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Der Einheitskreis

Der Einheitskreis ist ein spezieller Kreis. Der Radius des Einheitskreises ist $r=1$.

3111_Einheitskreis_2.jpg

Mit Hilfe dieses Einheitskreises können die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus sowie Tangens erklärt werden.

In dem rechtwinkligen Dreieck ist der Radius $r$ die Hypotenuse. Somit ist

$\sin(x)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{r}=\text{Gegenkathete von }\alpha$

$\cos(x)=\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{r}=\text{Ankathete von }\alpha$

$\tan(x)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$

Der Sinus am Einheitskreis

1147_Sinus_Einheitskreis.jpg

Wenn du den Winkel $\alpha$ veränderst, verändert sich auch der zugehörige Sinuswert.

  • Für $\alpha=0^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=0$.
  • Für $\alpha=90^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=1$.
  • Für $\alpha=180^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=0$.
  • Für $\alpha=270^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=-1$.
  • Für $\alpha=360^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=0$.

3111_Sinus.jpg

Von nun an wiederholen sich die Sinuswerte. Dies wird als Periodizität bezeichnet.

  • Die Periodenlänge ist $360^\circ$. Das bedeutet, du kannst den Graph kopieren und rechts sowie links anhängen. Damit bekommst du den Verlauf der Sinusfunktion.
  • Der Definitionsbereich von Sinus ist $\mathbb{D}_{\sin}=\mathbb{R}$.
  • Der Wertebereich von Sinus ist $\mathbb{W}_{\sin}=[-1;1]$.
  • Die Nullstellen von Sinus sind die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$.

Der Cosinus am Einheitskreis

1147_Cosinus_Einheitskreis.jpg

Ebenso wie beim Sinus kannst du durch Veränderung von $\alpha$ verschiedene Cosinuswerte berechnen.

  • Für $\alpha=0^\circ$ erhältst du $\cos(\alpha)=1$.
  • Für $\alpha=90^\circ$ erhältst du $\cos(\alpha)=0$.
  • Für $\alpha=180^\circ$ erhältst du $\cos(\alpha)=-1$.
  • Für $\alpha=270^\circ$ erhältst du $\cos(\alpha)=0$.
  • Für $\alpha=360^\circ$ erhältst du $\sin(\alpha)=1$.

3111_Cosinus.jpg

  • Auch die Cosinusfunktion ist periodisch mit der Periodenlänge $360^\circ$.
  • Der Definitionsbereich von Cosinus ist $\mathbb{D}_{\cos}=\mathbb{R}$.
  • Der Wertebereich von Cosinus ist $\mathbb{W}_{\cos}=[-1;1]$.
  • Die Nullstellen von Cosinus sind gegeben durch $90^\circ$ plus die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$.

Der Tangens am Einheitskreis

1147_Tangens_Einheitskreis.jpg

  • Für $\alpha=0^\circ$ erhältst du $\tan(\alpha)=0$.
  • Für $\alpha=45^\circ$ erhältst du $\tan(\alpha)=1$.
  • Der Tangens ist nicht definiert für $90^\circ$ plus die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$.
  • Der Wertebereich von Tangens ist $\mathbb{W}=\mathbb{R}$.
  • Der Tangens ist periodisch mit der Periodenlänge $180^\circ$.
  • Die Nullstellen des Tangens sind die ganzzahlen Vielfachen von $180^\circ$.

3111_Tangens.jpg

Das Bogenmaß

Bei den trigonometrischen Funktionen wird entweder das Winkelmaß oder das Bogenmaß verwendet. Dieses wird als Vielfaches der Kreiszahl $\pi=3,1415...$ dargestellt.

  • $0^\circ~\hat=~ 0$
  • $90^\circ~\hat=~ \frac{\pi}2$
  • $180^\circ~\hat=~\pi$
  • $270^\circ~\hat=~ \frac{3\pi}2$
  • $360^\circ~\hat=~ 2\pi$

Mit dem Bogenmaß kann die Periodizität der Kreisfunktionen wie folgt erklärt werden:

  • Sinus und Cosinus sind $2\pi$-periodisch und
  • Tangens $\pi$-periodisch.

Was sind Polarkoordinaten?

Ein Punkt in einem kartesischen Koordinatensystem hat eine x- sowie eine y-Koordinate: $P(x|y)$. Man kann jeden Punkt auch mit Polarkoordinaten darstellen.

3111_Polarkoordinaten.jpg

Es gilt

  • $\cos(\varphi)=\frac xr$ oder, äquivalent dazu, $x=r\cdot \cos(\varphi)$.
  • $\sin(\varphi)=\frac yr$ oder, äquivalent dazu, $y=r\cdot \sin(\varphi)$.

Dabei ist $r=\sqrt{x^2+y^2}$.

Das bedeutet, dass zu jedem Punkt eindeutig ein $r$ sowie ein Winkel $\varphi$ gehören. Du kannst dann den Punkt auch in Polarkoordinaten schreiben: $P(r|\varphi)$.

Beispiel 1

Hier siehst du, wie du von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten umrechnen kannst.

Für den Punkt $P(4|3)$ ist

  • $r=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$ und
  • somit $\varphi=\cos^{-1}\left(\frac45\right)\approx36,9^\circ$.

Die Darstellung des Punktes in Polarkoordinaten lautet dann $P(5|36,9^\circ)$.

Beispiel 2

Umgekehrt kannst du auch Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umrechnen.

Für den Punkt $Q(\sqrt{8}|45^\circ)$ ist

  • $x=\sqrt8\cdot \cos(45^\circ)=2$ sowie
  • $y=\sqrt8\cdot \sin(45^\circ)=2$.

Die Darstellung des Punktes in kartesischen Koordinaten lautet dann $Q(2|2)$.