Zweistufige Zufallsversuche – Definition

Zweistufige Zufallsversuche – Definition Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zu Zufallsexperimenten.

  Tipps

  Ein Zufallsversuch ist ein Experiment, mit dem man die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens zufälliger Ereignisse bestimmen möchte.

  Das Ziehen von Kugeln aus einer Urne wird oft zur Veranschaulichung der Eigenschaften von Zufallsversuchen herangezogen.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Bei Zufallsversuchen sind nicht alle möglichen Ausgänge bekannt.“

  • In einem Zufallsversuch müssen alle möglichen Ausgänge bekannt sein. Andernfalls ist es per Definition kein Zufallsversuch.

  „Die Teilergebnisse eines zweistufigen Zufallsversuchs sind immer voneinander abhängig.“

  • Weder die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Teilergebnisse eines zwei- oder mehrstufigen Zufallsversuchs, noch die einzelnen Zufallsversuche selbst müssen voneinander abhängig sein. Du kannst aus zwei unterschiedlichen Zufallsversuchen (z.B. das Werfen einer Münze und das Ziehen von Kugeln aus einer Urne) ein zweistufiges Zufallsexperiment konstruieren.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Der Ausgang eines Zufallsversuchs kann nicht vorhergesagt werden.“

  • Das ist eine Eigenschaft von Zufallsversuchen.

  „Das Ziehen von Kugeln aus einer Urne ist ein Zufallsversuch.“

  • Dieser Zufallsversuch wird oft zur Veranschaulichung der Eigenschaften von Zufallsversuchen herangezogen.

  „Ein zweistufiger Zufallsversuch besteht aus zwei einzelnen hintereinander durchgeführten Zufallsversuchen.“

• Beschreibe diesen zweistufigen Zufallsversuch.

  Tipps

  Baumdiagramme eignen sich gut zur Veranschaulichung der verschiedenen Möglichkeiten eines Zufallsexperiments.

  Nach der ersten Ziehung befinden sich nur noch zwei Kugeln in Flopsis Tasche.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Beim Ziehen von zwei Bällen aus Flopsis Tasche handelt es sich um einen zweistufigen Zufallsversuch. Diesen stellt er in einem Baumdiagramm dar. Bei jedem der zwei Züge zeichnet er für jede mögliche Kugel einen Ast. Beim ersten Zug gibt es drei verschiedene Kugeln.“

  • Baumdiagramme eignen sich gut zur Veranschaulichung der verschiedenen Möglichkeiten eines Zufallsexperiments. Bei der ersten Ziehung gibt es noch drei Möglichkeiten, denn er hat drei verschiedene Kugeln in seiner Tasche.

  „Auch beim zweiten Zug zeichnet er für jede mögliche Kugel einen Ast ins Baumdiagramm. Jetzt gibt es noch zwei Kugeln zur Auswahl.“

  • In der zweiten Stufe gibt es nur noch zwei Kugeln zur Auswahl. Eine Kugel wurde schon im ersten Durchgang gezogen. Deshalb gibt es nur noch je zwei Äste im Baumdiagramm.

  „Alle möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments stellt er in der Ergebnismenge $\Omega$ dar.“

  • Die Ergebnismenge $\Omega$ enthält hier alle Paarungen von unterschiedlich farbigen Kugeln.

• Ermittle, ob es sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment handelt.

  Tipps

  Jeder zweistufige Zufallsversuch muss unter anderem folgende Eigenschaften haben:

  • Die möglichen Ergebnisse müssen vorher bekannt sein.

  • Die Ereignisse dürfen nicht vorhersehbar sein.

  • Er muss aus zwei einzelnen Zufallsexperimenten bestehen.

  Lösung

  Jeder zweistufige Zufallsversuch muss unter anderem folgende Eigenschaften haben:

  • Die möglichen Ergebnisse müssen vorher bekannt sein.

  • Die Ereignisse dürfen nicht vorhersehbar sein.

  • Er muss aus zwei einzelnen Zufallsexperimenten bestehen.

  Bei folgenden Aussagen handelt es sich um keine Zufallsexperimente:

  „Siegfrieds Klassenlehrer teilt seine Klasse in zwei Gruppen ein. Die Gruppenzugehörigkeit entscheidet sich anhand der Körpergröße. Diese zwei Gruppen werden anschließend nochmal in verschiedene Gruppen eingeteilt. Dabei entscheidet die Augenfarbe. Siegfried möchte wissen, in welche Gruppen er eingeteilt wird. Er ist $1,80$ Meter groß und hat braune Augen.“

  • Da Siegfried vorher über den Ausgang des Experiments Bescheid weiß, handelt es sich nicht um ein Zufallsexperiment.

  „Ryan zieht drei Kugeln aus einer Urne und überprüft deren Farbe. Nach jedem Zug legt er die Kugel zurück in die Urne.“

  • Hierbei handelt es sich um ein dreistufiges Zufallsexperiment.

  „Luisa zieht von der Stadt auf das Land und fragt sich, wie das Leben dort wohl ist.“

  • Das ist kein Zufallsexperiment, da die möglichen Ergebnisse nicht genau bekannt sind. Alles mögliche könnte am neuen Wohnort passieren.

  Folgende Aussagen beschreiben Zufallsexperimente:

  „Clara wirft eine Münze zweimal hintereinander und beobachtet, ob sie auf Kopf oder Zahl landet.“

  „Tony konstruiert ein Experiment aus einem einmaligen Münzwurf und dem einmaligen Ziehen von Dinosaurierfiguren aus einem Sack. Er weiß genau, wie viele Dinosaurier zur Auswahl stehen.“

  • Diese Experimente erfüllen die Voraussetzungen für Zufallsexperimente.

• Entscheide, um welches Zufallsexperiment es sich handelt.

  Tipps

  Die Baumdiagramme kannst du zuordnen, indem du dir überlegst, welche Möglichkeiten es in den einzelnen Durchgängen gibt, die verschiedenen Kugeln zu ziehen.

  Sind drei verschiedene Kugeln in der Urne, gibt es in der ersten Stufe drei verschiedene Möglichkeiten. Bei der zweiten Ziehung musst du dir überlegen, welche Kugeln jetzt noch in der Urne sind.

  Lösung

  Die Baumdiagramme kannst du zuordnen, indem du dir überlegst, welche Möglichkeiten es in den einzelnen Durchgängen gibt, die verschiedenen Kugeln zu ziehen.

  • Bei jeweils einer roten, einer blauen und einer grünen Kugel gibt es in der ersten Stufe drei verschiedene Möglichkeiten. Bei der zweiten Stufe gibt es jeweils nur noch zwei Möglichkeiten. Denn egal welche Kugel im ersten Durchgang gezogen wurde, sind im zweiten Durchgang nur noch zwei unterschiedliche Kugeln übrig.

  • Bei zwei blauen, drei grünen und einer rote Kugel gibt es im ersten Durchgang wieder drei Möglichkeiten. Wurde jetzt allerdings in der ersten Runde eine rote Kugel gezogen, kann diese nicht erneut gezogen werden. Deshalb gibt es hier nur noch zwei verschiedene Möglichkeiten. Wurde im ersten Durchgang jedoch eine blaue oder eine grüne Kugel gezogen, so gibt es im zweiten Durchgang wieder drei verschiedene Möglichkeiten.

  • Bei einer blauen, zwei grünen und zwei roten Kugeln gibt es im ersten Durchgang wieder drei Möglichkeiten. Wurde jetzt allerdings in der ersten Runde eine blaue Kugel gezogen, kann diese nicht erneut gezogen werden. Deshalb gibt es hier nur noch zwei verschiedene Möglichkeiten. Wurde im ersten Durchgang jedoch eine rote oder eine grüne Kugel gezogen, so gibt es im zweiten Durchgang wieder drei verschiedene Möglichkeiten.

  • Bei den zwei grünen und zwei roten Kugeln gibt es in beiden Durchgängen je zwei Möglichkeiten.

• Gib die Ergebnismenge eines zweistufigen Zufallsversuchs an.

  Tipps

  Um die zu den Ästen gehörigen Ergebnisse anzugeben, musst du überprüfen, welche Ergebnisse an jeder Stufe des Baumes stehen.

  Die Farbe, die zuerst gezogen wird, wird auch zuerst genannt.

  Lösung

  Um die zu den Ästen gehörigen Ergebnisse anzugeben, musst du überprüfen, welche Ergebnisse an jeder Stufe des Baumes stehen. Die Farbe, die zuerst gezogen wird, wird auch zuerst genannt. Damit erhältst du das hier abgebildete Baumdiagramm.

• Erschließe die Wahrscheinlichkeiten von Zufallsexperimenten.

  Tipps

  Überlege dir zuerst, wie viele mögliche Ergebnisse es insgesamt gibt. Teile anschließend die Anzahl der zu deinem Ereignis gehörenden Ergebnisse durch die Gesamtanzahl.

  Lösung

  Folgende Wahrscheinlichkeitszuordnungen sind falsch:

  „Familie Meyer entscheidet, wer diese Woche das Klo putzen muss. Dazu ziehen sie Streichhölzer. Es gibt drei lange und ein kürzeres Streichholz. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer das kürzere Streichholz zieht, ist $\frac{1}{3}$.“

  • Hier gibt es insgesamt $4$ mögliche Ereignisse ($3$ lange plus $1$ kurzes Streichholz). Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass einer das Kürzere zieht, gleich $\frac{1}{4}$.

  „Bei einer Lotterie wird eine der Zahlen von $1$ bis $49$ gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die $3$ gezogen wird, ist $\frac{3}{49}$.“

  • Bei dieser Lotterie gibt es $49$ verschiedene Möglichkeiten, von denen genau eine gezogen wird. Also ist die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{49}$.

  Folgende Wahrscheinlichkeiten sind korrekt:

  „In einer Urne liegen zwei rote und drei blaue Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote Kugel gezogen wird, ist $\frac{2}{5}$.“

  • Hier gibt es insgesamt $5$ Möglichkeiten ($2$ rote plus $3$ blaue Kugeln), von denen zwei zum Ereignis gehören ($2$ rote Kugeln).

  „Beim Tischfußball ist der Einwurf des Balls entscheidend. Er rollt nach dem Einwurf mal auf die eine Seite und mal auf die andere Seite. Die Wahrscheinlichkeit, dass er auf einer der beiden Seiten landet, ist $\frac{1}{2}$.“

  • Hier gibt es zwei Möglichkeiten ($2$ Seiten), von denen genau eine zutrifft.

  „Rachid wirft einen Würfel. Er sagt, die Wahrscheinlichkeit eine gerade Zahl zu werfen, ist $\frac{1}{2}$.“

  • Hier gibt es insgesamt $6$ Möglichkeiten (die Zahlen von $1$ bis $6$), von denen $3$ zutreffen ($2$, $4$, $6$). Diese Wahrscheinlichkeit kannst du kürzen zu: $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$