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Zweistufige Zufallsexperimente mit/ohne Zurücklegen 1 (1)

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Martin Wabnik
Zweistufige Zufallsexperimente mit/ohne Zurücklegen 1 (1)
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Zweistufige Zufallsexperimente mit/ohne Zurücklegen 1 (1)

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung gehört das Ziehen von Kugeln zu den klassischen Standardaufgaben in der Schule. Allerdings wird bei diesen Aufgaben immer unterschieden, ob man Kugeln wieder zurücklegt oder nicht – kurz: mit oder ohne Zurücklegen. Durch dieses kleine Detail entstehen allerdings völlig neue Rechnungen. Damit du den Unterschied nachvollziehen kannst habe ich eine kleine Videoreihe dazu gedreht. Ich werde vier Beispiele vorrechnen und besonders auf die Unterschiede eingehen. Mit dem ersten Beispiel fangen wir hier nun auch gleich an: Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass ich erst eine gelbe und dann eine blaue Kugel ziehe. (Teil 1 von 3)

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. nicht sehr hilfreich

    Von Wendering Gelsen, vor mehr als 2 Jahren

Zweistufige Zufallsexperimente mit/ohne Zurücklegen 1 (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zweistufige Zufallsexperimente mit/ohne Zurücklegen 1 (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne die Wahrscheinlichkeiten für das Ziehen einer gelben sowie einer blauen Kugel.

    Tipps

    Wenn sich in einer Klasse $20$ Schülerinnen und Schüler befinden, von denen $12$ Schülerinnen sind, ist die Wahrscheinlichkeit, zufällig eine Schülerin auszuwählen,

    $P($Schülerin$)=\frac{12}{20}$.

    Die beiden Nenner stimmen überein.

    Im Zähler steht jeweils die entsprechende Anzahl der Kugeln.

    Lösung

    Um bei einem mehrstufigen Zufallsversuch Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, benötigt man die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse in jeder Durchführung des Versuchs.

    In diesem Beispiel befinden sich insgesamt $10$ Kugeln in der Urne, davon sind $4$ gelb und $2$ blau. Damit sind die Wahrscheinlichkeiten für das Ziehen einer solchen Kugel:

    • $P(g)=\frac{4}{10}$ für das Ziehen einer gelben Kugel sowie
    • $P(b)=\frac{2}{10}$ für das Ziehen einer blauen Kugel.
  • Beschreibe, wie die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses $(g;b)$ berechnet werden kann.

    Tipps

    Es befinden sich $10$ Kugeln in der Urne. Davon sind

    • $4$ gelb und
    • $2$ blau.

    Nach der Produktregel werden die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multipliziert.

    Dies ist hier an einem Beispiel zu sehen, in dem gilt:

    $P(b)=\frac12$.

    Lösung

    Zunächst wird eine Kugel gezogen. Die Wahrscheinlichkeit für eine gelbe Kugel beträgt

    $P(g)=\frac{4}{10}$.

    Die Kugel wird wieder zurückgelegt. Die Wahrscheinlichkeit für eine blaue Kugel im zweiten Zug ist

    $P(b)=\frac{2}{10}$.

    Um die Wahrscheinlichkeit für $(g;b)$ zu erhalten, werden diese Wahrscheinlichkeiten multipliziert:

    $P((g;b))=\frac{4}{10}\cdot\frac{2}{10}=\frac{8}{100}=0,08$.

    Dies nennt man Produktregel.

  • Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, beträgt

    $P(r)=\frac{3}{10}$.

    Es gibt nämlich $10$ Kugeln in der Urne und $3$ Kugeln davon sind rot.

    Entlang eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert.

    Du musst nur noch die Nenner multiplizieren.

    Lösung

    Hier ist das ausgefüllte Baumdiagramm zu sehen. Dabei werden nur die blauen und die roten Kugeln betrachtet.

    Die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen, ist im ersten Zug ebenso groß wie im zweiten Zug, da die Kugel zurückgelegt wird:

    $P(b)=\frac2{10}$.

    Die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse am Ende eines Pfades erhält man durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades:

    • $P(r,r)=\frac3{10}\cdot \frac3{10}=\frac9{100}$,
    • $P(r,b)=\frac3{10}\cdot \frac2{10}=\frac6{100}$,
    • $P(b,r)=\frac2{10}\cdot \frac3{10}=\frac6{100}$,
    • $P(b,b)=\frac2{10}\cdot \frac2{10}=\frac4{100}$.
  • Ermittle die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A: „Es werden jeweils eine blaue sowie eine rote Kugel oder zwei blaue Kugeln gezogen.“

    Tipps

    Übertrage das Baumdiagramm in dein Heft und markiere jeden Pfad, der mindestens einmal ein „b“ für „blau“ enthält.

    Es gibt drei solcher Pfade.

    Jedes Ergebnis ist ein Paar, zum Beispiel $(r,b)$.

    Lösung

    Es ist gut, in einem Baumdiagramm die gefragten Pfade zu markieren: also diejenigen Ergebnisse, welche zu einem Ereignis gehören. Dann kann man die Ergebnisse leichter erkennen, welche in dem Ereignis liegen.

    Das Ereignis A lässt sich wie folgt schreiben:

    $A=\{(r;b);(b;r);(b;b)\}$.

    Mit der Summenregel kann nun die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses berechnet werden:

    $P(A)=P(r;b)+P(b;r)+P(b;b)=\frac{6}{100}+\frac{6}{100}+\frac{4}{100}=\frac{16}{100}=0,16$.

  • Gib an, wie mithilfe der Wahrscheinlichkeiten für das Ziehen einer gelben oder blauen Kugel, die Wahrscheinlichkeit $(g;b)$ berechnet werden kann.

    Tipps

    Wenn $50\%$ der Schüler einer Klasse Schülerinnen sind und von diesen $20\%$ Brille tragen, wie viele Schülerinnen sind das dann prozentual?

    $20\%$ von $50\%$

    Nimm einmal an, dass in der Klasse $30$ Schüler sind, dann sind $15$ davon Schülerinnen.

    Von diesen $15$ Schülerinnen tragen $20\%$ Brille. Das sind dann $3$ Schülerinnen.

    Der Anteil der Schülerinnen mit Brille an der gesamten Klasse beträgt

    $p=\frac{3}{30}=10\%$.

    Ausführlich können wir auch so rechnen:

    $20\%\cdot 50\%=\frac{20}{100}\cdot \frac{50}{100}=\frac{1000}{10000}=\frac{10}{100}=10\%$.

    Lösung

    Wenn bei einem zweistufigen (oder auch mehrstufigen) Zufallsversuch die Wahrscheinlichkeiten in jeder einzelnen Stufe bekannt sind, werden diese multipliziert, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses des Zufallsversuches zu erhalten.

    In dem obigen Beispiel mit

    • $P(g)=\frac{4}{10}$ sowie
    • $P(b)=\frac{2}{10}$
    ergibt sich damit diese Wahrscheinlichkeit:

    $P((g;b))=\frac{4}{10}\cdot\frac{2}{10}=\frac{8}{10}=0,08$.

    Diese Regel wird als „1. Pfadregel“ oder auch „Produktregel“ bezeichnet.

  • Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse.

    Tipps

    Es ist nur eine grüne Kugel in der Urne.

    Wenn bereits im ersten Zug eine blaue Kugel gezogen wurde, beträgt die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Zug eine blaue Kugel zu ziehen,

    $P($„blau im zweiten Zug“$)=\frac19$.

    Wenn ein Ergebnis nicht eintreten kann, ist die zugehörige Wahrscheinlichkeit $0$.

    Lösung

    In dieser Aufgabe wird ein Urnenmodell ohne Zurücklegen betrachtet. Dadurch verändern sich die Wahrscheinlichkeiten im zweiten Zug in Abhängigkeit der gezogenen Kugel im ersten Zug.

    Somit lassen sich die folgenden Wahrscheinlichkeiten berechnen:

    • $P(g;g)=\frac4{10}\cdot\frac39=\frac{12}{90}=\frac2{15}$
    • $P(r;r)=\frac3{10}\cdot\frac29=\frac{6}{90}=\frac1{15}$
    • $P(b;b)=\frac2{10}\cdot\frac19=\frac{2}{90}=\frac1{45}$
    • $P(gr;gr)=\frac1{10}\cdot\frac09=\frac{0}{90}=0$
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