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Laplace-Experimente

Bei manchen Zufallsexperimenten gehst du davon aus, dass das Eintreten jedes möglichen Ergebnisses gleich wahrscheinlich ist. Dies ist zum Beispiel beim Würfeln mit einem Würfel der Fall.

Was ist ein Laplace-Experiment?

Der französische Mathematiker Pierre Simon Laplace (1749 bis 1827) untersuchte Zufallsexperimente. Ein Zufallsexperiment ist dabei allgemein beschrieben ein Experiment, bei dem es verschiedene, nicht vorhersehbare Ausgänge (sogenannte Ergebnisse) gibt.

Besonders interessierte er sich dabei für solche Experimente, bei denen jedes Ergebnis mit der gleichen Wahrscheinlichkeit angenommen wird. Ein solches Zufallsexperiment wird deshalb Laplace-Experiment bezeichnet.

In der Definition oben wird schon erwähnt, was ein Ergebnis ist. Um noch etwas genauer darauf einzugehen, betrachte folgendes Beispiel:

Beim Werfen einer Münze gibt es die beiden möglichen Ergebnisse „Kopf“ und „Zahl“. Dabei wird vereinfacht davon ausgegangen, dass die Münze nicht auf der Kante liegen bleiben kann.

Beispiele für Laplace-Experimente

Es ist nicht immer einfach zu entscheiden, ob ein Zufallsexperiment ein Laplace-Experiment ist. Betrachte hier ein paar Beispiele:

1215_würfel.jpg

Würfeln mit einem Würfel

Du würfelst mit einem solchen Spielwürfel. Dieser hat sechs Seiten. Sofern es sich um einen perfekten Würfel handelt, ist die Wahrscheinlichkeit die Zahl $1$ zu würfeln genauso groß, wie die Wahrscheinlichkeit, irgendeine andere Zahl von $2$ bis $6$ zu würfeln. Dies ist ein Laplace-Experiment.

3089_Münze.jpg

Werfen einer Münze

Die möglichen Ergebnisse beim Münzwurf sind „Kopf“ und „Zahl“. Bei einer idealen Münze treten beide Ergebnisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ein. Auch hier handelt es sich um ein Laplace-Experiment.

Ziehen einer Kugel aus einer Urne

In einer Urne befinden sich $5$ Kugeln. Davon sind $2$ Kugeln rot und $3$ grün. Wenn du nun eine Kugel ziehst, ist die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer grünen Kugel größer als die für das Ziehen einer roten Kugel. Warum ist das so? Das liegt daran, dass sich mehr grüne als rote Kugeln in der Urne befinden. Dies ist kein Laplace-Experiment, da die beiden möglichen Ergebnisse „rot“ und „grün“ mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten eintreten.

Hinweis: Wenn auf den Kugeln verschiedene Zahlen stehen und bei dem Experiment auf diese statt auf die Farbe geachtet wird, dann handelt es sich wieder um ein Laplace-Experiment. Dasselbe Experiment kann also unter einem anderen Blickwinkel ein Laplace-Experiment sein.

Merkmale und Eigenschaften eines Laplace-Experimentes

Nun hast du die Definition und verschiedene Beispiele von Laplace-Experimenten kennengelernt. Eine weitere Regel, die übrigens für jedes Zufallsexperiment zutrifft, ist folgende:

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse muss $1$ ergeben. Nun werden einige Bezeichnungen eingeführt. Diese dienen dazu, das gesamte Thema mathematisch korrekt formulieren zu können:

  • Der griechische Buchstabe „Omega“ $(\Omega)$ bezeichnet die sogenannte Ergebnismenge. Diese beinhaltet alle Ergebnisse des Zufallsexperiments. Allgemein schreibt man $\Omega = \{e_1; e_2; ... ; e_n\}$.
  • Die Anzahl der Elemente in der Ergebnismenge $\Omega$ bezeichnen wir mit $n$. Man schreibt dafür $|\Omega|=n$. Die Betragsstriche außen zeigen an, dass es um die Anzahl der Elemente in $\Omega$ geht. Der Fachbegriff ist Kardinalität.
  • Da jedes Ergebnis in einem Laplace-Experiment gleich wahrscheinlich ist, gilt für jedes Ergebnis $e_i$ $(i=1;...;n)$ die Gleichung $P(e_i)=\frac 1n$.

Zu Beginn ist diese Schreibweise sicherlich ungewohnt. Schau dir zum besseren Verständnis ein paar Beispiele an:

Würfeln mit einem Würfel

  • Hier ist die Ergebnismenge gegeben durch $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$.
  • Außerdem gilt für die Anzahl aller möglichen Ergebnisse $n = |\Omega|=6$.
  • Damit ist $P(1)=...=P(6)=\frac16$ die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ergebnisses aus der Ergebnismenge. $P$ ist dabei eine sogenannte Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Werfen einer Münze

  • In diesem Beispiel ist $\Omega=\{$Kopf, Zahl$\}$. Wie du siehst, müssen nicht unbedingt Zahlen in $\Omega$ enthalten sein.
  • Außerdem gilt $n = |\Omega|=2$.
  • Somit ist $P($Kopf$)=P($Zahl$)=\frac12$.

$~$

Beachte: Das Berechnen von Wahrscheinlichkeiten, wie es hier angegeben ist, ist nur möglich, wenn es sich um ein Laplace-Experiment handelt.

Ziehen einer Kugel aus einer Urne

  • Die Ergebnismenge ist $\Omega=\{$rot, grün$\}$.
  • Es gilt $n = |\Omega|=2$.
  • Es gilt allerdings nicht $P($rot$)=P($grün$)=\frac12$.

Du kannst jedoch die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten bei diesem Zufallsexperiment mit der Laplace-Regel berechnen. Dies siehst du im Folgenden.

Berechnen von Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Ein Ereignis (nicht zu verwechseln mit Ergebnis) ist eine Menge, die Ergebnisse enthält. Ein Ereignis $E$ ist also eine Teilmenge der Ergebnismenge. Man schreibt dafür $E\subseteq \Omega$. Mit Hilfe der Laplace-Regel kannst du die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen berechnen. Hier siehst du die Formel:

$P(E)=\frac{\text{Anzahl aller f}\ddot{\text{u}}\text{r $E$ g}\ddot{\text{u}}\text{nstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller m}\ddot{\text{o}}\text{glichen Ergebnisse}}=\frac{|E|}{|\Omega|}$

Anders ausgedrückt bedeutet das, dass du dir immer überlegen musst, wie viele Ergebnisse in der Ergebnismenge liegen und wie viele davon in dem Ereignis. Dann bildest du den Quotienten.

Spezielle Ereignisse

  • Elementarereignisse sind Ereignisse, die nur ein Ergebnis enthalten. Für jedes Elementarereignis $E$ gilt $P(E)=\frac1{|\Omega|}$.
  • Ein Ereignis kann auch leer sein, also kein Element enthalten. Ein solches Ereignis wird als unmögliches Ereignis $\emptyset$ bezeichnet. Es gilt $P(\emptyset)=\frac0{|\Omega|}=0$.
  • Ein Ereignis kann auch alle möglichen Ergebnisse enthalten. Dieses Ereignis ist also ganz $\Omega$ und wird als sicheres Ereignis bezeichnet. Für dieses Ereignis gilt $P(\Omega)=\frac{|\Omega|}{|\Omega|}=1$.

Würfeln mit einem Würfel

In diesem Beispiel siehst du nun, was es mit Ereignissen auf sich hat:

Das Ereignis $E$ sei definiert als $E$: „Es wird eine gerade Augenzahl gewürfelt“.

  • Das Ereignis $E$ enthält also alle geraden Zahlen, die in $\Omega$ vorkommen. Es gilt $E=\{2;4;6\}$.
  • Die Anzahl der Elemente in $E$ ist $n = |E|=3$.
  • Du kannst nun die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von $E$ berechnen. Es gilt $P(E)=\frac36=\frac12$.

Ziehen einer Kugel aus einer Urne

Wir betrachten noch einmal das Beispiel mit der Urne. In dieser befinden sich $2$ rote und $3$ grüne Kugeln. Du weißt bereits, dass die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer grünen bzw. einer roten Kugel nicht gleich groß ist. Wenn du davon ausgehst, dass jede einzelne der $5$ Kugeln mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen werden kann, kannst du nun die Wahrscheinlichkeiten für das Ziehen einer der beiden Farben berechnen.

  • Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist dann die Anzahl der Kugeln in der entsprechenden Farbe.
  • Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse ist die Anzahl aller Kugeln in der Urne.

So erhältst du:

  • $P($rot$)=\frac25=0,4$
  • $P($grün$)=\frac35=0,6$

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