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Flächeninhaltsfunktion

Die Flächeninhaltsfunktion dient der Flächenberechnung. Die Fortführung der Flächeninhaltsfunktion ist das unbestimmte Integral zur Flächenberechnung.

Was ist eine Flächeninhaltsfunktion?

Die Flächeninhaltsfunktion dient dazu, den Flächeninhalt einer Fläche zu berechnen, die von einem Graphen eingeschlossen wird.

1064_Flächeninhaltsfunktion.jpg

Der Funktionsgraph $G_f$ der Funktion $f$ schließt mit der $x$-Achse ein Flächenstück ein. Die Funktion $f$ wird dabei als Randfunktion bezeichnet. Das betrachtete Intervall ist $[0;b]$. Das eingeschlossene Flächenstück bezeichnet man als $A_{0}(b)$. Dabei ist $A_{0}$ die Flächeninhaltsfunktion.

Es gibt jedoch Einschränkungen:

  • Die Flächeninhaltsfunktion $A_{0}$ ist nur definiert für Argumente $x\ge 0$.
  • Die Randfunktion $f$ muss auf dem betrachteten Intervall $[0;b]$ komplett oberhalb der $x$-Achse liegen. Es muss also gelten $f(x)\ge 0$ für alle $x\in[0;b]$.

Die Flächeninhaltsfunktion bei einer linearen Randfunktion

Zunächst schauen wir uns an, wie der Flächeninhalt unter einer linearen Funktion bestimmt werden kann. Hierfür sei die Randfunktion $f$ mit $f(x)=x+2$ gegeben. Deren Funktionsgraph siehst du hier:

1064_FIF_x_2.jpg

Du sollst nun den Inhalt der Fläche berechnen, welche der Funktionsgraph $G_f$ mit der $x$-Achse über dem Intervall $[0;4]$ einschließt.

Du kannst das dargestellte Flächenstück aufteilen in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck.

  • Das Rechteck hat die Eckpunkte $O(0|0)$, den Koordinatenursprung, $(4|0)$, $(0|2)$ sowie $(4|2)$. Die Seitenlängen dieses Rechtecks betragen $2$ und $4$. Diese kannst du nun multiplizieren zu dem Flächeninhalt des Rechtecks $A_{1}=2\cdot 4=8$.
  • Das rechtwinklige Dreieck hat die Eckpunkte $(0|2)$, $(4|2)$ sowie $(4|6)$. Die Kathetenlängen sind gleich, nämlich $4$. So erhältst du den Flächeninhalt dieses Dreiecks $A_{2}=\frac12\cdot 4\cdot 4=\frac12\cdot 16=8$.

Schließlich addierst du die beiden Flächen und erhältst $A_{0}(4)=8+8=16$.

Da es nun sehr aufwändig ist, dies immer und immer wieder für eine rechte Grenze zu berechnen, schauen wir uns nun an, welcher Flächeninhalt herauskommt, wenn die rechte Grenze variabel ist, also $x$ selbst.

Du betrachtest auch in diesem Fall ein Rechteck sowie ein rechtwinkliges Dreieck.

  • Das Rechteck hat die Eckpunkte $O(0|0)$, den Koordinatenursprung, $(x|0)$, $(0|2)$ sowie $(x|2)$. Die Seitenlängen dieses Rechtecks betragen $2$ und $x$. Wieder kannst du diese multiplizieren zu dem Flächeninhalt des Rechtecks $A_{1}(x)=2x$.
  • Das rechtwinklige Dreieck hat die Eckpunkte $(0|2)$, $(x|2)$ sowie $(x|x+2)$. Die Kathetenlängen sind auch hier gleich, nämlich jeweils $x$. Du erhältst den Flächeninhalt dieses Dreiecks so: $A_{2}(x)=\frac12\cdot x\cdot x=\frac12\cdot x^{2}$.

Abschließend addierst du wiederum die beiden Flächeninhalte und gelangst so zu $A_{0}(x)=\frac12x^{2}+2x$. Dies ist die gesuchte Flächeninhaltsfunktion. Du kannst nun durch Einsetzen einer beliebigen rechten Grenze $b\ge 0$ den zugehörigen Flächeninhalt berechnen. Lass uns dies doch einmal probieren für $b=4$. Diesen Flächeninhalt haben wir ja bereits ausgerechnet: $A_{0}(4)=\frac12 4^{2}+2\cdot 4=8+8=16$. Das passt!

Die Flächeninhaltsfunktion bei einer quadratischen Randfunktion

Auf ähnliche Art und Weise kannst du auch die Flächeninhaltsfunktion von Normalparabeln herleiten. Die Randfunktion ist $f(x)=x^{2}$. Du erhältst dann $A_{0}(x)=\frac13x^3$.

Flächeninhaltsfunktionen jedes Mal mit Ober- und Untersummen herzuleiten, ist sehr aufwändig. Gibt es da nicht eine einfachere Methode?

Schau dir doch noch einmal die beiden vorigen Beispiele an:

  • Die Flächeninhaltsfunktion der Funktion $f$ mit $f(x)=x+2$ ist gegeben durch $A_{0}(x)=\frac12x^{2}+2x$.
  • Und die der Funktion $f$ mit $f(x)=x^{2}$ ist gegeben durch $A_{0}(x)=\frac13x^{3}$.

Fällt dir etwas auf? Richtig: Wenn du die jeweilige Flächeninhaltsfunktion ableitest erhältst du die Randfunktion.

  • Für die lineare Randfunktion: $A_{0}'(x)=x+2$.
  • Für die quadratische Randfunktion: $A_{0}'(x)=x^{2}$.

Dies gilt immer: $A_{0}'(x)=f(x)$.

Damit kannst du durch die Umkehrung der Ableitung Flächeninhaltsfunktionen bestimmen.

Flächenberechnung unterhalb der Randfunktion

Die Berechnung des Flächeninhalts einer Fläche zwischen der Randfunktion und der $x$-Achse kennst du bereits aus dem Beispiel mit der linearen Randfunktion.

Du kannst aber auch eine Flächenberechnung für ein $[a;b]$ durchführen. Dazu bildest du folgende Differenz $A=A_{0}(b)-A_{0}(a)$.

Flächen, die von Funktionsgraphen eingeschlossen werden

Schließlich kannst du auch den Flächeninhalt zwischen Funktionsgraphen berechnen. Seien im Folgenden $f$ und $g$ zwei Randfunktionen, für die gilt $f(x)\ge g(x)\ge 0$ für alle $x\in[0;b]$. Du berechnest den Inhalt der eingeschlossenen Fläche dann so: $A=A_{0}^{f}(b)-A_{0}^{g}(b)$.

Dabei ist $A_{0}^{f}$ die Flächeninhaltsfunktion zu $f$ und $A_{0}^{g}$ die zu $g$.

Sollst du den Flächeninhalt für das Intervall $[a;b]$ berechnen, gehst du so vor wie bei der Flächenberechnung von Flächen unterhalb der Randfunktion.