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Trigonometrische Funktionen

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Wolfgang Tews
Trigonometrische Funktionen
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Trigonometrische Funktionen

Bogenlänge Definition / Bogenmaß Definition

Der Einheitskreis ist ein Kreis vom Radius $r=1$. Der Winkel $\alpha$ im ersten Quadranten zwischen einem Radius des Kreises und der $x$-Achse kann mit Hilfe der Bogenlänge des zugehörigen Kreisbogens beschrieben werden. Die Bogenlänge $b$ ist definiert durch die Formel:

$b = \frac{\pi \cdot r}{180^\circ} \cdot \alpha$

Das Verhältnis der Bogenlänge zum Radius ist das Bogenmaß:

$\frac{b}{r} = \frac{\pi}{180^\circ} \cdot \alpha$

Die Einheit $\text{rad}$ des Bogenmaßes kommt von dem lateinischen Wort „Radiant“. Diese Einheit wird in der Regel weggelassen.

Was sind trigonometrische Funktionen?

Als trigonometrische Funktionen bezeichnet man Funktionen, die die Verhältnisse zwischen den Längen und Winkeln bzw. Bogenlängen im Einheitskreis bezeichnen. Die elementaren trigonometrischen Funktionen sind die Sinusfunktion $\sin(\alpha)$, die Cosinusfunktion $\cos(\alpha)$ und die Tangensfunktion $\tan(\alpha)$.

Winkelfunktionen im Einheitskreis Sinus Cosinus Kosinus Tangens

Sinus Definition

Zu einem Punkt $P(x|y)$ auf einem Kreis vom Radius $r$ gehört ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $x$ und $y$. Die Hypotenuse ist der Radius des Kreises, also $r$. Als Sinus des Winkels $\alpha$ bezeichnet man das Verhältnis von Gegenkathete des Winkels und Hypotenuse:

$\text{Sinus}(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{y}{r}$

Im Einheitskreis ist $r=1$ und daher $\sin(\alpha) = y$. Am Einheitskreis kann man verschiedene Werte des Sinus ablesen: $\sin(0^\circ)=0$ und $\sin(90^\circ)=1$. Im ersten Quadranten sind alle Werte des Sinus positiv.

Cosinus Definition

Analog zur Sinusfunktion definiert man die Cosinusfunktion. Der Cosinus des Winkels $\alpha$ ist das Verhältnis von Ankathete und Hypotenuse:

$\text{Cosinus}(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{x}{r}$

Im Einheitskreis ist also $\cos(\alpha) = x$. Aus der Darstellung am Einheitskreis kann man die Werte $\cos(0^\circ)=1$ und $\cos(90^\circ)=0$ ablesen.

Tangens Definition

Der Tangens des Winkels $\alpha$ ist das Verhältnis von Gegenkathete und Ankathete:

$\text{Tangens}(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Den Tangens kann man am Einheitskreis darstellen, indem man die Ankathete zur Länge $1$ verlängert. Der Tangens des Winkels $\alpha$ ist dann die Länge der Gegenkathete. Aus dieser Darstellung kann man den Funktionswert $\tan(0^\circ)=0$ ablesen.

Trigonometrische Funktion bestimmen

Auf die anderen Quadranten kann man die Definition der trigonometrischen Funktionen übertragen. Dabei muss man aber die verschiedenen Vorzeichen der $x$- und $y$-Werte in den Quadranten beachten. Trägt man die Werte der trigonometrischen Funktionen in allen vier Quadranten in ein Diagramm ein, so erhält man die Funktionsgraphen dieser Funktionen. Die Sinus- und Cosinusfunktion sind periodisch mit der Periode $2\pi$, die Tangensfunktion ist periodisch mit der Periode $\pi$. Trigonometrische Funktionen werden daher verwendet, um periodische Vorgänge wie z.B. Schwingungen oder Wellen zu beschreiben.

Winkelfunktion Graph Sinus Cosinus Kosinus Tangens

Trigonometrische Funktion Aufgaben

Verwendest du den Taschenrechner, um trigonometrische Aufgaben zu lösen oder willst du trigonometrische Funktionen berechnen, so musst du genau zwischen der Angabe des Winkels in Grad oder im Bogenmaß unterscheiden. Die Einstellung zur Eingabe von Winkeln in Grad ist auf dem Taschenrechner mit „[deg]“ bezeichnet, die Einstellung zur Eingabe von Winkeln im Bogenmaß dagegen mit „[rad]“.

Trigonometrische Funktionen – Wertetabellen

x f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=tan x
0 0 1 0
0,5 π 1 0 nicht definiert
π 0 -1 0
1,5 π -1 0 nicht definiert
2 π 0 1 0

Transkript Trigonometrische Funktionen

Hallo und herzlich willkommen bei einem Video von Doktor Psi! Heute beschäftigen wir uns mit den trigonometrischen Funktionen, also mit Sinus, Kosinus und Tangens. Wir gehen aus vom Einheitskreis, sprechen kurz über Winkel- und Bogenmaß und am Einheitskreis lernen wir dann die Definition der trigonometrischen Funktionen und ihre graphischen Darstellungen kennen und in diesem Zusammenhang gehen wir auch ganz kurz auf den Taschenrechner ein mit dem du Funktionswerte und Winkel leicht berechnen kannst. Lass uns also mit dem Einheitskreis beginnen! Hier siehst du den Einheitskreis. Dieser Kreis ist für viele Erklärungen sehr nützlich. Nehmen wir zum Beispiel den Winkel Alpha und wir können den Winkel Alpha hier in diesem zweiten Bild uns einmal eintragen und betrachten ihn im ersten Quadranten unseres Einheitskreises und nehmen wir an Alpha habe die Größe von 60°. Dieser Winkel kann nun auch mit der Hilfe der Bogenlänge b, die du hier dargestellt siehst angegeben werden. Und für die Bogenlänge gilt allgemein - wir notieren das einmal - die Bogenlänge ist erklärt als b=(Pir)/180°Alpha. Und wenn wir jetzt das Verhältnis von b durch r herstellen, dann gewinnen wir das Bogenmaß. Also b/r - wäre dann - =Pi/180°*Alpha -machen wir das nur ein wenig schärfer. Wird nur r wie im Einheitskreis vorhin dargestellt mit der Längeneinheit e gemessen, dann erhalten wir für die Bogenlänge das sogenannte Bogenmaß des entsprechenden Winkels Alpha. Übrigens ist die Einheit von Winkeln – kennst du ja – das ist das Gradmaß. Beim Bogenmaß haben wir auch eine Einheit, wir kürzen sie ab mit rad und dieses rad kommt von Radiant. Übrigens, die Einheit rad wird in der Regel weggelassen, du findest sie also nicht so häufig. Wenn wir uns mal den Zusammenhang zwischen Bogenmaß in rad und Winkel in Grad uns anschauen, dann können wir das hier zum Beispiel mal in dieser Tabelle uns ansehen. In der ersten Zeile findest du ein Winkel im Gradmaß und entsprechend ausgerechnet, den Winkel im Bogenmaß hier einheitenlos und als Vielfache von Pi dargestellt. Du kannst diese Tabelle gerne auch mit dem Taschenrechner selber erweitern, du kannst die entsprechenden Größen eingeben und diese Tabelle für beliebige Winkel darstellen. Ja, wir wollen uns nun zum Einheitskreis selber zuwenden und dort sehen wie die trigonometrischen Funktionen definiert sind. Nun wählen wir einen Punkt auf der Peripherie des Einheitskreises P mit den Koordinaten X und Y und zeichnen da ein rechtwinkliges Dreieck ein. Die Hypotenuse des Dreiecks hat – wir befinden und im Einheitskreis – die Länge eins und damit folgt für die Definition zum Beispiel des Sinus sin(Alpha)=Gegenkathete/Hypotenuse und wir setzten die entsprechenden Werte ein, die wir hier im Einheitskreis ablesen, das wäre also y/r und da wir für r gleich eine Längeneinheit wählen ist das y/1=y. Damit haben wir also den Sinus definiert und die Darstellung lässt auch erkennen wie sich der Sinus eines Winkels ändert, wenn der Winkel gegen den Uhrzeigersinn, also im mathematisch positiven Sinn sich im ersten Quadranten von null bis neunzig Grad ändert. Es gilt also – das kannst du dort leicht absehen – sin (0°) das ist gleich null und der sin (90°) hat den Wert eins. Und die Pfeilspitze zeigt in diesem Bild nach oben und das soll zeigen, dass die entsprechenden Werte von Sinus in diesem Quadranten positiv sind. Nun analog erhalten wir – wenn du jetzt dir dieses Bild nochmal genauer anschaust – dort ist der Cosinus erklärt, dies erhalten wir ganz analog zu unserem Sinus und das ist die Ankathete/Hypotenuse und das wäre dann x/r und r ist wieder eins, also x/1 und das ist gleich x. Und auch hier gilt, wenn wir die analogen Überlegungen übertragen, das können wir leicht ablesen cos (0°) ist dann eins und der cos (90°) ist entsprechend mit null festzulegen. Ja, auch der Tangens kann in diesem Einheitskreis veranschaulicht werden und wir wählen nun den entsprechenden oder einen entsprechenden Punkt r so, dass die Ankathete von dem Winkel Alpha, die Länge eins hat. Und dann gilt, wenn wir das entsprechend hier analog notieren: tan(Alpha) = Gegenkathete/Ankathete, nun wir haben die Ankathete so gewählt, dass die Längeneinheit eins ist, also folgt hier Gegenkathete/1 und das ist gleich letzten Endes die Gegenkathete selber. Und auch hier kannst du beobachteten, wenn dieses Dreieck sich so ändert, dass der Winkel jetzt in Richtung von null nach neunzig Grad geht, bei neunzig Grad ist der Tangens nicht definiert, hier könnten wir nur festhalten, der tan (0°), der ist gleich null. Soweit also zur Definition der Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens im ersten Quadranten. Wir schauen uns jetzt an, wie es zu erweitern ist auf die anderen Quadranten. Die Überlegungen für den ersten Quadranten kannst du zunächst auch für den zweiten Quadranten, also für die Winkel neunzig Grad bis einhundertachtzig Grad übertragen. Diese Abbildung zeigt dies als Beispiel, allerding sind hier noch auf die Richtungen der Pfeile hinzuweisen und die solltest du unbedingt beachten. Die Pfeile, die nach links und nach unten zeigen ergeben negative Werte, hier also für Cosinus und Tangens, während Sinus positiv ist. Du kannst dir sicher vorstellen, dass die Fortsetzung der trigonometrischen Funktionen auf dem dritten und vierten Quadranten analog zu übertragen ist. Dies überlasse ich dir gerne als Übung. Nun wollen wir uns die Funktionsverläufe der trigonometrischen Funktionen genauer anschauen. Wenn wir jetzt einen Punkt auf seinem mathematisch positiv gerichteten Umlaufsinn, also entgegen dem Uhrzeigersinn auf der Peripherie des Einheitskreises verfolgen und die entsprechenden Y-Werte für die trigonometrischen Funktionen auf der Y-Achse eines neuen Koordinatensystems übertragen und den jeweiligen Winkel einmal im Grad- und einmal im Bogenmaß auf die X-Achse des neuen Systems, so erhalten wir die Funktionsverläufe der trigonometrischen Funktionen. Hier siehst du nun zunächst Mal den Verlauf der Sinusfunktion. Du kannst dir die Farbe merken, diese Farbe ist Gelb. Wir werden nachher die anderen Funktionen mit unterschiedlichen Farben darstellen. Und nun ergänzen wir unserer Abbildung durch den Verlauf der Cosinusfunktion. Wir sehen hier für diese Funktion die rote Farbe – die kannst du sowohl am Einheitskreis als auch in dem neuen Koordinatensystem verfolgen. Und schließlich die Tangensfunktion, die hat in unserem Bild eine blaue Farbe und du kannst auch hier die entsprechenden Verläufe beobachten. Die Sinus- und die Cosinusfunktion sind periodisch mit der Periode zwei Pi, während die Tangensfunktion periodisch mit der Periode Pi ist. Wir könnten jetzt im Anschluss viel über die Bedeutung und die Anwendungen dieser Funktionen reden, zum Beispiel über den Einsatz bei der Darstellung von Schwingungen und Wellen. Dies würde aber den zeitlichen Rahmen hier sehr sprengen. Zum Schluss aber noch eine ganz wichtige Anmerkung für dich und das betrifft die Berechnung der Werte trigonometrischer Funktionen oder die der Winkel mit dem Taschenrechner. Das passiert immer wieder und du musst streng unterscheiden ob ein Winkel im Gradmaß oder im Bogenmaß gegeben ist. Ist ein Winkel im Gradmaß gegeben, musst du dein Taschenrechner auf deg einstellen, also deg bedeutet Winkel im Gradmaß. Und wenn der Winkel im Bogenmaß gegeben ist, musst du bei deinem Taschenrechner die Einstellung rad wählen, also Winkel im Bogenmaß. Wenn du das beachtest, dann kann eigentlich gar nichts schief gehen, ein paar Dinge musst du eben bei diesen trigonometrischen Funktionen berücksichtigen. Gut, damit sind wir am Ende unseres Videos angelangt. Wir haben die trigonometrischen Funktionen im Einheitskreis behandelt, haben die entsprechenden Verläufe uns angeschaut und sind dann zum Schluss noch einmal auf diese wichtige Sache, die du beachten solltest im Taschenrechner eingegangen, deg - Winkel im Gradmaß, Radiant- Winkel im Bogenmaß. Ich hoffe du hast alles verstanden und falls du noch fragen hast, kannst du dich gerne an mich wenden. Das wäre es für heute und vielleicht sehen wir uns bald wieder bei einem Video vom Doktor Psi. Tschüss!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. ganz toll, die "falsch-herum"-Fensterschreibweise, alle Achtung!!

    Von Juliane Viola D., vor etwa 4 Jahren
  2. Also bei mir hat man Trigonometrie erst in der 9. Klasse gemacht und nicht in der 5. ;)

    Von Username:Username, vor etwa 5 Jahren

Trigonometrische Funktionen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Trigonometrische Funktionen kannst du es wiederholen und üben.
  • Fasse dein Wissen über den Einheitskreis und die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens zusammen.

    Tipps

    Im rechtwinkligen Dreieck ergibt sich der Sinus aus Gegenkathete durch Hypotenuse, der Kosinus aus Ankathete durch Hypotenuse und der Tangens aus Gegenkathete durch Ankathete.

    Welche farbige Strecke ist demnach welcher Winkelfunktion zuzuordnen? Der Radius ist am Einheitskreis definitionsgemäß gleich Eins.

    Wann werden die Winkelfunktionen in der Abbildung Null?

    Lösung

    Im Einheitskreis können die Winkelfunktionen wie folgt definiert und veranschaulicht werden.

    Der Sinus des Winkels $\alpha$ ergibt sich aus Gegenkathete durch Hypotenuse im kleinen rechtwinkligen Dreieck: $sin\alpha=\frac yr$. Die Hypotenuse entspricht dem Radius des Einheitskreises, ist also Eins. Daher ist der Sinus von $\alpha$ im Einheitskreis die gelb markierte Strecke, also $sin\alpha=y$. Es gilt damit im ersten Quadranten: $sin(0°)=0$ und $sin(90°)=1$.

    Der Kosinus des Winkels $\alpha$ ergibt sich aus Ankathete durch Hypotenuse im kleinen rechtwinkligen Dreieck: $cos\alpha=\frac xr$. Die Hypotenuse entspricht wieder dem Radius des Einheitskreises, ist also Eins. Daher ist der Kosinus von $\alpha$ im Einheitskreis die rot markierte Strecke, also $cos\alpha=x$. Es gilt damit im ersten Quadranten: $cos(0°)=1$ und $cos(90°)=0$.

    Der Tangens des Winkels $\alpha$ ergibt sich aus Gegenkathete durch Ankathete im großen rechtwinkligen Dreieck: $tan\alpha=\frac {\text {Gegenkathete}} {\text {Ankathete}}$. Die Ankathete entspricht hierbei dem Radius des Einheitskreises, ist also Eins. Daher ist der Tangens von $\alpha$ im Einheitskreis die blau markierte Strecke, also $tan\alpha=\text {Gegenkathete}$. Es gilt damit im ersten Quadranten: $tan(0°)=0$ und $tan(90°)=\text {n.d.}$, da der Nenner im Bruch nicht Null werden darf.

  • Beschreibe Lage und Aussehen der Funktionsgraphen von Sinus und Kosinus.

    Tipps

    Ordne die Funktionsgraphen der Sinus- und Kosinusfunktion zu, indem du dir die Lage der Maxima und Minima im ersten Quadranten (bis 90°) verdeutlichst.

    Ergänze dann die gegebenen Funktionswerte an den Stellen, wo Sinus und Kosinus minimal oder maximal werden.

    Ergänze die x-Achse um die Angaben im Bogenmaß. Die Angaben in Grad müssen durch $180°$ geteilt werden, um das Bogenmaß in Vielfachen von $\pi$ zu erhalten.

    Lösung

    Die Sinus- und Kosinusfunktion erkennt man an ihrem typischen wellenartigen Verlauf. Die Funktionswerte schwanken dabei periodisch zwischen +1 und -1.

    Um zu ermitteln, ob eine Sinus- oder Kosinusfunktion vorliegt, kannst du dir die Nulldurchgänge oder die Lage der Minima beziehungsweise Maxima anschauen: Die Kosinusfunktion erreicht zum Beispiel ihren maximalen Wert bereits bei 0° (und dann wieder bei 360°). Die Sinusfunktion hingegen erst bei 90°. Du kannst dich aber auch an der Lage der Nullstellen orientieren. Die nebenstehende Tabelle gibt noch einmal einen guten Überblick über die markanten Stellen der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion.

    Winkelfunktionen können sowohl ausgehend vom Gradmaß als auch mit Hilfe des Bogenmaßes beschrieben werden. Daher ist es gut, wenn du mit beiden Angaben vertraut bist. Um Gradzahlen in das Bogenmaß zu überführen, musst du sie durch 180° teilen. Dann erhältst du das Bogenmaß in Vielfachen der Kreiszahl Pi.

  • Erkläre exemplarisch das Verhalten der Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens in allen vier Quadranten des Einheitskreises.

    Tipps

    Stelle dir die Vergrößerung des Winkels und den Effekt auf die Funktionswerte jeder Funktion in den einzelnen Quadranten vor.

    Auf das Vorzeichen kannst du anhand der Pfeilrichtung schließen. Pfeile, die nach oben oder rechts zeigen, deuten auf positive Vorzeichen. Pfeile, die nach links oder unten zeigen, auf negative Vorzeichen.

    In der Abbildung siehst du die Funktionen von Sinus (gelb), Kosinus (rot) und Tangens (blau) im dritten Quadranten.

    Lösung

    In den genannten Beispielen ist der Tangens als Winkelfunktion gar nicht vertreten. Seine Funktionswerte schwanken nämlich zwischen plus unendlich und minus unendlich.

    Der rote Pfeil, also der Kosinus des Winkels, ist bei einem Winkel von 0° maximal. Mit zunehmendem Winkel im ersten Quadranten wird er immer kleiner und erreicht bei 90° den Wert Null. Seine Funktionswerte fallen demnach im ersten Quadranten von +1 auf 0. Sie sind positiv, weil der Pfeil nach rechts zeigt. Im vierten Quadranten hingegen steigen die Werte des Kosinus an: Er ist Null bei 270° und maximal wieder bei 360°. Die Funktionswerte steigen von 0 auf +1. Das Vorzeichen ist positiv, weil der Pfeil nach rechts zeigt.

    Der gelbe Pfeil, also der Sinus des Winkels, ist bei einem Winkel von 90° maximal. Mit zunehmendem Winkel im dritten Quadranten wird er immer größer und erreicht bei 270° den Wert -1. Seine Funktionswerte fallen demnach im dritten Quadranten von 0 auf -1. Sie sind negativ, weil der Pfeil nach unten zeigt. Im vierten Quadranten steigen die Werte des Sinus hingegen an: Er liegt bei -1 bei 270° und bei Null bei 360°. Die Funktionswerte steigen von -1 auf 0. Das Vorzeichen ist negativ, weil der Pfeil nach unten zeigt.

  • Erstelle eine Übersicht wichtiger Funktionswerte im ersten Quadranten von Sinus, Kosinus und Tangens im Grad- und Bogenmaß.

    Tipps

    $360°$ entsprechen $2\pi$.

    Beachte die richtige Einstellung am Taschenrechner (deg für Berechnungen des Winkel in Grad, rad für Berechnungen des Winkels im Bogenmaß).

    Lösung

    Mit dem Taschenrechner lassen sich beliebige Funktionswerte der Winkelfunktionen berechnen. Bei der Berechnung musst du aber unbedingt beachten, in welcher Form du deinen Winkel angibst.

    Willst du Winkelfunktionen berechnen, indem du Winkel im Gradmaß verwendest, musst du den Taschenrechner auf deg stellen. Verwendest du hingegen lieber Winkel im Bogenmaß, muss dein Taschenrechner auf rad stehen.

    Winkelangaben in Grad und Bogenmaß kannst du jederzeit über die Beziehung $360°$ entsprechen $2\pi$ umrechnen. Je nachdem, was dir mehr liegt. Bei den Winkelfunktionen in der Physik (zum Beispiel in der Physik der Schwingungen und Wellen) wirst du aber wahrscheinlich am häufigsten Angaben im Bogenmaß finden.

    Ein paar besondere Funktionswerte kennst du jetzt bestimmt auch schon aus dem Kopf und musst sie nicht jedes Mal mit dem Taschenrechner berechnen.

  • Gib an, wie die Winkelfunktionen am Einheitskreis definiert sind.

    Tipps

    Sinus- und Kosinusfunktion werden über das kleine rechtwinklige Dreieck definiert.

    Die Tangensfunktion wird über das große rechtwinklige Dreieck definiert.

    Der Sinus ist in der Abbildung gelb, der Kosinus rot und der Tangens blau dargestellt.

    Lösung

    Die Winkelfunktionen am Einheitskreis leiten sich über die allgemeinen Definitionen am rechtwinkligen Dreieck her.

    Am Einheitskreis wird durch den Einheitsradius der Ausdruck für die Winkelfunktionen dann noch einmal vereinfacht.

    So erhält man als Ergebnis die nebenstehende Abbildung.

  • Erschließe dir, was das Verschieben der Funktionsgraphen von Sinus und Kosinus bewirkt.

    Tipps

    Verschiebe gedanklich die Funktionsgrafen in der Abbildung.

    Lösung

    Die Periode der Sinus- und der Kosinusfunktion beträgt 360°. Addiert man diesen Wert bei beiden Funktionen zu einem beliebigen gegebenen Winkel hinzu, erhält man wieder denselben Funktionswert, wie bei dem gegebenen Winkel.

    Verschiebt man Sinus- und Kosinusfunktion um eine halbe Periode (180°), so erhält man die ursprünglichen Funktionswerte, aber mit umgekehrtem Vorzeichen.

    Die Grafen der Sinus- und die Kosinusfunktion können auch zur Deckung gebracht werden. Da der Kosinus dem Sinus vorauseilt, also früher sein Maximum erreicht, kann dazu entweder eine Viertelperiode (90°) zum Sinus addiert werden oder eine Dreiviertelperiode zum Kosinus (270°).

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