Ableitungen trigonometrischer Funktionen 3

Hallo. Wir machen die Ableitungen trigonometrischer Funktionen. Und wir können uns jetzt mal zwei Funktionen anschauen für deren Ableitungen wir diese freundliche Quotientenregel brauchen. Wir haben zunächst zwei x geteilt durch Cosinus x. Das ist ein Quotient, deshalb brauchen wir die Quotientenregel. Und dann können wir uns die Ableitung von der Tangens x anschauen. Tangens x ist definiert als Sinus x geteilt durch Cosinus x. Und was wir noch sehen werden, wir brauchen diese Definition des Tangens auch dann, wenn der Tangens in der Aufgabe gar nicht vorkommt. Unsere erste Funktion ist f von x gleich zwei x geteilt durch Cosinus von x. Der Funktionsterm ist ein Quotient und deshalb wenden wir die Quotientenregel an. U und v sind die beiden Funktionen im Zähler und Nenner. Man könnte natürlich auch von x hinschreiben jeweils, aber dann wird das Ganze etwas unübersichtlich. Und deshalb ist also hier die Ableitung notiert von u geteilt durch v mit u Strich mal v minus u mal v Strich geteilt durch v Quadrat. Unser u ist zwei x. Dann erst mal der Bruchstrich. Die Ableitung von zwei x ist zwei mal, muss man hinschreiben, v und das ist Cosinus von x. Dann geht es weiter mit minus u. U ist zwei x mal die Ableitung von Cosinus von x. Diese ist minus Sinus von x. Und das Minuszeichen macht sich hier bemerkbar, weil nämlich aus dem vorderen Minuszeichen dann ein Pluszeichen wird. Geteilt durch v zum Quadrat. V ist bei uns Cosinus von x, also geteilt durch Cosinus Quadrat von x. Wir können diese Funktionsterm jetzt noch etwas umformulieren. Und zwar haben wir hier ja zwei Summanden. Im ersten Summanden können wir Cosinus kürzen und haben dann da stehen zwei geteilt durch Cosinus von x. Und der zweite Summand sieht dann folgendermaßen aus. Wie wir ja wissen ist Tangens von x gleich Sinus von x geteilt durch Cosinus von x. Und deshalb können wir den Tangens von x in den Zähler schreiben. Dann haben wir einmal schon hier diesen Sinus durch Cosinus von x geteilt. Und im Nenner bleibt dann noch der Cosinus von x. Die zweite Funktion ist g von x ist Sinus von x geteilt durch Cosinus von x und das ist gleich dem Tangens von x. Wir sehen, dass wir hier einen Quotienten haben und deshalb können wir die Quotientenregel verwenden. U ist Sinus von x. Dann ist also U Strich gleich Cosinus von x. V ist Cosinus von x, also rechnen wir mal Cosinus von x. Minus Sinus von x einfach hinschreiben. Die Ableitung von Cosinus von x ist minus Sinus von x. Das Minuszeichen bringen wir hier unter. Und da haben wir dann noch den Sinus von x. Der Nenner v ist Cosinus von x. V Quadrat ist dann Cosinus Quadrat von x. Jetzt gibt es ja eine freundliche Formel, die immer wieder eine Rolle spielt. Nämlich der trigonometrische Pythagoras. Den können wir hier auch wieder anwenden. Wir haben hier ja Cosinus zum Quadrat und Sinus zum Quadrat. Wenn das beides addiert wird dann kommt eins heraus. Deshalb können wir diesen Funktionsterm einfach zusammenfassen zu eins durch Cosinus Quadrat von x. So dann haben wir die Ableitungen gefunden. Wir haben die Quotientenregel geübt und ganz nebenbei haben wir noch die Ableitung der Tangensfunktion hergeleitet. Das war gut. Viel Spaß damit. Tschüss.