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Ableitung der Flächeninhaltsfunktion 07:07 min

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Transkript Ableitung der Flächeninhaltsfunktion

Hallo, ich bin Aline. Und in diesem Video werden wir uns mit der Ableitung der Flächeninhaltsfunktion beschäftigen. Doch bevor wir dies tun, schauen wir uns noch einmal an, was die Flächeninhaltsfunktion überhaupt ist und wie sie bei linearen Funktionen und bei Normalparabeln gebildet wird. Danach werden wir uns mit der Ableitung der Flächeninhaltsfunktion beschäftigen und den Zusammenhang zur Ausgangsfunktion herstellen. Wir nutzen die Flächeninhaltsfunktion, um den Flächeninhalt der Fläche, die von Graph und x-Achse im Intervall von 0 bis x eingeschlossen wird bestimmen zu können. Wir wissen bereits, dass sich die Flächeninhaltsfunktion für lineare Funktionen anders berechnet, als bei Parabeln. Bei linearen Funktionen, die durch den Ursprung gehen, kannst du diese Fläche mit Hilfe der Formel zur Flächenberechnung von Dreiecken berechnen. Nämlich mit ein halb mal Grundseite mal Höhe 1/2×g×hg. Also A0(x) = 1/2x × f(x). Geht die Funktion nicht durch den Ursprung, müssen wir die Fläche, die von Graph und x-Achse im Intervall 0 und X eingeschlossen wird, in zwei Teilflächen zerlegen. Wie hier am Beispiel der Funktion g(x) = 1/2x + 2 zu sehen. Die Fläche des unteren Teils wird oben durch die konstante Funktion h(x) = 2 begrenzt. Sie ergibt sich aus der Flächenberechnung eines Rechtecks durch Breite mal Höhe. Die Breit wird durch den x-Wert, hier 4, bestimmt. Und die Höhe entspricht h(x), hier 2. Die Dreiecksfläche können wir um zwei nach unten schieben. Denn so wird die Fläche unten durch die x-Achse begrenzt. Durch das verschieben ändert sich am Flächeninhalt des Dreiecks nichts. Die Fläche wird oben durch die Funktion i(x) = g(x) – 2, also i(x) = 1/2x begrenzt. Dieser Funktionsgraph geht durch den Ursprung und insofern berechnet sich die Fläche des verschobenen Dreiecks wieder über die uns bereits bekannte Flächeninhaltsfunktion 1/2 x × i(x). Die Fläche des Rechtecks beträgt allgemein 2×x. Für x = 4 sind das dann acht Flächeneinheiten. Die Fläche des Dreiecks allgemein beträgt 1/2x × 1/2x = 1/4x2. Für x = 4 sind das dann 4 Flächeneinheiten. Der gesamte Flächeninhalt, der von der Funktion g(x) und der x-Achse im Intervall von 0 bis x begrenzt wird, ergibt sich nun aus der Summer der Flächeninhalte der Teilflächen. Allgemein ist Ages = 1/4x2 + 2x. Für x = 4 ergibt dies einen Flächeninhalt von 12 Flächeneinheiten. Den Flächeninhalt der Fläche, die von einer Normalparabel der Form a(x) = x2 und x-Achse im Intervall von 0 bis x eingeschlossen wird, können wir mit Hilfe der archimedischen Streifenmethode bestimmen. Hierbei wird die Fläche in unendlich viele Rechtecke geteilt. Mit der Summe aller Rechtecksflächen kann man den Flächeninhalt näherungsweise bestimmen. Als Grenzwert für diese Näherung bei Normalparabeln ergibt sich dann A00(x) = 1/3 x×a(x), also in diesem Fall 1/3x3. Schauen wir uns unsere Beispiele aus der Wiederholung noch einmal in einer Tabelle an. Wenn wir nun zu jeder Flächeninhaltsfunktion die Ableitungsfunktion bilden, stellen wir etwas erstaunliches fest. Die Ableitung der Flächeninhaltsfunktion entspricht genau der Randfunktion. Wir können also folgendes festhalten: A0‘(x) = f(x). Dass dieser Zusammenhang für alle Funktionen gilt, werden wir nun nachweisen. Wenn wir die Flächeninhaltsfunktion einer beliebigen Kurve ableiten, könne wir dies mit Hilfe des Differentialquotienten tun. A0‘(x) = lim h → 0 (A0(x+h) – A0(x))/h. Die Funktion besitzt in dem Bereich x bis x + h sowohl ein lokales Maximum, als auch ein lokales Minimum. Im Ausnahmefall einer konstanten Funktion ist das Minimum gleich dem Maximum. Die Größe des Flächeninhalts liegt zwischen dem Flächeninhalt mit minimaler und dem mit maximaler Höhe. Wir können also festhalten: h×min ist kleiner gleich A0(x+h) – A0(x) ist kleiner gleich h×max. Wenn wir den Term durch h teilen, ergibt sich folgender Ausdruck: min ist kleiner gleich (A0(x+h) – A0(x))/h ist kleiner gleich max. Lassen wir nun h gegen 0 laufen, entspricht der mittlere Ausdruck der Ableitung der Flächenfunktion. Das Minimum und das Maximum wiederum nähern sich mehr und mehr aneinander an, sodass sich beide an f(x) annähern. Daraus ergibt sich A0‘(x) = f(x). Wir haben also bewiesen, dass die Ableitung der Flächeninhaltsfunktion immer genau der Randfunktion entspricht. Wir können uns merken: f sei eine nicht negative differenzierbare Funktion und A0 die Flächeninhaltsfunktion von f zur unteren Grenze 0. Dann gilt: A0‘(x) = f(x), sowie A0(0) = 0. Wenn wir nun aus der Flächeninhaltsfunktion die Randfunktion bestimmten wollen, können wir dies ganz einfach tun, indem wir die Flächeninhaltsfunktion differenzieren. Ist die Flächeninhaltsfunktion A0(x) = 2x2 gegeben, dann ergibt sich für die Randfunktion o(x) = 4x. Gleiches gilt für A0(x) = 3x5 + 4x3 + x2. Zu dieser Funktion gehört die Randfunktion p(x) = 15x4 + 12x2 + 2x. Wir haben in diesem Video nachgewiesen, dass die Ableitung der Flächeninhaltsfunktion immer der Randfunktion entspricht. Somit können wir durch differenzieren beliebiger Flächeninhaltsfunktionen auf deren Randfunktion schließen. Und andersherum durch etwas überlegen auch mit Hilfe der Randfunktion die Flächeninhaltsfunktion für beliebige Funktionen bestimmen. Tschüss und bis bald.

Ableitung der Flächeninhaltsfunktion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ableitung der Flächeninhaltsfunktion kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, was eine Flächeninhaltsfunktion ist.

    Tipps

    Wenn du die Flächeninhaltsfunktion ableitest, erhältst du wieder die Randfunktion.

    Die Flächeninhaltsfunktion zu $f(x)=x$ ist $A_0(x)=\frac12^2$.

    Es ist $AS_0(x)=\frac16x^2+2x$ die Flächeninhaltsfunktion für die Fläche unter der Randfunktion $f(x)=\frac13x+2$.

    $A_0(4)$ ist der Inhalt der roten Fläche.

    Lösung

    Die Flächeninhaltsfunktion wird benötigt, wenn man bei einer positiven Funktion den Inhalt der Fläche berechnen möchte, die von dem Graphen der Funktion sowie der x-Achse auf einem Intervall $I=[0;x]$ eingeschlossen wird.

    Hier ist der Graph einer linearen Funktion zu sehen sowie der Flächeninhalt, den die Gerade mit der x-Achse über dem Intervall $I=[0;4]$ einschließt.

    Das bedeutet, dass man zu einer gegebenen Funktion - der sogenannten Randfunktion - die zugehörige Flächeninhaltsfunktion berechnen muss.

    Beachte, dass stets $A_0'(x)=f(x)$ gilt.

  • Gib den Zusammenhang zwischen der Flächeninhaltsfunktion und der Randfunktion an.

    Tipps

    Hier siehst du einige Beispiele für Flächeninhaltsfunktionen.

    Beachte, dass der Grad der Flächeninhaltsfunktion immer um $1$ größer ist als der der Randfunktion.

    Nach der Potenzregel der Differentiation

    $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$

    gilt, dass beim Ableiten der Grad einer ganzrationalen Funktion immer um $1$ kleiner wird.

    Lösung

    Hier ist eine Tabelle einiger Randfunktionen und der zugehörigen Flächeninhaltsfunktionen zu sehen.

    Dabei fällt auf, dass jedes Mal die Ableitung der Flächeninhaltsfunktion gerade die Randfunktion ist. Dies ist sicher kein Beweis.

    Man kann jedoch auch allgemein nachweisen, dass $A_0'(x)=f(x)$ immer gilt.

  • Bestimme jeweils die Flächeninhaltsfunktion.

    Tipps

    Bei linearen Funktionen $f(x)=ax$ gilt

    $A_0(x)=\frac12\cdot x\cdot f(x)$.

    Für konstante Randfunktionen $f(x)=c$ gilt

    $A_0(x)=cx$.

    Leite doch mal $\frac13x^3$ ab. Was fällt dir auf?

    Lösung

    Wenn die Randfunktion $f(x)$ eine konstante Funktion ist, dann ist $A_0(x)$ die Flächeninhaltsfunktion: Für die Randfunktion $f(x)=2$ lautet die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=x\cdot f(x)=2x$.

    Sei die Randfunktion eine lineare Funktion $f(x)=ax$, dann gilt $A_0(x)=\frac12\cdot x\cdot f(x)$. Für $f(x)=\frac12x$ gilt also $A_0(x)=\frac12\cdot x\cdot \frac12\cdot x=\frac14x^2$.

    Die Flächeninhaltsfunktion von einer Summen- oder Differenzfunktion ist die Summe oder Differenz der Flächeninhaltsfunktionen der einzelnen Funktionen. Das bedeutet für $f(x)=\frac12x+2$, dass wir folgende Flächeninhaltsfunktion erhalten:

    $A_0(x)=\frac14x^2+2x$.

    Bei quadratischen Funktionen $f(x)=x^2$ gilt $A_0(x)=\frac13\cdot x\cdot f(x)=\frac13x^3$.

    Wenn man sich die obigen Flächeninhaltsfunktionen anschaut, kann man feststellen, dass für alle gilt:

    $A_0'(x)=f(x)$.

  • Berechne den Flächeninhalt zu der jeweiligen Funktion.

    Tipps

    Bestimme jeweils zunächst die zugehörige Flächeninhaltsfunktion.

    Zum Beispiel ist zu $f(x)$ die Flächeninhaltsfunktion

    $A_0(x)=\frac13x^3+3x$.

    Da jeweils der Flächeninhalt über dem Intervall $I=[0;a]$ berechnet werden soll, musst du jeweils $x=a$ in der Flächeninhaltsfunktion einsetzen.

    Drei Ergebnisse sind ganzzahlig. Ein Ergebnis ist eine Dezimalzahl mit erster und einziger Nachkommastelle $5$.

    Lösung

    Eine Flächeninhaltsfunktion dient dazu, einen Flächeninhalt zu berechnen. Dies lässt ja bereits der Name vermuten.

    Nachdem wir nun mehrfach geübt haben, wie eine Flächeninhaltsfunktion bestimmt werden kann, kommen wir nun zu der eigentlichen Anwendung dieser Funktion: der Flächenberechnung.

    Hierfür wird jeweils zunächst die Flächeninhaltsfunktion bestimmt:

    • $f(x)=x^2+3$ hat die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac13x^3+3x$. Soll nun der Flächeninhalt über dem Intervall $I=[0;3]$ berechnet werden, wird $x=3$ in die Flächeninhaltsfunktion eingesetzt: $A_0(3)=\frac13 3^3+3\cdot 3=9+9=18$ [FE].
    • $g(x)=2x+2$ hat die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=x^2+2x$. Diesmal soll der Flächeninhalt über dem Intervall $I=[0;2]$ berechnet werden: $A_0(2)=2^2+2\cdot 2=4+4=8$ [FE].
    • $h(x)=\frac12x+4$ hat die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac14x^2+4x$. Nun wird der Flächeninhalt über dem Intervall $I=[0;2]$ berechnet. Es wird $x=2$ in die Flächeninhaltsfunktion eingesetzt: $A_0(2)=\frac14 2^2+4\cdot 2=1+8=9$ [FE].
    • $k(x)=\frac15x+5$ hat die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac1{10}x^2+5x$. Es wird der Flächeninhalt über dem Intervall $I=[0;5]$ berechnet. Es wird $x=5$ in die Flächeninhaltsfunktion eingesetzt: $A_0(5)=\frac1{10} 5^2+5\cdot 5=2,5+25=27,5$ [FE].
  • Ermittle zu den gegebenen Randfunktionen die zugehörige Flächeninhaltsfunktion.

    Tipps

    Zu $f(x)=c$ lautet die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=cx$.

    Zu $f(x)=ax$ lautet die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac{a}2 x^2$.

    Zu $f(x)=x^2$ lautet die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac13x^3$.

    Sei $f(x)=g(x)\pm h(x)$, dann ist durch

    $A_0(x)=A_0^g(x)\pm A_0^h(x)$

    die Flächeninhaltsfunktion zu $f(x)$ gegeben, wobei

    • $A_0^g(x)$ die Flächeninhaltsfunktion zu $g(x)$ und
    • $A_0^h(x)$ die Flächeninhaltsfunktion zu $h(x)$ ist.
    Die merkwürdige Schreibweise mit dem höher gestellten $g$ bzw. $h$ kennzeichnet die einzelnen Flächeninhaltsfunktionen, aus denen $A_0(x)$ zusammensetzt.

    Lösung

    Im Folgenden verwenden wir die Eigenschaften von Funktionen, dass

    • zu konstanten Funktionen $c$ die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=cx$,
    • zu linearen Funktionen $ax$ die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac a2x^2$,
    • zu quadratischen Funktionen $x^2$ die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac13x^3$
    gehört.

    Darüber hinaus gilt, dass die Flächeninhaltsfunktion einer Funktion, die sich aus einer Summe oder Differenz zusammensetzt, die Summe oder Differenz der entsprechenden Flächeninhaltsfunktionen ist. Kurz: Wir können die Herleitung der Flächeninhaltsfunktion Schritt für Schritt durchführen, also für jeden Summanden einzeln.

    Somit gilt:

    • Zu $3x-2$ gehört die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac32x^2-2x$,
    • zu $4x+3$ ist $A_0(x)=\frac42x^2+3x=2x^2+3x$,
    • zu $x^2+x$ ist $A_0(x)=\frac13x^3+\frac12x^2$ und
    • zu $2x^2-x$ ist $A_0(x)=\frac23x^3-\frac12x^2$.
  • Prüfe die folgenden Aussagen zu Flächeninhaltsfunktionen.

    Tipps

    Du kannst jede der Aussagen überprüfen, indem du die Flächeninhaltsfunktion ableitest.

    Verwende die Potenzregel. Diese kannst du hier in der Abbildung sehen.

    Verwende die Faktorregel, welche hier abgebildet ist.

    Verwende auch die Summenregel, deren mathematische Bedeutung hier zu sehen ist.

    Lösung

    Es gelten die folgenden Ableitungsregeln:

    • Potenzregel: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$
    • Faktorregel: $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$
    • Summenregel: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$
    Die jeweilige Umkehrung liefert die entsprechende Regel zur Bestimmung von Flächeninhaltsfunktionen. Diese können durch Ableiten nachgewiesen werden:

    • Mit $A_0(x)=\frac1{n+1}x^{n+1}$ erhält man $A_0'(x)=\frac1{n+1}\cdot (n+1)\cdot x^n=x^n$ ✓
    • Sei $A_0(x)=k\cdot A_0^g(x)$, dann ist $A_0'(x)=(k\cdot A_0^g(x))'$. Da $A_0^g(x)$ Flächeninhaltsfunktion von $g(x)$ ist, ist $(A_0^g)'(x)=g(x)$. Damit ist $A_0'(x)=k\cdot g(x)=f(x)$ ✓
    • Zuletzt betrachten wir $A_0(x)=A_0^g(x)\pm A_0^h(x)$. Ableiten führt zu $A_0'(x)=g(x)\pm h(x)=f(x)$ ✓