=2$.
    • $n=4$ den Erwartungswert $E=\frac52=2,5$.
    • $n=5$ den Erwartungswert $E=\frac62=3$.