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Uneigentliche Integrale

Bei der bestimmten Integration sind die Integrationsgrenzen fest. Was passiert, wenn Flächenstücke nach links oder rechts bzw. oben oder unten unbeschränkt sind?

Was ist ein uneigentliches Integral?

Du hast bereits bestimmte Integrale kennengelernt: $\int\limits_a^b~f(x)~dx$. Diese kannst du mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung berechnen. Dabei ist das Intervall $I=[a;b]$ abgeschlossen.

Wenn bei einem solchen Integral

  • entweder die obere Integrationsgrenze $\infty$ und / oder die untere $-\infty$ ist
  • oder die Funktion an einer der Integrationsgrenzen nicht definiert ist,

kommt man zu einem uneigentlichen Integral.

Hier siehst du einige Beispiele für uneigentliche Integrale:

  • $\int\limits_{-\infty}^{-1}~\frac1{x^2}~dx$: In diesem Fall ist die untere Integrationsgrenze $-\infty$.
  • $\int\limits_0^{\infty}~\left(x\cdot e^{-x}\right)~dx$: In diesem Fall ist die obere Integrationsgrenze $\infty$.
  • $\int\limits_0^1~\frac{1}{\sqrt{x}}~dx$: In diesem Fall ist die zu integrierende Funktion an der unteren Grenze nicht definiert.

Im Folgenden lernst du, wie du uneigentliche Integrale berechnen kannst. Das Vorgehen ist dabei jedes Mal gleich.

  • Du ersetzt die Integrationsgrenze $\pm \infty$ beziehungsweise die, an welcher die Funktion nicht definiert ist, durch eine variable Grenze.
  • Du erhältst so einen Flächeninhalt, welcher von dieser variablen Grenze abhängt.
  • Zuletzt bildest du den Grenzwert entsprechend der Grenze, welche substituiert wurde.

Beispiel 1: $\int\limits_{-\infty}^{-1}~\frac1{x^2}~dx$

In diesem Beispiel liegt eine nach links ins Unendliche reichende Fläche vor. Ersetze die untere Grenze durch $u\lt -1$:

$A(u)=\int\limits_{u}^{-1}~\frac1{x^2}~dx=\left[-\frac1x\right]_u^{-1}=1+\frac1u$

Nun kannst du den folgenden Grenzwert berechnen: $\lim\limits_{u\to -\infty}A(u)=1$. Das bedeutet, dass die nach links ins Unendliche reichende Fläche den Inhalt $1$ hat.

Gesamt gilt also für das uneigentliche Integral: $\int\limits_{-\infty}^{-1}~\frac1{x^2}~dx=1$

Beispiel 2: $\int\limits_0^{\infty}~\left(x\cdot e^{-x}\right)~dx$

Hier siehst du den Funktionsgraphen der Funktion $f$ mit $f(x)=x\cdot e^{-x}$.

x•e__-x_.jpg

Du siehst, dass der Funktionsgraph sich für $x\to\infty$ an die $x$-Achse anschmiegt. Bedeutet dies für die nach rechts ins Unendliche reichende Fläche, dass diese endlich ist?

Die rechte Grenze wird durch $u\gt 0$ substituiert: $\int\limits_0^{u}~\left(x\cdot e^{-x}\right)~dx$. Was dies anschaulich bedeutet, siehst du hier:

x•e__-x__Fläche.gif

Nun berechnen wir $A(u)$:

$A(u)=\int\limits_0^{u}~\left(x\cdot e^{-x}\right)~dx=\left[(-x-1)\cdot e^{-x}\right]_0^u=(-u-1)\cdot e^{-u}+1$

Wieder berechnest du den Grenzwert $\lim\limits_{u\to\infty}A(u)=1$.

Somit ist $\int\limits_0^{\infty}~\left(x\cdot e^{-x}\right)~dx=1$.

Beispiel 3: $\int\limits_0^1~\frac{1}{\sqrt{x}}~dx$

Zuletzt betrachten wir noch ein Flächenstück, welches nach oben unbegrenzt ist.

Ersetze die untere Grenze durch $u$: $\int\limits_u^1~\frac{1}{\sqrt{x}}~dx$.

$A(u)=\int\limits_u^1~\frac1{\sqrt x}~dx=\left[2\cdot \sqrt x\right]_u^1=2-2\sqrt u$

Dieses Mal betrachten wir den Grenzwert $\lim\limits_{u\to 0}A(u)=2$.

Es gilt damit $\int\limits_0^1~\frac{1}{\sqrt{x}}~dx=2$.

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