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Trigonometrische Funktionen 15:34 min

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Transkript Trigonometrische Funktionen

Hallo und herzlich willkommen bei einem Video von Doktor Psi! Heute beschäftigen wir uns mit den trigonometrischen Funktionen, also mit Sinus, Kosinus und Tangens. Wir gehen aus vom Einheitskreis, sprechen kurz über Winkel- und Bogenmaß und am Einheitskreis lernen wir dann die Definition der trigonometrischen Funktionen und ihre graphischen Darstellungen kennen und in diesem Zusammenhang gehen wir auch ganz kurz auf den Taschenrechner ein mit dem du Funktionswerte und Winkel leicht berechnen kannst. Lass uns also mit dem Einheitskreis beginnen! Hier siehst du den Einheitskreis. Dieser Kreis ist für viele Erklärungen sehr nützlich. Nehmen wir zum Beispiel den Winkel Alpha und wir können den Winkel Alpha hier in diesem zweiten Bild uns einmal eintragen und betrachten ihn im ersten Quadranten unseres Einheitskreises und nehmen wir an Alpha habe die Größe von 60°. Dieser Winkel kann nun auch mit der Hilfe der Bogenlänge b, die du hier dargestellt siehst angegeben werden. Und für die Bogenlänge gilt allgemein - wir notieren das einmal - die Bogenlänge ist erklärt als b=(Pir)/180°Alpha. Und wenn wir jetzt das Verhältnis von b durch r herstellen, dann gewinnen wir das Bogenmaß. Also b/r - wäre dann - =Pi/180°*Alpha -machen wir das nur ein wenig schärfer. Wird nur r wie im Einheitskreis vorhin dargestellt mit der Längeneinheit e gemessen, dann erhalten wir für die Bogenlänge das sogenannte Bogenmaß des entsprechenden Winkels Alpha. Übrigens ist die Einheit von Winkeln – kennst du ja – das ist das Gradmaß. Beim Bogenmaß haben wir auch eine Einheit, wir kürzen sie ab mit rad und dieses rad kommt von Radiant. Übrigens, die Einheit rad wird in der Regel weggelassen, du findest sie also nicht so häufig. Wenn wir uns mal den Zusammenhang zwischen Bogenmaß in rad und Winkel in Grad uns anschauen, dann können wir das hier zum Beispiel mal in dieser Tabelle uns ansehen. In der ersten Zeile findest du ein Winkel im Gradmaß und entsprechend ausgerechnet, den Winkel im Bogenmaß hier einheitenlos und als Vielfache von Pi dargestellt. Du kannst diese Tabelle gerne auch mit dem Taschenrechner selber erweitern, du kannst die entsprechenden Größen eingeben und diese Tabelle für beliebige Winkel darstellen. Ja, wir wollen uns nun zum Einheitskreis selber zuwenden und dort sehen wie die trigonometrischen Funktionen definiert sind. Nun wählen wir einen Punkt auf der Peripherie des Einheitskreises P mit den Koordinaten X und Y und zeichnen da ein rechtwinkliges Dreieck ein. Die Hypotenuse des Dreiecks hat – wir befinden und im Einheitskreis – die Länge eins und damit folgt für die Definition zum Beispiel des Sinus sin(Alpha)=Gegenkathete/Hypotenuse und wir setzten die entsprechenden Werte ein, die wir hier im Einheitskreis ablesen, das wäre also y/r und da wir für r gleich eine Längeneinheit wählen ist das y/1=y. Damit haben wir also den Sinus definiert und die Darstellung lässt auch erkennen wie sich der Sinus eines Winkels ändert, wenn der Winkel gegen den Uhrzeigersinn, also im mathematisch positiven Sinn sich im ersten Quadranten von null bis neunzig Grad ändert. Es gilt also – das kannst du dort leicht absehen – sin (0°) das ist gleich null und der sin (90°) hat den Wert eins. Und die Pfeilspitze zeigt in diesem Bild nach oben und das soll zeigen, dass die entsprechenden Werte von Sinus in diesem Quadranten positiv sind. Nun analog erhalten wir – wenn du jetzt dir dieses Bild nochmal genauer anschaust – dort ist der Cosinus erklärt, dies erhalten wir ganz analog zu unserem Sinus und das ist die Ankathete/Hypotenuse und das wäre dann x/r und r ist wieder eins, also x/1 und das ist gleich x. Und auch hier gilt, wenn wir die analogen Überlegungen übertragen, das können wir leicht ablesen cos (0°) ist dann eins und der cos (90°) ist entsprechend mit null festzulegen. Ja, auch der Tangens kann in diesem Einheitskreis veranschaulicht werden und wir wählen nun den entsprechenden oder einen entsprechenden Punkt r so, dass die Ankathete von dem Winkel Alpha, die Länge eins hat. Und dann gilt, wenn wir das entsprechend hier analog notieren: tan(Alpha) = Gegenkathete/Ankathete, nun wir haben die Ankathete so gewählt, dass die Längeneinheit eins ist, also folgt hier Gegenkathete/1 und das ist gleich letzten Endes die Gegenkathete selber. Und auch hier kannst du beobachteten, wenn dieses Dreieck sich so ändert, dass der Winkel jetzt in Richtung von null nach neunzig Grad geht, bei neunzig Grad ist der Tangens nicht definiert, hier könnten wir nur festhalten, der tan (0°), der ist gleich null. Soweit also zur Definition der Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens im ersten Quadranten. Wir schauen uns jetzt an, wie es zu erweitern ist auf die anderen Quadranten. Die Überlegungen für den ersten Quadranten kannst du zunächst auch für den zweiten Quadranten, also für die Winkel neunzig Grad bis einhundertachtzig Grad übertragen. Diese Abbildung zeigt dies als Beispiel, allerding sind hier noch auf die Richtungen der Pfeile hinzuweisen und die solltest du unbedingt beachten. Die Pfeile, die nach links und nach unten zeigen ergeben negative Werte, hier also für Cosinus und Tangens, während Sinus positiv ist. Du kannst dir sicher vorstellen, dass die Fortsetzung der trigonometrischen Funktionen auf dem dritten und vierten Quadranten analog zu übertragen ist. Dies überlasse ich dir gerne als Übung. Nun wollen wir uns die Funktionsverläufe der trigonometrischen Funktionen genauer anschauen. Wenn wir jetzt einen Punkt auf seinem mathematisch positiv gerichteten Umlaufsinn, also entgegen dem Uhrzeigersinn auf der Peripherie des Einheitskreises verfolgen und die entsprechenden Y-Werte für die trigonometrischen Funktionen auf der Y-Achse eines neuen Koordinatensystems übertragen und den jeweiligen Winkel einmal im Grad- und einmal im Bogenmaß auf die X-Achse des neuen Systems, so erhalten wir die Funktionsverläufe der trigonometrischen Funktionen. Hier siehst du nun zunächst Mal den Verlauf der Sinusfunktion. Du kannst dir die Farbe merken, diese Farbe ist Gelb. Wir werden nachher die anderen Funktionen mit unterschiedlichen Farben darstellen. Und nun ergänzen wir unserer Abbildung durch den Verlauf der Cosinusfunktion. Wir sehen hier für diese Funktion die rote Farbe – die kannst du sowohl am Einheitskreis als auch in dem neuen Koordinatensystem verfolgen. Und schließlich die Tangensfunktion, die hat in unserem Bild eine blaue Farbe und du kannst auch hier die entsprechenden Verläufe beobachten. Die Sinus- und die Cosinusfunktion sind periodisch mit der Periode zwei Pi, während die Tangensfunktion periodisch mit der Periode Pi ist. Wir könnten jetzt im Anschluss viel über die Bedeutung und die Anwendungen dieser Funktionen reden, zum Beispiel über den Einsatz bei der Darstellung von Schwingungen und Wellen. Dies würde aber den zeitlichen Rahmen hier sehr sprengen. Zum Schluss aber noch eine ganz wichtige Anmerkung für dich und das betrifft die Berechnung der Werte trigonometrischer Funktionen oder die der Winkel mit dem Taschenrechner. Das passiert immer wieder und du musst streng unterscheiden ob ein Winkel im Gradmaß oder im Bogenmaß gegeben ist. Ist ein Winkel im Gradmaß gegeben, musst du dein Taschenrechner auf deg einstellen, also deg bedeutet Winkel im Gradmaß. Und wenn der Winkel im Bogenmaß gegeben ist, musst du bei deinem Taschenrechner die Einstellung rad wählen, also Winkel im Bogenmaß. Wenn du das beachtest, dann kann eigentlich gar nichts schief gehen, ein paar Dinge musst du eben bei diesen trigonometrischen Funktionen berücksichtigen. Gut, damit sind wir am Ende unseres Videos angelangt. Wir haben die trigonometrischen Funktionen im Einheitskreis behandelt, haben die entsprechenden Verläufe uns angeschaut und sind dann zum Schluss noch einmal auf diese wichtige Sache, die du beachten solltest im Taschenrechner eingegangen, deg - Winkel im Gradmaß, Radiant- Winkel im Bogenmaß. Ich hoffe du hast alles verstanden und falls du noch fragen hast, kannst du dich gerne an mich wenden. Das wäre es für heute und vielleicht sehen wir uns bald wieder bei einem Video vom Doktor Psi. Tschüss!

2 Kommentare
  1. Wp 000233

    ganz toll, die "falsch-herum"-Fensterschreibweise, alle Achtung!!

    Von Juliane Viola D., vor fast 2 Jahren
  2. It bg 1

    Also bei mir hat man Trigonometrie erst in der 9. Klasse gemacht und nicht in der 5. ;)

    Von Username:Username, vor fast 3 Jahren