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Erwartungswert - Definition – Übungen

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Der Erwartungswert ist nicht - wie der Name vielleicht vermuten lässt - das, was man von einem Zufallsversuch erwarten kann.
Wenn wir einen Zufallsversuch ohne Zufallsgröße betrachten, erhalten wir den Erwartungswert, indem wir die Ergebnisse des Zufallsversuchs mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten multiplizieren und alle diese Produkte addieren.
Haben wir eine Zufallsgröße zur Verfügung, multiplizieren wir die Werte der Zufallsgröße mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten und addieren alle diese Produkte, um den Erwartungswert zu erhalten.
Führen wir einen Zufallsversuch mehrfach durch, können wir das arithmetische Mittel der erzielten Ergebnisse bilden. Dieses können wir fast genauso berechnen, wie wir den Erwartungswert berechnen, nur mit dem Unterschied, dass wir nicht mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten, sondern mit den zugehörigen relativen Häufigkeiten multiplizieren.

Tatsächlich gibt es einen Zusammenhang zwischen arithmetischem Mittel und Erwartungswert:
Stellen wir uns vor, wir führen einen Zufallsversuch immer wieder durch und bilden nach jeder Durchführung das arithmetische Mittel der bisher erzielten Ergebnisse. Dann gilt:
Die Wahrscheinlichkeit, dass das arithmetische Mittel um einen bestimmten Betrag vom Erwartungswert abweicht, nimmt mit zunehmender Versuchswiederholung ab.
Es ist zwar gut möglich, dass nach vielen Versuchen das arithmetische Mittel in der "Nähe" des Erwartungswertes liegt, das heißt aber nicht, dass der Erwartungswert angibt, was auf "lange Sicht" bei einem Zufallsversuch herauskommt.

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Aufgaben in dieser Übung
Definiere den Erwartungswert einer Zufallsgröße.
Beschrifte die Formel für den Erwartungswert.
Berechne den Erwartungswert der Zufallsgröße.
Ermittle zu jedem Zufallsversuch den Erwartungswert.
Beschreibe den Zusammenhang zwischen dem arithmetischen Mittel und dem Erwartungswert.
Ermittle, bei welcher Auszahlung das Spiel fair ist.