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Brüche dividieren

Nenner, Zähler, natürliche Zahl umwandeln, Kehrwert bilden, kürzen, gemeinsamer Bruchstrich, mit Kehrwert multiplizieren

Ein Kuchenproblem

Deine Mutter hat morgen Geburtstag und du hast eine tolle Idee: Du möchtest ihr ihren Lieblingskuchen backen. Diesen saftigen Apfelkuchen. Oh ja - da wird sie sich freuen! Auch Papa findet deinen Vorschlag super. Er legt die Hand ans Kinn, starrt ins Leere und überlegt: „Heute ist Sonntag und vielleicht haben wir gar nicht alles dafür da…und wo ist eigentlich das Rezept?“

Kaum hat Papa diesen Gedanken ausgesprochen, hast du schon das Rezept gefunden. Klar, das steckt doch immer zwischen den Backbüchern ganz am Rand. Papa schmunzelt und liest sich leise die Zutaten durch. Gespannt wartest du und studierst sein Gesicht. Plötzlich durchziehen Falten Papas Stirn wie Gewitterwolken. „Hm…sieh doch mal bitte nach, wie viele Eier wir noch haben“, murmelt er, ohne aufzublicken.

Mit einem Hopps bist du beim Kühlschrank und zählst laut: „Eins, zwei,…drei.“ „Oh je“, meint Paps, „für den Kuchen brauchen wir aber vier Eier!“ Enttäuscht klappst du die Kühlschranktür zu. Doch dann fällt dir ein, dass ihr im Mathematik-Unterricht mal ein Rezept umgerechnet habt. Ja genau! Das war doch erst letzten Mittwoch.

Maedchen_denkt_nach.jpg

Wie wäre es, wenn wir einfach statt vier zwei Eier nehmen und alle anderen Zutaten auch halbieren?

Brüche durch eine natürliche Zahl teilen

Die Zutaten des ursprünglichen Rezepts sind:

$\begin{array}{ll} 4 & \text{Eier}\\ 2 & \ddot{\text{A}}\text{pfel}\\ 100\ \text{g} & \text{Zucker}\\ \dfrac{2}{5}\ \text{kg} & \text{Mehl} \end{array}$

Also wenn das Rezept halbiert wird, braucht ihr zwei Eier, einen Apfel und $50\ \text{g}$ Zucker. Das war ja einfach. „Und was ist mit dem Mehl?“ fragt Paps. „Ich kann doch gar nicht mehr mit Brüchen rechnen“. Kein Problem! Das kannst du ihm einfach erklären.

Ein Bruch hat über dem Bruchstrich einen Zähler und unter dem Bruchstrich einen Nenner. Er kann durch eine ganze Zahl geteilt werden. Die ganze Zahl wird dafür zunächst selbst zum Bruch gemacht. Dafür kommt sie in den Zähler und als Nenner wird immer eine eins geschrieben:

$ \dfrac{2}{5}:2 = \dfrac{2}{5}:\dfrac{2}{1} $

Jetzt sind es zwei Brüche. Diese werden durcheinander dividiert. Dafür wird immer der zweite Bruch umgedreht. Der erste Bruch wird dann mit diesem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert. Dafür werden sie auf einen gemeinsamen großen Bruchstrich geschrieben:

$ \dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{2\cdot 1}{5\cdot 2} $

Bevor die Brüche miteinander multipliziert werden, wird erst von oben nach unten oder schräg gekürzt. Und zwar so lange, bis es nicht mehr weiter geht. Erst jetzt werden die gekürzten Zähler sowie die Nenner miteinander mal genommen. Fertig - das Ergebnis ist sogar schon vollständig gekürzt!

$ \dfrac{2 \cdot 1}{5 \cdot 2}=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5} $

Papa staunt nicht schlecht! Du fragst dich allerdings mittlerweile, ob der Kuchen nicht etwas zu klein wird. Und vielleicht reicht er dann nicht für alle. Auch dein Vater stimmt dir zu. Außerdem habt ihr auch keine passende Form. Eine andere Lösung muss her! Weil ihr ja sogar drei Eier habt, könntet ihr das Rezept auch anders umrechnen.

Natürliche Zahlen und Brüche durch Brüche teilen

Ihr nehmt drei Eier statt vier. Das sind also drei von vier. Als Bruch schreibst du:

$\dfrac{3}{4}$

Du kannst nun alle Zutaten mit diesem Bruch multiplizieren. Oder durch dessen Kehrwert dividieren. Dafür musst du aber auch natürliche Zahlen durch Brüche teilen. Für die Äpfel und den Zucker berechnest du Folgendes:

$ \dfrac{2}{1}:\dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{1}\cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{2 \cdot 3}{1 \cdot 4} = \dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}= 1\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{100}{1}:\dfrac{4}{3}=\dfrac{100}{1}\cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{100 \cdot 3}{1 \cdot 4} =\dfrac{300}{4} = \dfrac{75}{1}= 75\\ $

Ganzer_und_halber_Apfel.jpg

Beim Mehl musst du einen Bruch durch einen Bruch divivieren:

$ \dfrac{2}{5}:\dfrac{4}{3}= \dfrac{2 \cdot 3}{5 \cdot 4}=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10} $

Der zehnte Teil von $1000\ \text{g}$ Mehl sind genau $100\ \text{g}$. Also sind drei Zehntel einfach $300\ \text{g}$. Geschafft! Endlich könnt ihr mit dem Backen beginnen! Die Backzeit müsst ihr vielleicht ein wenig verkürzen. Aber der Geburtstagskuchen ist gerettet. Es sei denn, Papa teilt auch noch die Backtemperatur…