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Lineare Ungleichungen – Textaufgaben

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Mathe-Team
Lineare Ungleichungen – Textaufgaben
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Lineare Ungleichungen – Textaufgaben Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Ungleichungen – Textaufgaben kannst du es wiederholen und üben.
  • Tipps

    Du solltest gedanklich alle Zahlen mit $x$ auf die eine Seite und alle ohne auf die andere Seite der Ungleichung bringen.

    Dann solltest du beide Seiten der Ungleichung durch die Zahl vor dem $x$ teilen.

    Lösung

    Wir wissen: Lena und Sabine sind zusammen älter als Patrick. Patrick ist sechsmal so alt wie Lena, Sabine ist $26$ Jahre älter als Lena.

    Wenn $x$ Lenas Alter ist, dann ist $6x$ Patricks Alter und $26+x$ Sabines Alter. Daraus folgt, dass:

    $2x + 26 > 6x$

    Jetzt kannst du $2x$ auf beiden Seiten abziehen und erhältst:

    $26 > 4x$

    Nun musst du nur noch durch die Zahl vor dem $x$ teilen, also durch $4$. Es folgt:

    $x<6,5$

    Die Lösungsmenge ist daher:

    $L=\{x|x<6,5\}$

    Die anschließende Probe mit beispielsweise $x=6$ bestätigt die Richtigkeit deiner Rechnung:

    $12 +26 = 38> 36$

  • Tipps

    Du solltest alle Zahlen mit $x$ auf die eine Seite und alle ohne auf die andere Seite der Ungleichung bringen.

    Dann solltest du beide Seiten der Ungleichung durch die Zahl vor dem $x$ teilen.

    Mit einer Probe kannst du überprüfen, ob du richtig gerechnet hast.

    Lösung

    Wie bei Gleichungen kannst du auch bei Ungleichungen das x auf eine Seite und die Zahl auf die andere Seite bringen. Zunächst solltest du die 15 auf die rechte Seite bringen, indem du $-15$ rechnest:

    $0,2x + 15 \leq 20 \quad \Leftrightarrow \quad 0,2x \leq 5$

    Dann teilst du auf beiden Seiten durch 0,2 und erhältst:

    $0,2x \leq 5 \quad \Leftrightarrow \quad x \leq 25$

    Zur Probe setzt du $x=25$ in die Ungleichung ein und das ergibt

    $0,2 \cdot 25 +15 = 20\leq 20$.

    Damit hast du richtig umgeformt.

    Analog geht das für die anderen Ungleichungen:

    $\begin{align} && 5x -7 &> 3x + 1 5&|& -3x ~ |+7 \\ &\Leftrightarrow& 2x &> 22 &|& : 2 \\ &\Leftrightarrow& x&> 11 \end{align}$

    Für eine Probe setzt du $x=12$ ein und erhältst

    $5 \cdot 12 - 7 = 53 > 51 = 3 \cdot 12 + 15$,

    was richtig ist.

    $\begin{align} && 2x+26 &> 6x &|& -2x \\ &\Leftrightarrow& 26 &> 4x &|& :4 \\ &\Leftrightarrow& x&< 6,5 \end{align}$

    Für eine Probe setzt du $x=6$ ein und erhältst

    $2 \cdot 6 +26 = 38 > 36 = 6 \cdot 6$,

    was richtig ist.

  • Tipps

    Bringe alle Zahlen mit $x$ auf die eine Seite der Ungleichung und die Zahlen ohne $x$ auf die andere Seite. Damit kommst du auf Ungleichungen der Form $ax<b$ bzw. $ax>b$.

    Teile dann durch die Zahl vor dem $x$:

    $x<\frac{b}{a}$ bzw. $x>\frac{b}{a}$

    Lösung

    Um die Ungleichung umzuformen, bringst du zuerst alle Zahlen mit $x$ auf die eine Seite der Ungleichung und die Zahlen ohne auf die andere Seite der Ungleichung:

    $3x - 4 < 5x + 6 \quad \Leftrightarrow \quad -10<2x$

    Dann teilst du durch die $2$ vor dem $x$:

    $-10 < 2x \quad \Leftrightarrow \quad -5<x$

    Die Lösungsmenge stellst du dann so dar:

    $L=\{x|x>-5\}$

    Bei den nächsten Ungleichungen geht es dann analog weiter:

    $\begin{align} && 1,5x - 3&<0,5x+2 & |~-0,5x ~|~ +3 \\ &\Leftrightarrow& x&<5 \\ &\Rightarrow& L&=\{ x|x<5\} \end{align}$

    Analog geht es auch mit der nächsten Ungleichung weiter:

    $\begin{align} && 7x - 26 &< 5x + 3 &|& -5x~| +26 \\ &\Leftrightarrow& 2x&<29 &|& :2 \\ &\Leftrightarrow& x&<14,5 \\ &\Rightarrow& L&=\{ x|x<14,5\} \end{align}$

    Bei der letzten Ungleichung rechnest du dann analog:

    $\begin{align} && 2x-5,5&<8,5 -2x &|& +2x~| +5,5 \\ &\Leftrightarrow& 4x&<14 &|& :4 \\ &\Leftrightarrow& x&<3,5 \\ &\Rightarrow& L&=\{x|x<3,5\} \end{align}$

  • Tipps

    Charlottes drei Freundinnen essen genau doppelt so viele Kugeln wie Charlotte, d.h. zweimal so viele wie Charlotte.

    Du solltest daran denken, dass von den $16~€$ auch noch die Kugeln für Charlottes Mutter abgezogen werden müssen.

    Lösung

    Wenn $x$ die Anzahl an Kugeln ist, die Charlotte isst, dann ist $2x$ die Anzahl an Kugeln, die Charlottes Freundinnen essen, weil sie zusammen genau doppelt so viele essen wollten wie Charlotte. Außerdem werden noch $1,6$ von der Obergrenze $16$ abgezogen. Daraus folgt, dass:

    $0,8(x+2x) \leq 16 - 1,6$

    Jetzt kannst du auf beiden Seiten die Terme zusammenfassen und du erhältst:

    $2,4x \leq 14,4$

    Nun musst du nur noch durch die Zahl vor dem $x$ teilen, also durch 2,4; dann folgt:

    $x \leq 6$

    Die Lösungsmenge ist daher:

    $L=\{x|x\leq 6\}$

    Für die Probe setzt du $x= 6$ ein und das ergibt:

    $0,8 \cdot (6+ 2 \cdot 6) = 14,4 \leq 14,4 = 16 - 1,6$

    Damit hast du die Ungleichung richtig umgeformt.

  • Tipps

    Lege $x$ als die Anzahl der SMS fest und schreibe alle Beträge in Euro um.

    Die Kosten für die SMS berechnest du folgendermaßen:

    Preis pro SMS (in Euro) $\cdot$ Anzahl der SMS

    Wie viel ist die Hälfte ihres Taschengeldes?

    Das Gegenteil von „höchstens“ ist „mehr“ und bei „mehr“ verwendest du das Relationszeichen $>$.

    Lösung

    $0,2~€$ ist der Preis pro SMS. Die Kosten für die SMS berechnest du folgendermaßen:

    Preis pro SMS (in Euro) $\cdot$ Anzahl der SMS

    Damit ist $0,2\cdot x$ der Preis für $x$ SMS.

    Dazu kommt noch der Preis für die Flatrate. Zusammen sollte das kleiner oder gleich $20$ sein, da sie höchstens die Hälfte von ihren $40~€$ Taschengeld für das Handy ausgeben möchte.

    Damit erhältst du die Ungleichung:

    $0,2\cdot x + 15 \leq 20$.

  • Tipps

    Vorher ist sie einen Kilometer mit dem Rad gefahren, wofür sie $x$ Minuten benötigt hat, und zusätzlich noch $40~min$ mit dem Bus.

    Wie viele Minuten benötigt sie für $8~km$ per Fahrrad, wenn sie $x$ Minuten braucht, um einen Kilometer mit dem Rad zurückzulegen?

    In deiner Rechnung erhältst du zwischenzeitlich auf $40-7x\leq 5$.

    Achtung: Multiplizierst oder dividierst du auf beiden Seiten mit einer negativen Zahl, so dreht sich das Relationszeichen um. Aus $\geq$ wird beispielsweise $\leq$ und umgekehrt.

    Lösung

    Sei $x$ die Zeit in Minuten, die Susanne mit dem Fahrrad benötigt, um einen Kilometer mit dem Fahrrad zurückzulegen. Vorher ist sie einen Kilometer mit dem Rad gefahren, wofür sie $x$ Minuten benötigt hat, und zusätzlich noch $40~min$ mit dem Bus. Sie benötigt dafür eine Zeit von $t_{alt}=x+40$ Minuten.

    Wenn sie $x$ Minuten braucht, um einen Kilometer mit dem Rad zurückzulegen, dann benötigt sie $8x$ Minuten für $8~km$. Es dauert also $t_{neu}=8x$ Minuten über Abkürzungshausen zur Schule mit dem Fahrrad.

    Da sie mindestens $5~min$ schneller sein soll, wenn sie nur mit dem Fahrrad fährt, ist die Zeitdifferenz $t_{alt}-t_{neu}$ größer gleich $5$.

    Setzen wir die Werte in $t_{alt}-t_{neu}\geq 5$ ein, so müssen wir die folgende Ungleichung lösen:

    $40+x-8x\geq 5$.

    Wir fassen auf der linken Seite zusammen und ziehen auf beiden $40$ ab. Wir erhalten:

    $-7x\geq -35$.

    Wenn wir auf beiden Seiten durch $-7$ dividieren, dann dreht sich das Relationszeichen um und wir erhalten

    $x\leq 5$.

    Die Lösungsmenge sieht also folgendermaßen aus:

    $L=\{x|x<5\}$.

    Mit einer Probe kontrollierst du noch dein Ergebnis. Susanne darf mit ihrem Fahrrad also höchstens $5~min$ für $1~km$ benötigen.

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