Anwendungen der Prozentrechnung – Rabatt und Skonto

Anwendungen der Prozentrechnung – Rabatt und Skonto Übung

• Berechne den Bruttobetrag.

  Tipps

  Wie viel Prozent Mwst. muss man bezahlen?

  Wie kannst du die Höhe der Mehrwertsteuer berechnen?

  Verwende die Formel $\frac{W}{G} = \frac{p}{100}$ mit p = 19 und G als Nettobetrag sowie W als Höhe der Mehrwertsteuer.

  Lösung

  Der Bruttobetrag setzt sich aus Nettobetrag und Mwst. zusammen. Dabei beträgt in Deutschland die Mehrwertsteuer p = 19 % des Nettobetrages.

  Mithilfe der Formel $\frac{W}{G} = \frac{p}{100}$ kannst du die Höhe der Mehrwertsteuer W berechnen. Diese hängt immer vom Nettobetrag G ab. Stellst du nun nach W um, so erhältst du: $W = \frac{G \cdot p}{100}$. Dieser Wert wird zum Nettobetrag hinzuaddiert.

  Das sieht dann folgendermaßen aus, wobei $\frac{G \cdot 19}{100}$ zu G $\cdot$ 0,19 vereinfacht ist:

  220 € + 220 € $\cdot$ 0,19 = 261,80 €.

  Die anderen Aufgaben lassen sich analog lösen.

  Wir nennen nun den Bruttobetrag B und können eine allgemeine Formel erstellen, mit der sich leicht der Nettobetrag in einen Bruttobetrag umwandeln lässt. Schauen wir uns die obigen Rechnungen an, so ergibt sich:

  $G + G \cdot 0,19 = B \Leftrightarrow 1,19 \cdot G = B$.

• Berechne die Mehrwertsteuer und den Nettopreis.

  Tipps

  Überlege dir, wie sich der Bruttopreis zusammensetzt.

  Wie hattest du den Bruttobetrag berechnet?

  Kannst du diesen Rechenweg umdrehen?

  Die Formel zur Berechnung des Bruttobetrages lautet:

  $G + G \cdot 0,19 = B$

  $G =$ Nettobetrag / $B =$ Bruttobetrag.

  Lösung

  Hier treffen wir auf ein etwas schwieriger zu berechnendes Problem. Es gilt, den Bruttobetrag in Nettobetrag und Mehrwertsteuer zu zerlegen, was manchmal sehr nützlich sein kann.

  Dafür erinnern wir uns daran, dass Nettobetrag und Mehrwertsteuer zusammen den Bruttobetrag ergeben, also:

  $G + G \cdot 0,19 = B$.

  Betrachten wir diese Formel näher, so sehen wir, dass man diese Formel nach $G$ umstellen kann:

  $1,19 \cdot G = B \Leftrightarrow G = \frac{B}{1,19}$.

  Setzen wir nun konkret ein: $G = \frac{219~€}{1,19} \approx 184,0336 ~€\approx 184,03~€$. Der Nettobetrag beträgt also $184,03~€$. Offenbar ist die Differenz von Brutto- und Nettobetrag die Mehrwertsteuer, aber prüfen wir dies ruhig noch mal:

  $W = \frac{184,03~€ \cdot 19}{100} = 34,97~€$.

  $184,03~€ + 34,97~€ = 219~€$. Wir haben also alles richtig gemacht.

  Der Nettobetrag liegt bei $184,03~€$, die Mehrwertsteuer bei $34,97~€$.

• Ordne dem Bruttobetrag den jeweiligen Nettobetrag zu.

  Tipps

  Überlege dir, welche Schritte du gehst, wenn du vom Nettopreis ausgehend den Bruttopreis berechnest.

  Der Bruttobetrag setzt sich aus G + 0,19 $\cdot$ G zusammen, G = Nettobetrag.

  Lösung

  Manchmal ist es wichtig, den zu zahlenden Bruttobetrag abzüglich der Mehrwertsteuer, also den Nettowert, zu kennen.

  Überlege noch einmal, wie man den Bruttobetrag berechnet: Dafür haben wir die Variablen $G$ für den Nettobetrag verwendet, $p~\%$ für die prozentuale Mehrwertsteuer und $W$ für die Höhe der Mehrwertsteuer. Wir haben die Formel $\frac{W}{G} = \frac{p}{100}$ aufgestellt und sie dann nach $W$ umgestellt: $W = \frac{p \cdot G}{100}$.

  Das sieht eigentlich komplizierter aus als es ist, denn $\frac{p}{100}$ ist nichts anderes als $0,19$, da $p = 19$.

  $W = G \cdot 0,19$ ist also die Höhe der Mehrwertsteuer. Rechnen wir jetzt $G + W$, so erhalten wir den Bruttobetrag $B$. Um jetzt aus dem Bruttobetrag den Nettobetrag zu berechnen, stellen wir die Gleichung einfach um:

  $G + W = B \Leftrightarrow G + 0,19 \cdot G = 1,19 \cdot G = B \Leftrightarrow G = \frac{B}{1,19}$.

  Wir sehen, dass man lediglich den Bruttobetrag durch $1,19$ dividieren muss, um den Nettobetrag zu ermitteln.

  So lassen sich unsere Beträge leicht zuordnen:

  • $\frac{476~€}{1,19} = 400~€$
  • $\frac{357~€}{1,19} = 300~€$
  • $\frac{416,5~€}{1,19} = 350~€$.

• Berechne die richtigen Beträge.

  Tipps

  Der Bruttopreis beträgt in Deutschland 100% (Nettopreis) plus 19% (Mehrwertsteuer).

  Die Schweizer Mehrwertsteuer verhält sich ansonsten ähnlich der deutschen.

  Lösung

  • Um den deutschen Nettobetrag zu berechnen, gilt es, die bekannte Formel zu verwenden:

  $G = \frac{499,80~€}{1,19} = 420~€$. Die Mehrwertsteuer beträgt also 79,80 €.

  • Ausgehend vom deutschen Nettobetrag addiert man hierauf 8 % Schweizer Mehrwertsteuer, also:

  $420~€ \cdot 0,08 = 33,6~€$. Der Schweizer Bruttobetrag liegt also bei 453,60 €.

  • Um den Schweizer Nettobetrag zu ermitteln, wird Folgendes berechnet:

  $\frac{499,80~€}{1,08} = 462,\overline{7}~€$. Entsprechend gerundet ergibt das 462,78 €.

• Prüfe die Aussagen zu den gelernten Begriffen auf ihre Richtigkeit.

  Tipps

  Mit 3 % Skonto muss man 3 % weniger zahlen.

  Lösung

  Der Bruttobetrag ist die Summe aus Nettobetrag und Mehrwertsteuer. Diese beträgt in Deutschland 19 % auf den Nettobetrag, in der Schweiz zum Beispiel aber nur 8 %.

  Bei einem Rabatt handelt es sich um einen allgemeinen Preisnachlass. Ein Skonto ist eine besondere Art von Preisnachlass. Hier wird der Käufer für eine Barbezahlung oder die Bezahlung innerhalb einer bestimmten Frist mit einem reduzierten Preis belohnt.

• Werte die Angebote absteigend nach ihrer Attraktivität aus.

  Tipps

  Ermittle zuerst Brutto- und Nettobetrag.

  Der Nettopreis beinhaltet noch nicht die Mehrwertsteuer.

  Nach gesetzlicher Regelung werden Preisnachlässe auf Nettopreise in der folgenden Reihenfolge berechnet:

  Nettopreis $-$ Rabatt $+$ Mehrwertsteuer

  Lösung

  Der Nettopreis des Wagens beträgt 15000 €. Um die Angebote vergleichen zu können, muss hier unter anderem der Bruttopreis berechnet werden. Dieser beträgt: $15000~€ + 15000~€ \cdot 0,19 = 17850~€$.

  Jetzt können wir die Rabatte auf den Bruttobetrag nachvollziehen.

  1. Das erste Angebot sieht einen Preisnachlass von 12 % auf den Bruttopreis vor, man bezahlt also nur 88 % des ursprünglichen Preises: $17850~€ \cdot 0,88 = \textbf{15708~€}$.
  2. Das zweite Angebot reduziert den Bruttopreis um 3500 €. Man bezahlt also: $17850~€ - 3500~€ = \textbf{14350~€}$.
  3. Beim dritten Angebot wird ein Rabatt von 18 % auf den Nettopreis vorgenommen: $15000~€ \cdot 0,82 = 12300~€$. Zusätzlich muss noch die Mehrwertsteuer hinzugerechnet werden: $12300~€ +12300~€ \cdot 0,19 = \textbf{14637~€}$.
  4. Das vierte Angebot liegt bei 2000 € Preisnachlass auf den Nettopreis, also: $15000~€ - 2000~€ = 13000~€$. Auch hier kommt zusätzlich die Mehrwertsteuer hinzu: $13000~€ +13000~€ \cdot 0,19 = \textbf{15470~€}$.

  Das zweite Angebot mit 3500 € Preisnachlass auf den Bruttobetrag ist also am günstigsten, gefolgt vom dritten und dem vierten. Das ungünstigste ist das erste Angebot.