Flächeninhaltsfunktion

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was ist eine Flächeninhaltsfunktion?
• Die Flächeninhaltsfunktion bei einer linearen Randfunktion
• Die Flächeninhaltsfunktion bei einer quadratischen Randfunktion
• Flächenberechnung unterhalb der Randfunktion
• Flächen, die von Funktionsgraphen eingeschlossen werden

Was ist eine Flächeninhaltsfunktion?

Die Flächeninhaltsfunktion dient dazu, den Flächeninhalt einer Fläche zu berechnen, die von einem Graphen eingeschlossen wird.

Der Funktionsgraph $G_f$ der Funktion $f$ schließt mit der $x$-Achse ein Flächenstück ein. Die Funktion $f$ wird dabei als Randfunktion bezeichnet. Das betrachtete Intervall ist $[0;b]$. Das eingeschlossene Flächenstück bezeichnet man als $A_{0}(b)$. Dabei ist $A_{0}$ die Flächeninhaltsfunktion.

Es gibt jedoch Einschränkungen:

• Die Flächeninhaltsfunktion $A_{0}$ ist nur definiert für Argumente $x\ge 0$.
• Die Randfunktion $f$ muss auf dem betrachteten Intervall $[0;b]$ komplett oberhalb der $x$-Achse liegen. Es muss also gelten $f(x)\ge 0$ für alle $x\in[0;b]$.

Die Flächeninhaltsfunktion bei einer linearen Randfunktion

Zunächst schauen wir uns an, wie der Flächeninhalt unter einer linearen Funktion bestimmt werden kann. Hierfür sei die Randfunktion $f$ mit $f(x)=x+2$ gegeben. Deren Funktionsgraph siehst du hier:

Du sollst nun den Inhalt der Fläche berechnen, welche der Funktionsgraph $G_f$ mit der $x$-Achse über dem Intervall $[0;4]$ einschließt.

Du kannst das dargestellte Flächenstück aufteilen in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck.

• Das Rechteck hat die Eckpunkte $O(0|0)$, den Koordinatenursprung, $(4|0)$, $(0|2)$ sowie $(4|2)$. Die Seitenlängen dieses Rechtecks betragen $2$ und $4$. Diese kannst du nun multiplizieren zu dem Flächeninhalt des Rechtecks $A_{1}=2\cdot 4=8$.
• Das rechtwinklige Dreieck hat die Eckpunkte $(0|2)$, $(4|2)$ sowie $(4|6)$. Die Kathetenlängen sind gleich, nämlich $4$. So erhältst du den Flächeninhalt dieses Dreiecks $A_{2}=\frac12\cdot 4\cdot 4=\frac12\cdot 16=8$.

Schließlich addierst du die beiden Flächen und erhältst $A_{0}(4)=8+8=16$.

Da es nun sehr aufwändig ist, dies immer und immer wieder für eine rechte Grenze zu berechnen, schauen wir uns nun an, welcher Flächeninhalt herauskommt, wenn die rechte Grenze variabel ist, also $x$ selbst.

Du betrachtest auch in diesem Fall ein Rechteck sowie ein rechtwinkliges Dreieck.

• Das Rechteck hat die Eckpunkte $O(0|0)$, den Koordinatenursprung, $(x|0)$, $(0|2)$ sowie $(x|2)$. Die Seitenlängen dieses Rechtecks betragen $2$ und $x$. Wieder kannst du diese multiplizieren zu dem Flächeninhalt des Rechtecks $A_{1}(x)=2x$.
• Das rechtwinklige Dreieck hat die Eckpunkte $(0|2)$, $(x|2)$ sowie $(x|x+2)$. Die Kathetenlängen sind auch hier gleich, nämlich jeweils $x$. Du erhältst den Flächeninhalt dieses Dreiecks so: $A_{2}(x)=\frac12\cdot x\cdot x=\frac12\cdot x^{2}$.

Abschließend addierst du wiederum die beiden Flächeninhalte und gelangst so zu $A_{0}(x)=\frac12x^{2}+2x$. Dies ist die gesuchte Flächeninhaltsfunktion. Du kannst nun durch Einsetzen einer beliebigen rechten Grenze $b\ge 0$ den zugehörigen Flächeninhalt berechnen. Lass uns dies doch einmal probieren für $b=4$. Diesen Flächeninhalt haben wir ja bereits ausgerechnet: $A_{0}(4)=\frac12 4^{2}+2\cdot 4=8+8=16$. Das passt!

Die Flächeninhaltsfunktion bei einer quadratischen Randfunktion

Auf ähnliche Art und Weise kannst du auch die Flächeninhaltsfunktion von Normalparabeln herleiten. Die Randfunktion ist $f(x)=x^{2}$. Du erhältst dann $A_{0}(x)=\frac13x^3$.

Flächeninhaltsfunktionen jedes Mal mit Ober- und Untersummen herzuleiten, ist sehr aufwändig. Gibt es da nicht eine einfachere Methode?

Schau dir doch noch einmal die beiden vorigen Beispiele an:

• Die Flächeninhaltsfunktion der Funktion $f$ mit $f(x)=x+2$ ist gegeben durch $A_{0}(x)=\frac12x^{2}+2x$.
• Und die der Funktion $f$ mit $f(x)=x^{2}$ ist gegeben durch $A_{0}(x)=\frac13x^{3}$.

Fällt dir etwas auf? Richtig: Wenn du die jeweilige Flächeninhaltsfunktion ableitest erhältst du die Randfunktion.

• Für die lineare Randfunktion: $A_{0}'(x)=x+2$.
• Für die quadratische Randfunktion: $A_{0}'(x)=x^{2}$.

Dies gilt immer: $A_{0}'(x)=f(x)$.

Damit kannst du durch die Umkehrung der Ableitung Flächeninhaltsfunktionen bestimmen.

Flächenberechnung unterhalb der Randfunktion

Die Berechnung des Flächeninhalts einer Fläche zwischen der Randfunktion und der $x$-Achse kennst du bereits aus dem Beispiel mit der linearen Randfunktion.

Du kannst aber auch eine Flächenberechnung für ein $[a;b]$ durchführen. Dazu bildest du folgende Differenz $A=A_{0}(b)-A_{0}(a)$.

Flächen, die von Funktionsgraphen eingeschlossen werden

Schließlich kannst du auch den Flächeninhalt zwischen Funktionsgraphen berechnen. Seien im Folgenden $f$ und $g$ zwei Randfunktionen, für die gilt $f(x)\ge g(x)\ge 0$ für alle $x\in[0;b]$. Du berechnest den Inhalt der eingeschlossenen Fläche dann so: $A=A_{0}^{f}(b)-A_{0}^{g}(b)$.

Dabei ist $A_{0}^{f}$ die Flächeninhaltsfunktion zu $f$ und $A_{0}^{g}$ die zu $g$.

Sollst du den Flächeninhalt für das Intervall $[a;b]$ berechnen, gehst du so vor wie bei der Flächenberechnung von Flächen unterhalb der Randfunktion.