Zweistufige Zufallsversuche – Definition
Zufallsversuche sind vorhersehbare Experimente mit bekannten möglichen Ergebnissen. Entdecke zweistufige Zufallsversuche mit dem Urnenmodell und Baumdiagrammen. Interessiert? Das und vieles mehr findest du im folgenden Text!
- Zweistufige Zufallsversuche – Mathematik
- Zufallsversuche – Definition
- Zweistufiger Zufallsversuch – Definition
- Zweistufige Zufallsversuche – Beispiele

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Zweistufige Zufallsversuche – Definition Übung
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Bestimme die korrekten Aussagen zu Zufallsexperimenten.
TippsEin Zufallsversuch ist ein Experiment, mit dem man die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens zufälliger Ereignisse bestimmen möchte.
Das Ziehen von Kugeln aus einer Urne wird oft zur Veranschaulichung der Eigenschaften von Zufallsversuchen herangezogen.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Bei Zufallsversuchen sind nicht alle möglichen Ausgänge bekannt.“
- In einem Zufallsversuch müssen alle möglichen Ausgänge bekannt sein. Andernfalls ist es per Definition kein Zufallsversuch.
- Weder die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Teilergebnisse eines zwei- oder mehrstufigen Zufallsversuchs, noch die einzelnen Zufallsversuche selbst müssen voneinander abhängig sein. Du kannst aus zwei unterschiedlichen Zufallsversuchen (z.B. das Werfen einer Münze und das Ziehen von Kugeln aus einer Urne) ein zweistufiges Zufallsexperiment konstruieren.
„Der Ausgang eines Zufallsversuchs kann nicht vorhergesagt werden.“
- Das ist eine Eigenschaft von Zufallsversuchen.
- Dieser Zufallsversuch wird oft zur Veranschaulichung der Eigenschaften von Zufallsversuchen herangezogen.
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Beschreibe diesen zweistufigen Zufallsversuch.
TippsBaumdiagramme eignen sich gut zur Veranschaulichung der verschiedenen Möglichkeiten eines Zufallsexperiments.
Nach der ersten Ziehung befinden sich nur noch zwei Kugeln in Flopsis Tasche.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Beim Ziehen von zwei Bällen aus Flopsis Tasche handelt es sich um einen zweistufigen Zufallsversuch. Diesen stellt er in einem Baumdiagramm dar. Bei jedem der zwei Züge zeichnet er für jede mögliche Kugel einen Ast. Beim ersten Zug gibt es drei verschiedene Kugeln.“
- Baumdiagramme eignen sich gut zur Veranschaulichung der verschiedenen Möglichkeiten eines Zufallsexperiments. Bei der ersten Ziehung gibt es noch drei Möglichkeiten, denn er hat drei verschiedene Kugeln in seiner Tasche.
- In der zweiten Stufe gibt es nur noch zwei Kugeln zur Auswahl. Eine Kugel wurde schon im ersten Durchgang gezogen. Deshalb gibt es nur noch je zwei Äste im Baumdiagramm.
- Die Ergebnismenge $\Omega$ enthält hier alle Paarungen von unterschiedlich farbigen Kugeln.
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Ermittle, ob es sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment handelt.
TippsJeder zweistufige Zufallsversuch muss unter anderem folgende Eigenschaften haben:
- Die möglichen Ergebnisse müssen vorher bekannt sein.
- Die Ereignisse dürfen nicht vorhersehbar sein.
- Er muss aus zwei einzelnen Zufallsexperimenten bestehen.
LösungJeder zweistufige Zufallsversuch muss unter anderem folgende Eigenschaften haben:
- Die möglichen Ergebnisse müssen vorher bekannt sein.
- Die Ereignisse dürfen nicht vorhersehbar sein.
- Er muss aus zwei einzelnen Zufallsexperimenten bestehen.
„Siegfrieds Klassenlehrer teilt seine Klasse in zwei Gruppen ein. Die Gruppenzugehörigkeit entscheidet sich anhand der Körpergröße. Diese zwei Gruppen werden anschließend nochmal in verschiedene Gruppen eingeteilt. Dabei entscheidet die Augenfarbe. Siegfried möchte wissen, in welche Gruppen er eingeteilt wird. Er ist $1,80$ Meter groß und hat braune Augen.“
- Da Siegfried vorher über den Ausgang des Experiments Bescheid weiß, handelt es sich nicht um ein Zufallsexperiment.
- Hierbei handelt es sich um ein dreistufiges Zufallsexperiment.
- Das ist kein Zufallsexperiment, da die möglichen Ergebnisse nicht genau bekannt sind. Alles mögliche könnte am neuen Wohnort passieren.
„Clara wirft eine Münze zweimal hintereinander und beobachtet, ob sie auf Kopf oder Zahl landet.“
„Tony konstruiert ein Experiment aus einem einmaligen Münzwurf und dem einmaligen Ziehen von Dinosaurierfiguren aus einem Sack. Er weiß genau, wie viele Dinosaurier zur Auswahl stehen.“
- Diese Experimente erfüllen die Voraussetzungen für Zufallsexperimente.
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Entscheide, um welches Zufallsexperiment es sich handelt.
TippsDie Baumdiagramme kannst du zuordnen, indem du dir überlegst, welche Möglichkeiten es in den einzelnen Durchgängen gibt, die verschiedenen Kugeln zu ziehen.
Sind drei verschiedene Kugeln in der Urne, gibt es in der ersten Stufe drei verschiedene Möglichkeiten. Bei der zweiten Ziehung musst du dir überlegen, welche Kugeln jetzt noch in der Urne sind.
LösungDie Baumdiagramme kannst du zuordnen, indem du dir überlegst, welche Möglichkeiten es in den einzelnen Durchgängen gibt, die verschiedenen Kugeln zu ziehen.
- Bei jeweils einer roten, einer blauen und einer grünen Kugel gibt es in der ersten Stufe drei verschiedene Möglichkeiten. Bei der zweiten Stufe gibt es jeweils nur noch zwei Möglichkeiten. Denn egal welche Kugel im ersten Durchgang gezogen wurde, sind im zweiten Durchgang nur noch zwei unterschiedliche Kugeln übrig.
- Bei zwei blauen, drei grünen und einer rote Kugel gibt es im ersten Durchgang wieder drei Möglichkeiten. Wurde jetzt allerdings in der ersten Runde eine rote Kugel gezogen, kann diese nicht erneut gezogen werden. Deshalb gibt es hier nur noch zwei verschiedene Möglichkeiten. Wurde im ersten Durchgang jedoch eine blaue oder eine grüne Kugel gezogen, so gibt es im zweiten Durchgang wieder drei verschiedene Möglichkeiten.
- Bei einer blauen, zwei grünen und zwei roten Kugeln gibt es im ersten Durchgang wieder drei Möglichkeiten. Wurde jetzt allerdings in der ersten Runde eine blaue Kugel gezogen, kann diese nicht erneut gezogen werden. Deshalb gibt es hier nur noch zwei verschiedene Möglichkeiten. Wurde im ersten Durchgang jedoch eine rote oder eine grüne Kugel gezogen, so gibt es im zweiten Durchgang wieder drei verschiedene Möglichkeiten.
- Bei den zwei grünen und zwei roten Kugeln gibt es in beiden Durchgängen je zwei Möglichkeiten.
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Gib die Ergebnismenge eines zweistufigen Zufallsversuchs an.
TippsUm die zu den Ästen gehörigen Ergebnisse anzugeben, musst du überprüfen, welche Ergebnisse an jeder Stufe des Baumes stehen.
Die Farbe, die zuerst gezogen wird, wird auch zuerst genannt.
LösungUm die zu den Ästen gehörigen Ergebnisse anzugeben, musst du überprüfen, welche Ergebnisse an jeder Stufe des Baumes stehen. Die Farbe, die zuerst gezogen wird, wird auch zuerst genannt. Damit erhältst du das hier abgebildete Baumdiagramm.
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Erschließe die Wahrscheinlichkeiten von Zufallsexperimenten.
TippsÜberlege dir zuerst, wie viele mögliche Ergebnisse es insgesamt gibt. Teile anschließend die Anzahl der zu deinem Ereignis gehörenden Ergebnisse durch die Gesamtanzahl.
LösungFolgende Wahrscheinlichkeitszuordnungen sind falsch:
„Familie Meyer entscheidet, wer diese Woche das Klo putzen muss. Dazu ziehen sie Streichhölzer. Es gibt drei lange und ein kürzeres Streichholz. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer das kürzere Streichholz zieht, ist $\frac{1}{3}$.“
- Hier gibt es insgesamt $4$ mögliche Ereignisse ($3$ lange plus $1$ kurzes Streichholz). Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass einer das Kürzere zieht, gleich $\frac{1}{4}$.
- Bei dieser Lotterie gibt es $49$ verschiedene Möglichkeiten, von denen genau eine gezogen wird. Also ist die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{49}$.
„In einer Urne liegen zwei rote und drei blaue Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote Kugel gezogen wird, ist $\frac{2}{5}$.“
- Hier gibt es insgesamt $5$ Möglichkeiten ($2$ rote plus $3$ blaue Kugeln), von denen zwei zum Ereignis gehören ($2$ rote Kugeln).
- Hier gibt es zwei Möglichkeiten ($2$ Seiten), von denen genau eine zutrifft.
- Hier gibt es insgesamt $6$ Möglichkeiten (die Zahlen von $1$ bis $6$), von denen $3$ zutreffen ($2$, $4$, $6$). Diese Wahrscheinlichkeit kannst du kürzen zu: $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
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