Erwartungswert

Erwartungswert Übung

• Vervollständige die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Gewinne.

  Tipps

  Anzahl der Felder einer Farbe:
  Diese Zahl steht im Zähler (= oben) des Bruchs.

  Wenn bei einem Glücksrad $5$ von $8$ Feldern rot sind, ist die Wahrscheinlichkeit für rot:

  $P(\text{rot}) = \dfrac{5}{8}$

  Lösung

  So geben wir die Wahrscheinlichkeit $P$ (englisch: probability) für eine Farbe als Bruch an:

  • Anzahl der Felder einer Farbe: Diese Zahl steht im Zähler (= oben) des Bruchs.
  • Anzahl aller Felder: Diese Zahl steht im Nenner (= unten) des Bruchs.

  Die Wahrscheinlichkeit für einen Euro beträgt $\color{#99CC00}{\frac{6}{12}}$, da insgesamt $6$ von $12$ Feldern blau sind.
  Die Wahrscheinlichkeit für den $3$-Euro-Gewinn beträgt $\color{#99CC00}{\frac{4}{12}}$, da $4$ von $12$ Feldern rot sind.
  Die Wahrscheinlichkeit, fünf Euro zu gewinnen, liegt bei $\color{#99CC00}{\frac{2}{12}}$, da nur $2$ von $12$ Feldern gelb sind.

• Bestimme den Erwartungswert.

  Tipps

  Die Zahlen für die erste Zeile findest du in der Tabelle.

  Beispiel Berechnung Erwartungswert:

  $ E (X) = - 3 \cdot 0,\!1 + 2 \cdot 0,\!2 + (-1) \cdot 0,\!3$

  $ E (X) = - 0,\!3 ~+~ 0,\!4 ~-~ 0,3\!$

  $ E (X) = - 0,\!2$

  Lösung

  Um den Erwartungswert eines Ereignisses zu berechnen, brauchen wir folgende Formel:

  $E (X) = x_{1} \cdot P (X = x_{1}) + ... + x_{n} \cdot P (X = x_{n})$

  Im ersten Schritt stellen wir die Multiplikation der Zufallsgröße ($x$) mit ihrer entsprechenden Wahrscheinlichkeit auf:

  $E (X) = - 5 \cdot \color{#99CC00}{0,\!2} \color{black}{~+~} (-2) \cdot 0,\!1 + 0 \cdot \color{#99CC00}{0,\!4} \color{black}{~+~} 1 \cdot 0,\!2 + \color{#99CC00}{10} \color{black}{~\cdot~} 0,\!1$

  Im nächsten Schritt berechnen wir die Multiplikationsaufgaben, denn es gilt Punkt vor Strich:

  $E (X) = \quad \color{#99CC00}{-1} \quad \color{black}{-} \quad 0,\!2 \quad + \quad \color{#99CC00}{0} \quad \color{black}{+} \quad 0,\!2 \quad + \quad \color{#99CC00}{1}$

  Nun müssen wir die Zahlen nur noch addieren bzw. subtrahieren. Als Endergebnis erhalten wir:

  $E (X) =~ \color{#99CC00}{0}$

  Der Erwartungswert liegt bei $0$. Das bedeutet, wir erwarten einen Gewinn von $0$.

• Berechne den Erwartungswert.

  Tipps

  Es gilt Punkt vor Strich:

  • zuerst die Multiplikationsaufgaben lösen
  • danach die Teilergebnisse addieren

  Beispiel:

  $\begin{array}{l|c|c|c} x_i & 4 & 2 & 1 \\ \hline P(X = x_i) & 0,\!1 & 0,\!2 & 0,\!3 \end{array}$

  $E(X) = 4 \cdot 0,\!1 + 2 \cdot 0,\!2 + 1 \cdot 0,\!3 = 1,\!1$

  Lösung

  Bei einer gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnest du den Erwartungswert, indem du jede der Ausprägungen $x_i$ mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit $P(X = x_i)$ multiplizierst und die Ergebnisse addierst.

  Beispiel 1

  $\begin{array}{rrrrr} 0,\!5 \cdot 2 & + & 0,\!3 \cdot 3 & + & 0,\!2 \cdot 5 & = \\ 1 & + & 0,\!9 & + & 1 & = \\ & & & & \underline{\underline{2,\!9}} \end{array}$

  Beispiel 2

  $\begin{array}{rrrr} 0,\!1 \cdot 4 & + & 0,\!7 \cdot 2 & + & 0,\!2 \cdot 8 & = \\ 0,\!4 & + & 1,\!4 & + & 1,\!6 & = \\ & & & & \underline{\underline{3,\!4}} \end{array}$

  Beispiel 3

  $\begin{array}{rrrr} 0,\!3 \cdot 2 & + & 0,\!3 \cdot 5 & + & 0,\!4 \cdot 6 & = \\ 0,\!6 & + & 1,\!5 & + & 2,\!4 & = \\ & & & & \underline{\underline{4,\!5}} \end{array}$

  Beispiel 4

  $\begin{array}{rrrr} 0,\!5 \cdot 3 & + & 0,\!1 \cdot 9 & + & 0,\!4 \cdot 2 & = \\ 1,\!5 & + & 0,\!9 & + & 0,\!8 & = \\ & & & & \underline{\underline{3,\!2}} \end{array}$

• Entscheide, bei welchem Zufallsversuch der zu erwartende Gewinn am höchsten ist.

  Tipps

  Bestimme jeweils zunächst die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Farben.

  Subtrahiere den Einsatz von dem ausgezahlten Betrag, um den Gewinn bzw. Verlust zu ermitteln.

  Beispielweise liegt bei einem Einsatz von $2\,€$ und einer Auszahlung von $5\,€$ ein Gewinn von $5\,€ - 2\,€ = 3\,€$ vor. Beträgt die Auszahlung bei gleichem Einsatz dagegen $1\,€$, so entspricht dies einem „Gewinn“ von $1\,€ - 2\,€ = -1\,€$, also einem Verlust von $1\,€$.

  Mit dem Erwartungswert können wir dann berechnen, wie viel Gewinn oder Verlust wir nach mehreren Versuchen im Mittel machen. Dazu multiplizieren wir jedes Ergebnis mit seiner Eintrittswahrscheinlichkeit und addieren die Produkte.

  Lösung

  Einfach gesagt gibt der Erwartungswert an, welches Ergebnis im Mittel du bei einem Zufallsexperiment erhältst.

  In unserem Beispiel ziehen wir eine Kugel aus einer Urne. Da wir zu Beginn des Glücksspiels einen Einsatz bezahlen, müssen wir den Gewinn bzw. Verlust berechnen, indem wir den Einsatz von dem ausgezahlten Betrag abziehen. Außerdem bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten für die jeweilige Farbe.
  Mit dem Erwartungswert können wir dann berechnen, ob wir nach mehreren Versuchen im Mittel Gewinn oder Verlust machen. Dazu multiplizieren wir jedes Ergebnis mit seiner Eintrittswahrscheinlichkeit und addieren die Produkte. Erhalten wir ein positives Ergebnis, sprechen wir von einem Gewinn. Ist das Ergebnis negativ, gehen wir von einem Verlust aus.

  Beispiel 1

  $3$ rote, $5$ gelbe, $12$ blaue Kugeln
  rot: $10\,€ - 5\,€ = +5\,€ \hspace{2em}$ gelb: $2\,€ - 5\,€ = -3\,€ \hspace{2em}$ blau: $1\,€ - 5\,€ = -4\,€$

  ${P(\text{rot}) = \dfrac{3}{20}} \hspace{6em} {P(\text{gelb}) = \dfrac{4}{20}} \hspace{5em} {P(\text{blau}) = \dfrac{12}{20}}$

  $E(X)= +5\,€ \cdot \dfrac{3}{20} + (-3\,€) \cdot \dfrac{5}{20} + (-4\,€) \cdot \dfrac{12}{20} = -2{,}40\,€$

  Bei diesem Zufallsversuch machen wir im Durchschnitt also einen Verlust von $2,\!40~€$.

  Beispiel 2

  $5$ rote, $8$ gelbe, $2$ blaue Kugeln
  rot: $4\,€ - 3\,€ = +1\,€ \hspace{2em}$ gelb: $2\,€ - 3\,€ = -1\,€ \hspace{2em}$ blau: $0\,€ - 3\,€ = -3\,€$

  ${P(\text{rot}) = \dfrac{5}{15}} \hspace{6em} {P(\text{gelb}) = \dfrac{8}{15}} \hspace{5em} {P(\text{blau}) = \dfrac{2}{15}}$

  $E(X)= +1\,€ \cdot \dfrac{5}{15} + (-1\,€) \cdot \dfrac{8}{15} + (-3\,€) \cdot \dfrac{2}{15} = -0{,}60\,€$

  Bei diesem Zufallsversuch machen wir im Durchschnitt also einen Verlust von $0,\!60~€$.

  Beispiel 3

  $2$ rote, $7$ gelbe, $1$ blaue Kugeln
  rot: $1\,€ - 1\,€ = 0\,€ \hspace{2em}$ gelb: $0{,}50\,€ - 1\,€ = -0{,}50\,€ \hspace{2em}$ blau: $2\,€ - 1\,€ = +1\,€$

  ${P(\text{rot}) = \dfrac{2}{10}} \hspace{5em} {P(\text{gelb}) = \dfrac{7}{10}} \hspace{8em} {P(\text{blau}) = \dfrac{1}{10}}$

  $E(X)= 0\,€ \cdot \dfrac{2}{10} + (-0{,}50\,€) \cdot \dfrac{7}{10} + 1\,€ \cdot \dfrac{1}{10} = -0{,}25\,€$

  Bei diesem Zufallsversuch machen wir im Durchschnitt also einen Verlust von $0,\!25~€$.

  Beispiel 4

  $100$ rote, $30$ gelbe, $70$ blaue Kugeln
  rot: $10\,€ - 20\,€ = -10\,€ \hspace{2em}$ gelb: $100\,€ - 20\,€ = +80\,€ \hspace{2em}$ blau: $15\,€ - 20\,€ = -5\,€$

  ${P(\text{rot}) = \dfrac{100}{200}} \hspace{7em} {P(\text{gelb}) = \dfrac{30}{200}} \hspace{6em} {P(\text{blau}) = \dfrac{70}{200}}$

  $E(X)= -10\,€ \cdot \dfrac{100}{200} + 80\,€ \cdot \dfrac{30}{200} + (-5\,€) \cdot \dfrac{70}{200} = +5{,}25\,€$

  Bei diesem Zufallsversuch machen wir im Durchschnitt also einen Gewinn von $5,\!25~€$.

  Da $~ -2,\!4 \lt -0,\!6 \lt -0,\!25 \lt 5,\!25$ gilt, entspricht dies der Reihenfolge der Versuche nach aufsteigendem Gewinn.

• Stelle die Wahrscheinlichkeiten für die Farben dar.

  Tipps

  Zähle, wie viele Felder eines Glücksrads blau oder grün sind.

  Beispiel:

  $P (\text{gelb}) = \dfrac{3}{4} \rightarrow$ weil $3$ von $4$ Feldern gelb sind

  Lösung

  So geben wir die Wahrscheinlichkeit $P$ (englisch: probability) für eine Farbe als Bruch an:

  • Anzahl der Felder einer Farbe: Diese Zahl steht im Zähler (= oben) des Bruchs.
  • Anzahl aller Felder: Diese Zahl steht im Nenner (= unten) des Bruchs.

  Nachfolgend siehst du die richtigen Zuordnungen:

  1. Glücksrad: $P (\text{blau})~= \dfrac{5}{6} \qquad P (\text{grün})~=\dfrac{1}{6}$

  2. Glücksrad: $P (\text{blau})~=\dfrac{2}{6} \qquad P (\text{grün})~=\dfrac{4}{6}$

  3. Glücksrad: $P (\text{blau})~=\dfrac{4}{6} \qquad P (\text{grün})~=\dfrac{2}{6}$

• Bestimme fehlende Werte zur Berechnung des Erwartungswertes der beiden Glücksräder.

  Tipps

  Überlege, wie die einzelnen Summanden für den Erwartungswert berechnet werden.

  Beispiel:

  $\text{E (X)} = \dfrac{3}{10} \cdot 2 + \dfrac{7}{10} \cdot 2 = \dfrac{6}{10} + \dfrac{14}{10}$

  • $\dfrac{6}{10} = 0,\!6$
  • $\dfrac{14}{10} = 1,\!4$

  Lösung

  
  

  1. Glücksrad

  $\rightarrow$ gegeben: Anzahl der farbigen Felder sowie deren Gewinne:

  • vier blaue Felder, Gewinn: $2\,€$
  • fünf gelbe Felder, Gewinn: $4\,€$
  • ein rotes Feld, Gewinn: $8\,€$

  $\rightarrow$ gesucht: Erwartungswert

  Zuerst musst du die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe mithilfe eines Bruchs bestimmen:

  • Da das Glücksrad insgesamt zehn Felder hat, steht im Nenner (= unten) des Bruchs auf jeden Fall die Zahl $10$.
  • Im Zähler (= oben) steht nun die Anzahl der Felder der jeweiligen Farbe.

  Somit ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung folgendermaßen:

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ vier Felder sind blau: $\text{P(blau)}$ $= \dfrac{4}{10}$

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ fünf Felder sind gelb: $\text{P(gelb)}$ $=\dfrac{5}{10}$

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ ein Feld ist rot: $\text{P(rot)}$ $=\dfrac{1}{10}$

  Im nächsten Schritt stellst du die Gleichung für die Berechnung des Erwartungswertes auf:

  $\text{E(X)}$ $= \color{#0066FF}{\dfrac{4}{10} \cdot 2} \color{black}{~~+~~} \color{#FFCC00}{\dfrac{5}{10} \cdot 4} \color{black}{~~+~~} \color{#FF3300}{\dfrac{1}{10} \cdot 8}$

  Nun musst du die Multiplikationsaufgaben berechnen:

  $\text{E(X)}$ $= \color{#0066FF}{\dfrac{8}{10}} \color{black}{~~+~~} \color{#FFCC00}{\dfrac{20}{10}} \color{black}{~~+~~} \color{#FF3300}{\dfrac{8}{10}} $

  Und noch in eine Dezimalzahl umrechnen: Steht im Nenner eine $10$, verschiebst du das Komma des Zählers einfach um eine Stelle nach links, der Nenner fällt weg. Somit lauten die Teilergebnisse wie folgt:

  $\text{E(X)}$ $= \color{#0066FF}{0,\!8} \color{black}{~~+~~} \color{#FFCC00}{2} \color{black}{~~+~~} \color{#FF3300}{0,\!8}$

  Addierst du diese drei Zahlen jetzt noch, erhältst du den Erwartungswert dieses Glücksrads:

  $\text{E(X)} = 3,\!6$

  
  

  2. Glücksrad

  $\rightarrow$ gegeben: Anzahl der farbigen Felder (drei blaue, zwei gelbe, fünf rote)

  $\rightarrow$ gesucht: Gewinn für die jeweilige Farbe

  Zunächst musst du die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe mithilfe eines Bruchs bestimmen:

  • Da das Glücksrad insgesamt zehn Felder hat, steht im Nenner (= unten) des Bruchs auf jeden Fall die Zahl $10$.
  • Im Zähler (= oben) steht nun die Anzahl der Felder der jeweiligen Farbe.

  Demnach ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung folgendermaßen:

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ drei Felder sind blau: $\text{P(blau)}$ $= \dfrac{3}{10}$

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ zwei Felder sind gelb: $\text{P(gelb)}$ $=\dfrac{2}{10}$

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ fünf Felder sind rot: $\text{P(rot)}$ $=\dfrac{5}{10}$

  Im nächsten Schritt stellst du die Gleichung für die Berechnung des Erwartungswertes auf. Hierbei wird die Zufallsgröße (also der Gewinn) mit Variablen dargestellt, denn diese kennen wir nicht:

  $\text{E(X)}$ $= \dfrac{3}{10} \cdot x_{1}+ \dfrac{2}{10} \cdot x_{2} + \dfrac{5}{10} \cdot x_{3}$

  Das Ganze kannst du jetzt auch in Dezimalzahlen darstellen. Daher rechnest du die Brüche in Dezimalzahlen um. Steht im Nenner eine $10$, verschiebst du das Komma des Zählers einfach um eine Stelle nach links, der Nenner fällt weg. Somit lautet die Formel wie folgt:

  $\text{E(X)}$ $= 0,\!3 \cdot x_{1}+ 0,\!2 \cdot x_{2} + 0,\!5 \cdot x_{3}$

  Nun kommt der interessante Teil: das Herausfinden der Gewinne (also die Variablen) der jeweiligen Farben. Das gelingt dir, indem du den bereits errechneten Erwartungswert nutzt, um rückwärts zu rechnen. Du weißt aus der Aufgabe heraus schließlich bereits Folgendes:

  $\text{E(X)}$ $= \quad \color{#0066FF}{0,\!9} \quad \color{black}{+} \quad \color{#FFCC00}{1} \quad \color{black}{+} \quad \color{#FF3300}{0,\!5} \quad \color{black}{= ~2,\!4}$

  Du schreibst die Rechnungen und die jeweiligen Ergebnisse direkt untereinander:

  $\begin{array}{lllllll} \text{E(X)} & = & \color{#0066FF}{0,\!3 \cdot x_{1}} & + & \color{#FFCC00}{0,\!2 \cdot x_{2}} & + & \color{#FF3300}{0,\!5 \cdot x_{3}} \\ \text{E(X)} & = & \color{#0066FF}{0,\!9} & + & \color{#FFCC00}{1} & + & \color{#FF3300}{0,\!5} & = & 2,\!4 \end{array}$

  Jetzt musst du nur noch überlegen, welche Zahlen für die Variablen eingesetzt werden müssen, um die genannten Teilergebnisse zu erhalten. Du rechnest also rückwärts:

  $\begin{array}{lclcll} 0,\!3 \cdot x_{1} &=& 0,\!9 &\Rightarrow& x_1 = 0,\!9 : 0,\!3 &= \color{#0066FF}{3} \\ 0,\!2 \cdot x_{2} &=& 1 &\Rightarrow& x_2 = 1 : 0,\!2 &= \color{#FFCC00}{5} \\ 0,\!5 \cdot x_{3} &=& 0,\!5 &\Rightarrow& x_3 = 0,\!5 : 0,\!5 &= \color{#FF3300}{1} \end{array}$

  Die Gewinne für die jeweiligen Farben betragen also:

  • blaues Feld: $3\,€$
  • gelbes Feld: $5\,€$
  • rotes Feld: $1\,€$