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Zweistufige Zufallsexperimente – Definition

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Martin Wabnik
Zweistufige Zufallsexperimente – Definition
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Zweistufige Zufallsexperimente – Definition

Einen zweistufiger Zufallsversuch ( auch: Zufallsexperiment ) möchte ich dir in diesem Video einmal vorstellen. Wir fragen uns also, was ist das und wie läuft ein solcher Zufallsversuch ab? Ich stelle in diesem Video keine mathematische Definition vor, sondern werde dir einfach das Prinzip auf anschauliche Weise erklären. Bisher kanntest du ja als Zufallsversuch das einmalige Werfen eines Würfels. Ein zweistufiger Zufallsversuch bestände zum Beispiel darin, den Würfel zweimal zu würfeln. Im Video gebe ich dir noch mehr Beispiele und erkläre dir das noch etwas ausführlicher.

Transkript Zweistufige Zufallsexperimente – Definition

Hallo, hier möchte ich einmal einen Begriff vorstellen, den ich nicht ganz genau definieren möchte, und zwar: zweistufiger Zufallsversuch. Deshalb nicht ganz genau, weil in diesem Zusammenhang diese genaue Definition nicht nötig ist und sie würde zu weit führen. An anderer Stelle kommt dann noch eine genaue Definition - nicht nur eines zweistufigen Zufallsversuchs, sondern gleich eines n-stufigen Zufallsversuchs - und das ist dann an der Stelle auch gut aufgehoben. Hier möchte ich einfach nur einmal diesen Begriff vorstellen und mit 2, 3 Beispielen belegen. Also, es geht um den zweistufigen Zufallsversuch und die Frage ist dann als Erstes: Was ist überhaupt ein Zufallsversuch? Das ist ein Versuch, der bei gleicher Versuchsdurchführung unterschiedliche Ergebnisse haben kann, zum Beispiel der Münzwurf: Wenn ich diese Münze werfe - einfach so - dann kann ich sie hier in die Hand legen und dann liegt entweder die Zahl oben oder das Wappen liegt oben. Der Zufallsversuch ist jetzt hier "Münze werfen" und es können 2 unterschiedliche Ergebnisse auftauchen, nämlich "Wappen" oder "Zahl". Wenn ich jetzt die Münze noch einmal werfe, dann habe ich einen zweistufigen Zufallsversuch. Denn ich könnte ja jetzt das eine Ergebnis notiert haben und das andere jetzt auch dazuschreiben. Dann habe ich also einen zweistufigen Zufallsversuch. "Zweifaches Werfen einer Münze" ist ein zweistufiger Zufallsversuch. Oder ich kann hier mein Lotto-Zieh-Gerät bemühen, was kein richtiges Lotto-Zieh-Gerät ist, sondern dem nur nachgeahmt ist. Da kann ich jetzt einmal eine Kugel ziehen - jetzt sind 2 reingerutscht. Ja, auch das ist ein zweistufiges Zufallsexperiment, wenn man hier 2 Kugeln nacheinander zieht. Sie sind zwar gleichzeitig herausgekommen, aber das Ziehen zweier Kugeln aus diesem Gerät, kann man durchaus als zweistufigen Zufallsversuch auffassen. Ich muss die eben noch zuordnen: Das ist die 42 und die 21. Das sind die beiden Kugeln. Kugeln ziehen macht man normalerweise - auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung - immer aus solchen Behältern: Urnen, Säcke, sonst etwas. Hier könnte ich zum Beispiel mir die Farbe notieren, also blau, die Kugel wieder reinstecken und noch einmal ziehen. Ich könnte sie auch draußen lassen, egal. Das ist jetzt hier orange oder rot - wie auch immer. Wenn ich jetzt auch wieder die Farbe notieren würde, hätte ich also ein Ergebnis, das aus 2 Teilen besteht und einen Zufallsversuch, der zweistufig ist. Ja, das soll einmal an dieser Stelle genügen. Man kann auch sagen: Ein zweistufiger Zufallsversuch, das sind 2 Zufallsversuche, die getrennt voneinander ausgeführt werden oder ein Zufallsversuch, bei dem man 2 Aktionen durchführt, die jeweils bei gleicher Versuchsdurchführung unterschiedliche Ergebnisse haben können. Aber normalerweise ist es unproblematisch, hier in diesem Zusammenhang diese 2 Stufen zu erkennen und deshalb soll das bis dahin reichen. Viel Spaß damit, bis bald. Tschüss.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. hallo, gutes video für den Einstieg

    Von Filippa K., vor mehr als 3 Jahren

Zweistufige Zufallsexperimente – Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zweistufige Zufallsexperimente – Definition kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was ein Zufallsversuch ist.

    Tipps

    Wenn Wissen oder Fähigkeiten ausschlaggebend für den Ausgang eines Experimentes sind, liegt kein Zufallsexperiment vor.

    Wenn du ein Glücksrad drehst, liegt ein Zufallsexperiment vor.

    Die Lottoziehung ist ein Zufallsexperiment: Niemand weiß heute schon, welche Zahlen am kommenden Samstag gezogen werden.

    Lösung

    Was ist ein Zufallsexperiment bzw. Zufallsversuch?

    Man spricht von einem Zufallsversuch, wenn bei gleicher Versuchsdurchführung verschiedene Ergebnisse herauskommen können.

    Man kann dies auch so formulieren:

    Ein Experiment wird als Zufallsexperiment bezeichnet, wenn

    • mindestens zwei Ergebnisse möglich sind,
    • es beliebig oft durchgeführt werden kann und
    • das Ergebnis nicht vorhersehbar ist.
    Dabei ist ein Ergebnis ein möglicher Ausgang dieses Zufallsexperimentes.

    Beispiele für Zufallsexperimente sind:

    • das Werfen einer Münze,
    • das Ziehen einer Kugel aus einer Urne,
    • das Drehen eines Glücksrades,
    • die Lottoziehung,
    • ...
    Kein Zufallsexperiment liegt bei folgenden Beispielen vor:

    • ein Experiment in der Physik,
    • ein Wettrennen,
    • eine Mathearbeit (... auch wenn manche das anders sehen mögen ...)
  • Gib an, was man unter einem zweistufigen Zufallsversuch versteht.

    Tipps

    Stelle dir vor, du wirfst eine Münze: Dies ist ein Zufallsexperiment.

    Wenn du diese Münze zweimal wirfst oder zwei Münzen wirfst, dann handelt es sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment.

    Das zweistufige Zufallsexperiment „zweimaliges Werfen eines Würfels“ kann zu dem Ergebnis $(1|5)$ für „eine $1$ im ersten Wurf“ und „eine $5$ im zweiten Wurf“ führen.

    Lösung

    Natürlich ist ein zweistufiger Zufallsversuch auch wieder ein Zufallsversuch.

    Man kann sich das so vorstellen:

    1. Ein Zufallsversuch wird durchgeführt. Das Ergebnis wird aufgeschrieben.
    2. Dann wird der Zufallsversuch nochmals durchgeführt und auch dieses Ergebnis wird aufgeschrieben.
    An einem Beispiel ist dies vielleicht leichter vorstellbar: Betrachtet wird das zweistufige Zufallsexperiment „zweimaliges Werfen eines Würfels“:

    1. Im ersten Wurf wird eine $1$ gewürfelt und auch notiert.
    2. Im zweiten Wurf wird eine $5$ gewürfelt und ebenfalls notiert.
    Nun kann man als Ergebnis dieses zweistufigen Zufallsversuches das Paar mit den Augenzahlen $(1|5)$ aufschreiben.

    Ein weiteres Beispiel für einen zweistufigen Zufallsversuch ist das Ziehen zweier Kugeln aus einer Urne.

    Natürlich gibt es auch dreistufige Zufallsversuche und - allgemein - mehrstufige Zufallsversuche.

  • Entscheide, welche Aussagen einen zweistufigen Zufallsversuch beschreiben.

    Tipps

    Beachte, dass bei einem zweistufigen Zufallsversuch jeder der beiden Versuche ein Zufallsversuch sein muss.

    Überlege dir jeweils die möglichen Ergebnisse. Achte dabei darauf, ob tatsächlich beide Versuche eingehen.

    Lösung

    Diese beiden Eigenschaften gelten für alle zweistufigen Zufallsversuche:

    • Es werden nacheinander oder gleichzeitig zwei Versuche durchgeführt.
    • Beide Versuche müssen Zufallsversuche sein.
    Es muss also entweder eines der beiden Glücksräder zweimal oder jedes Glücksrad einmal gedreht werden.

    Wenn nur ein Ergebnis notiert wird, liegt kein zweistufiger Zufallsversuch vor, da das andere Glücksrad dann auch nicht gedreht werden müsste.

    Man kann also Folgendes notieren:

    • die Summe (oder auch das Produkt) der gedrehten Zahlen,
    • die Zahlenpaare oder Farbenpaare oder
    • die Paare aus Farben und Zahlen.
  • Benenne die möglichen Ergebnisse des zweistufigen Zufallsversuches.

    Tipps

    Beachte: Auf dem Glücksrad gibt es nur die Farben Grün und Blau.

    Die Kugeln in beiden Urnen sind entweder rot oder schwarz.

    Lösung

    Da auf dem Glücksrad nur die Farben Grün und Blau vorkommen, muss die erste Stelle eines möglichen Ergebnisses entweder „grün“ oder „blau“ sein. Die zweite Stelle ist dann entweder „rot“ oder „schwarz“. Dies sind die Farben der Kugeln in den beiden Urnen.

    Somit sind die folgenden Ergebnisse möglich:

    • $($grün $|$ rot$)$,
    • $($grün $|$ schwarz$)$,
    • $($blau $|$ rot$)$ und
    • $($blau $|$ schwarz$)$.
  • Nenne die Experimente, die Zufallsexperimente sind.

    Tipps

    Wenn der Ausgang eines Versuches nicht vorhersehbar ist, spricht man von einem Zufallsversuch.

    Wenn das Ergebnis eines Versuchs vorhersehbar ist oder durch Können beeinflusst werden kann, liegt kein Zufallsversuch vor.

    Du löst eine Gleichung, indem du diese äquivalent umformst. Hierfür solltest du Äquivalenzumformungen kennen.

    Lösung

    Ein Zufallsversuch ist ein Versuch, bei welchem bei gleicher Versuchsdurchführung verschiedene Ergebnisse herauskommen können.

    Schauen wir uns ein paar Beispiele an:

    Wenn der Ausgang eines Versuches nicht vorhersehbar ist, spricht man von einem Zufallsversuch. Das liegt vor bei

    • dem Münzwurf
    • dem Ziehen einer Kugel aus einer Urne
    • dem Werfen eines Würfels
    • dem Drehen eines Glücksrads
    • dem Ziehen einer Karte aus einem Kartenstapel

    Schauen wir uns nun Beispiele an, wo kein Zufallsversuch vorliegt:

    Wenn das Ergebnis vorhersehbar ist oder durch Können beeinflusst werden kann, liegt kein Zufallsversuch vor. Dies ist hier der Fall:

    • ein Schwimm- oder Laufwettbewerb
    • ein Schachspiel
    • das Lösen einer Gleichung
    • das Schauen eines tollen Mathematik-Videos bei sofatutor
  • Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeit, ein blaues Feld auf dem Glücksrad zu drehen, beträgt $\frac 14$ und für ein grünes Feld $\frac34$.

    Beachte, dass die Wahrscheinlichkeiten für eine rote oder schwarze Kugel in den beiden Urnen verschieden sind.

    Wenn zum Beispiel dieses Glücksrad zweimal gedreht wird, dann ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ergebnisses $($blau $|$ rot$)$ gegeben durch

    $P($blau $|$ rot$)=\frac15\cdot \frac25=\frac2{25}$.

    Beachte: Wenn du alle Wahrscheinlichkeiten addierst, kommt $1$ heraus.

    Lösung

    Die folgenden Ergebnisse sind bei dem oben beschriebenen zweistufigen Zufallsversuch möglich:

    • $($grün $|$ rot$)$,
    • $($grün $|$ schwarz$)$,
    • $($blau $|$ rot$)$ sowie
    • $($blau $|$ schwarz$)$.
    Um die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten dieser Ergebnisse zu erhalten, werden die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse in jeder der beiden Stufen multipliziert. Diese Regel ist als „erste Pfadregel“ oder auch „Produktregel“ bekannt.

    • $P($grün $|$ rot$)=\frac34\cdot \frac14=\frac3{16}$
    • $P($grün $|$ schwarz$)=\frac34\cdot \frac34=\frac9{16}$
    • $P($blau $|$ rot$)=\frac14\cdot \frac35=\frac3{20}$
    • $P($blau $|$ schwarz$)=\frac14\cdot \frac25=\frac2{20}=\frac1{10}$
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