Ableitung der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus

Trigonometrische Funktionen – Definition

Wiederholen wir erst einmal, was trigonometrische Funktionen sind, bevor wir uns mit deren Ableitungen auseinandersetzen:

In der folgenden Abbildungen siehst du die Funktionsgraphen der Sinusfunktion $\sin(x)$ und der Cosinusfunktion $\cos(x)$:

Die Graphen der beiden trigonometrischen Funktionen $\sin(x)$ und $\cos(x)$ verlaufen sehr ähnlich: Die Werte beider Funktionen liegen zwischen $1$ und $-1$. Beide Funktionen sind sogenannte periodische Funktionen mit der Periode $2\pi$. Die Graphen sind lediglich zueinander verschoben. Die Sinusfunktion startet $x=0$ bei $0$. Die Cosinusfunktion hingegen hat bei $x = 0$ den Wert $1$. Ihr Funktionsgraph ist im Vergleich zu $\sin(x)$ um $\frac{\pi}{2}$ beziehungsweise $90^\circ$ in negativer $x$-Richtung verschoben.

Trigonometrische Funktionen ableiten

Um trigonometrische Funktionen ableiten zu können, schauen wir uns am besten die Steigung der Tangente an verschiedenen Stellen der Funktion an. Das hilft, da die Ableitung einer beliebigen Stelle $x_0$ nichts anderes ist als die Steigung der Tangente im Punkt $(x_0 \vert f(x_0))$.

Ableitung – Sinus

Sehen wir uns nun an, wie der Funktionsgraph der Ableitungsfunktion $\sin^\prime(x)$ des Sinus im Vergleich zu $\sin(x)$ aussieht:

Im Bild sind die Tangenten an den Punkten $(0 \vert 0)$, $(\frac{1}{2}\pi \vert 1)$, $(\pi \vert 0)$, $(\frac{3}{2}\pi \vert -1)$ und $(2\pi \vert 0)$ in blau zu sehen. Die Tangentensteigung ist dabei jeweils mit einem pinken Punkt markiert. Wie wir wissen, entspricht die Tangentensteigung der Ableitung. Wir lesen ab:

• $\sin^\prime(0)=1$
• $\sin^\prime(\frac{1}{2}\pi)=0$
• $\sin^\prime(\pi)=-1$
• $\sin^\prime(\frac{3}{2}\pi)=0$
• $\sin^\prime(2\pi)=1$

Wenn wir den Graphen der Cosinusfunktion skizzieren, fällt auf, dass dies exakt die Funktionswerte des Cosinus sind. Damit erhalten wir:

Die Ableitung des Sinus ist also der Cosinus. Dies gilt für alle reellen Zahlen $x \in \mathbb{R}$, da $\sin(x)$ auf ganz $\mathbb{R}$ stetig differenzierbar ist.

Ableitung – Cosinus

Der Funktionsgraph der Ableitungsfunktion $\cos^\prime(x)$ des Cosinus sieht im Vergleich zu $\cos(x)$ folgendermaßen aus:

Im Bild sind Tangenten an den Punkten $(0 \vert 1)$, $(\frac{1}{2}\pi \vert 0)$, $(\pi \vert -1)$, $(\frac{3}{2}\pi \vert 0)$ und $(2\pi \vert 1)$. Die Tangentensteigung ist dabei jeweils mit einem roten Punkt markiert. Diese entspricht dem Wert der Ableitung. Wir lesen ab:

• $\cos^\prime(0)=0$
• $\cos^\prime(\frac{1}{2}\pi)=-1$
• $\cos^\prime(\pi)=0$
• $\cos^\prime(\frac{3}{2}\pi)=1$
• $\cos^\prime(2\pi)=0$

Alle Punkte liegen auf den Graphen einer an der $x$-Achse gespiegelten Sinusfunktion, da die Werte genau die Gegenzahlen der Funktionswerte des Sinus sind. Damit ergibt sich:

Die Ableitung des Cosinus ist also der Sinus mit umgekehrtem Vorzeichen. Dies gilt für alle reellen Zahlen $x \in \mathbb{R}$, da $\cos(x)$ auf ganz $\mathbb{R}$ stetig differenzierbar ist.

Ableitung – Tangens

Da wir die Ableitungen von Sinus und Cosinus bereits kennen, können wir die Ableitung des Tangens über die Quotientenregel und den Zusammenhang ${\tan(x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ bestimmen:

$\begin{array}{rcll} \bigl(\tan(x)\bigr)^\prime &=& \left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^\prime \\ \\ &=& \dfrac{\cos(x) \cdot \cos(x)- \sin(x) \cdot (-\sin(x))}{\cos^{2}(x)} \\ \\ &=& \dfrac{\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)}{\cos^{2}(x)} & \vert \text{~Zähler zusammenfassen}\\ \\ &=& \dfrac{1}{\cos^{2}(x)} \end{array}$

Alternativ ergibt sich auch:

$\begin{array}{rcll} \bigl(\tan(x)\bigr)^\prime &=& \left(\dfrac{\sin (x)}{\cos (x)}\right)^\prime \\ \\ &=& \dfrac{\cos (x) \cdot \cos (x)- \sin (x) \cdot (-\sin (x))}{\cos^{2}(x)} \\ \\ &=& \dfrac{\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)} & \vert \text{~Bruch aufteilen}\\ \\ &=& 1+\dfrac{\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)} \\ \\ &=&1+\tan^{2}(x) \end{array}$

Trigonometrische Funktionen – Ableitungsregeln

Folgende Ableitungsregeln für die Sinus- und Cosinusfunktion lassen sich somit aufstellen:

Ferner gilt:

Das kannst du dir mit folgendem Kreislauf merken:

Trigonometrische Funktionen ableiten – Beispiele

Um die Ableitung von Funktionen zu bestimmen, die $\sin$ oder $\cos$ beinhalten nutzen wir wir die bekannten Ableitungsregeln: Faktorregel, Summenregel, Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel.

Beispiel 1
Gesucht ist die Ableitung der Funktion $f(x)=-9\sin(x)$:

• Die Ableitung von $\sin(x)$ ist $\cos(x)$.
• Es ergibt sich: $f(x)=-9\sin(x)$ $~\Rightarrow~$ $f^\prime(x)=-9\cos(x)$

Beispiel 2 Wir bilden die Ableitung von $f(x) = \sin(3x^2 -2) - x$:

• Die Ableitung von $-x$ ist $-1$.
• Die Funktion $3x^2 - 2$, die im Sinus steht, hat die Ableitung $6x$.
• $\sin(3x^2 -2)$ ergibt abgeleitet mit der Kettenregel $\cos(3x^2 -2) \cdot 6x$.
• Insgesamt ist damit: $f^\prime(x) = 6x\cos(3x^2 - 2) -1$

Die folgenden Funktionen kannst du als Übung selbst ableiten:

Trigonometrische Funktionen ableiten – Anwendung: Schwingungen

Trigonometrische Funktionen finden vor allem in der Physik Anwendung. Mit ihnen lassen sich harmonische Schwingungen beschreiben. Mithilfe der Ableitungen der Funktionen können Geschwindigkeit und auch Beschleunigung der Schwingungen berechnet werden.

Ausblick – das lernst du nach Ableitung der trigonometrischen Funktionen

Tauche noch tiefer ein in die trigonometrischen Funktionen und erforsche auch die Arkusfunktionen und deren Ableitungen.
Mit den Videos zur Ableitung der Umkehrfunktionen und der Hyperbelfunktionen kannst du deine Kenntnisse noch erweitern. Mach’ dich bereit, die faszinierende Welt der Trigonometrie weiter zu entdecken!

Häufig gestellte Fragen zum Thema Ableitung der trigonometrischen Funktionen